Теория функций комплексного переменного

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 
КОМПЛЕКСНОГО 
ПЕРЕМЕННОГО

Е.С. ПОЛОВИНКИН

2-е издание, переработанное и дополненное

Москва
ИНФРА-М

202УЧЕБНИК

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением

высших учебных заведений Российской Федерации в области

авиации, ракетостроения и космоса в качестве учебника

для студентов высших технических учебных заведений

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
П52

Половинкин Е.С.

П52  
Теория функций комплексного переменного : учебник / Е.С. По-

ловинкин. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 
253 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1845987.

ISBN 978-5-16-017359-7 (print)
ISBN 978-5-16-109915-5 (online)
В учебнике излагаются основы теории функций комплексного перемен-

ного. Рассматриваются также геометрические принципы аналитических 
(регулярных) функций, на основе которых построена геометрическая тео-
рия конформных отображений. Приводятся некоторые прикладные аспек-
ты функций комплексного переменного.

Рекомендовано Учебно-методическим советом высших учебных заве-

дений Российской Федерации по образованию в области прикладных ма-
тематики и физики в качестве учебника для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению подготовки «Прикладные мате-
матика и физика» и смежным направлениям и специальностям.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова-

тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов и преподавателей технических и физико-математиче-

ских вузов.

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73

Р е ц е н з е н т ы:

Буслаев В.И., доктор физико-математических наук, ведущий науч-

ный сотрудник Отдела комплексного анализа Математического ин-
ститута имени В.А. Стеклова Российской академии наук;

Лукашов А.Л., доктор физико-математических наук, профессор 

кафедры высшей математики Московского физико-технического ин-
ститута (национального исследовательского университета)

ISBN 978-5-16-017359-7 (print)
ISBN 978-5-16-109915-5 (online)

© Половинкин Е.С., 2015
© Половинкин Е.С., 2022, 

с изменениями

Оглавление

Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§2. Пределы. Ряды. Расширенная комплексная плос-
кость. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§3. Дифференцирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
23
§4. Регулярные функции. Гармонические функции . . . . . . . 29
§5. Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§6. Интегрирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
43
§7. Интегральная теорема Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§8. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§9. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§10. Некоторые свойства регулярных функций . . . . . . . . . . . . 78
§11. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§12. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§13. Теория вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

13.1. Вычисление интегралов вида J =
+∞
−∞
Fn, m(x) dx . . . . . . .106

13.2. Вычисление интегралов вида J =
2π
0
F(cos ϕ, sin ϕ) dϕ. . .108

13.3. Вычисление интегралов вида J =
+∞
−∞
eiαxFn,m(x) dx . . . .109

§14. Приращение аргумента z вдоль кривой . . . . . . . . . . . . . . .112
§15. Регулярные ветви многозначных функций корня
и логарифма Ln z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
§16. Регулярные ветви многозначных функций Ln f(z)
и
nf(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
3

§17. Примеры нахождения регулярных ветвей и ком-
плексная степень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
17.1. Примеры.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
17.2. Понятие комплексной степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
§18. Примеры вычисления интегралов
от регулярных ветвей многозначных функций . . . . . . . .139
§19. Целые и мероморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
§20. Принцип аргумента. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
§21. Геометрические принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
§22. Конформные отображения в C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
22.1. Геометрический смысл модуля и аргумента про-
изводной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
22.2. Конформные отображения в C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
22.3. Конформные отображения в C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
§23. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
§24. Конформные отображения элементарными функ-
циями. Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
24.1. Степенн´ая функция.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
24.2. Экспоненциальная функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
24.3. Функция Жуковского.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
24.4. Теорема Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
§25. Принцип симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
§26. Задача Дирихле на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209
§27. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
§28. Полные аналитические функции логарифма и кор-
ня и их римановы поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
28.1. Полные аналитические функции.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
28.2. Римановы поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236
§29. Особые точки аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . .241
Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

4

Основные обозначения

:= — знак равенства по определению;

N — множество всех натуральных чисел;

Z — множество всех целых чисел;

n, m — множество целых чисел вида n, n + 1, n + 2, . . . , m;

R — множество всех действительных чисел;

Rn — n-мерное действительное евклидово пространство;

C — множество всех комплексных чисел, комплексная плос-
кость;

C — расширенная комплексная плоскость;

|z| =
x2 + y2 — модуль комплексного числа z = x + iy;

z = x − iy — число, комплексно-сопряженное числу z = x + iy;

Re z = x — действительная часть числа z = x + iy;

Im z = y — мнимая часть числа z = x + iy;

Br(z0) = {z
|z − z0| < r} — открытый круг радиуса r > 0 с
центром в точке z0;

Br(z0) = {z
|z − z0| ⩽ r} — замкнутый круг радиуса r > 0 с
центром в точке z0;
◦Br(z0) = {z
0 < |z − z0| < r} — проколотая окрестность точки
z0;
◦Br(∞) = {z
|z| > r} — проколотая окрестность бесконечности;


Br(∞) =
◦Br(∞) ∪ ∞ — окрестность бесконечности;

arg z — произвольное значение аргумента числа z ̸= 0;

argгл z — главное значение аргумента числа z ̸= 0, т.е. из интервала (−
π, π];

Arg z = {argгл z + 2πk
k ∈ Z} — множество значений аргумента 
числа z ̸= 0;
5

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

λψ0 := {z
arg z = ψ0} ∪ {0} — луч, выходящий из точки 0, состоящий 
из точек с аргументом ψ0 ∈ [0, 2π);

γab — ориентированная кривая с началом в точке a и с концом
в точке b;

γ−1 — ориентированная кривая, обход которой производится
в обратном направлении по сравнению с направлением кривой
γ;

◦γ — простая замкнутая ориентированная кривая;

f : G → C — функция f задана на множестве G со значениями
в расширенной комплексной плоскости C;

f(G) = {f(z)
z ∈ G} — множество значений функции f, за-
данной на множестве G;

ux(x, y) = ∂u

∂x (x, y), uy(x, y) = ∂u

∂y (x, y) — частные производные
первого порядка функции u(x, y);

{ n√z} — многозначная функция корня n-й степени z;

Ln z — многозначная функция логарифма z, аналитическая
функция логарифма z;

{zn}, {fn(z)} — числовая и функциональная последовательно-
сти;

C[0, 1], (C1[0, 1]) — пространство действительных непрерывных
(непрерывно дифференцируемых) функций, заданных на от-
резке [0, 1];

C2(G) — пространство действительных дважды непрерывно
дифференцируемых функций, заданных на области G ⊂ R2;

res
a f — вычет функции f в точке a;

dist(z, γ) = inf{|z − ζ|
ζ ∈ γ} — расстояние от точки z до кри-
вой γ;

diam G = sup{|z − ζ|
z, ζ ∈ G} — диаметр множества G ⊂ C.

6

Предисловие

Предисловие

Настоящая книга является достаточно полным конспек-
том курса лекций по теории функций комплексного пере-
менного, читаемого автором студентам Московского физико-
технического института. Это — полуторасеместровый курс в
объеме 45 академических часов лекционных занятий.
Эта книга является учебным пособием для студентов выс-
ших учебных заведений с углубленным изучением курса мате-
матики.
В настоящей книге мы будем изучать свойства функций ком-
плексного переменного. Такие функции нашли многочислен-
ные применения как в различных разделах чистой математи-
ки, таких как: алгебра, аналитическая теория чисел, диффе-
ренциальные уравнения, так и в различных прикладных ма-
тематических дисциплинах, таких как: теоретическая физика,
небесная механика, гидродинамика, теория упругости и др.
Чтобы понять важность теории функций комплексного пе-
ременного, отметим лишь некоторые примеры использования
этой теории, которые встречаются студентам младших курсов
при изучении ими алгебры, математического анализа и диф-
ференциальных уравнений. Так, утверждение о том, что вся-
кое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один ком-
плексный корень, является основным в алгебре. В интеграль-
ном исчислении большое значение имеет тот факт, что рацио-
нальная функция представима в виде элементарных дробей с
комплексными коэффициентами. Понятие комплексного числа
и экспоненциальной функции комплексного переменного име-
ет важное значение при решении линейных дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами. Только изучив 
теорию функций комплексного переменного, можно понять, 
почему такая хорошая на всей числовой оси функция
f(x) = 1/(1 + x2) может быть представлена в виде степенного

ряда f(x) =
+∞
n=0
(−1)nx2n лишь при значениях x, удовлетворяющих 
условию −1 < x < 1.
7

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

Несколько слов о плане настоящего курса. В первых параграфах 
мы будем заниматься развитием в комплексной области 
известных из действительного анализа основных понятий
и операций: предела, производной, интеграла.
Опираясь на
указанный аналитический аппарат, в основной части курса мы
будем изучать свойства регулярных (= голоморфных) функций, 
т. е. функций комплексного переменного, определенных и
непрерывно дифференцируемых в некоторой области на комплексной 
плоскости. В §§ 9–11 и § 19 будут изучены условия
представления таких функций в виде степенных рядов, в виде
рядов Лорана, а также рядов из элементарных дробей.
В книге изложены свойства обратных многозначных функций. 
В §§ 14–17 приведено подробное исследование условий су-
ществования и вид однозначных функций, называемых «регулярными 
ветвями» многозначного корня или многозначного
логарифма от регулярной функции. В §§ 27–29 рассмотрены
понятия аналитических продолжений и аналитической функции.

В курсе также изложены геометрические принципы регулярных 
функций, такие как: принцип аргумента, принцип сохранения 
области, принцип максимума модуля и другие. На их
основе построена геометрическая теория конформных отображений, 
осуществляемых регулярными функциями.
В книге приведены некоторые прикладные аспекты теории
функций комплексного переменного. В § 13 и § 18 c помощью
теории вычетов показаны эффективные методы вычисления
интегралов, в том числе несобственных интегралов от действительных 
функций. В § 26 на примере задачи Дирихле продемонстрированы 
возможности комплексного анализа при решении 
уравнений математической физики.
В книге имеются некоторые упражнения, призванные закрепить 
теоретический материал. Эти упражнения имеют разный
уровень сложности, и поэтому студентам не стоит огорчаться,
если они не сразу смогут найти решение некоторых из них.
Для данного курса написан и опубликован в 2006 году
«Сборник задач по теории функций комплексного перемен-
8

Предисловие

ного» в издательстве «БИНОМ. Лаборатория знаний», авто-
ры М.И.Шабунин, Е.С. Половинкин и М.И.Карлов [11]. Этот
сборник задач содержит не только большое количество задач
по курсу ТФКП, но также формулировки основных теорем
курса и решения многих наиболее типичных задач.
Первое издание книги вышло в 1999 году.
Во втором из-
дании (2003 год) и в третьем издании (2015 год) устранены
опечатки и сделаны небольшие изменения в доказательствах
некоторых теорем.
В настоящем четвертом издании в опре-
делении регулярной функции убрано условие непрерывности
производной, добавлены лемма Гурса и частный случай тео-
ремы Жордана для многогранника, изменены доказательства
интегральной теоремы Коши и леммы об открытости. Мате-
риал, связанный с понятиями аналитического продолжения и
аналитической функции, перенесен в конец курса.
Считаю своим долгом выразить признательность своим
коллегам — профессорам А. А. Болибруху, В. В. Горяйнову,
В. К. Захарову, В. Б. Лидскому, Б. В. Пальцеву, Ю. В. Сидоро-
ву, М. И. Шабунину и Г. Н. Яковлеву за полезные обсуждения
первого и второго издания книги, а также выражаю большую
благодарность А. В. Полозову за помощь в подготовке рукопи-
си к печати. Особую признательность выражаю моим слуша-
телям — студентам физтеха, которые помогли исправить опе-
чатки в первом издании и сделали ряд интересных замечаний
по данному курсу лекций.

9

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

§ 1. Комплексные числа

Рассмотрим двумерное линейное евклидово пространство
R2, состоящее из векторов z = (x, y) с двумя действительны-
ми компонентами x, y, в котором как обычно заданы
0) равенство векторов (покомпонентное), т.е.
z1 = z2
⇐⇒
x1 = x2,
y1 = y2
1) операция сложения векторов
z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2),
где zk = (xk, yk), k ∈ 1, 2;
2) операция умножения вектора z на действительное число
λ:
λz = (λx, λy);
3) расстояние и норма:
ρ(z1, z2) = ∥z1 − z2∥ =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Общие свойства приведенных выше операций Вам должны
быть хорошо известны из курса математического анализа.
Обозначим базисные векторы из R2 следующим образом:
1 := (1, 0),
i := (0, 1).
(1.1)
В силу (1.1) всякий вектор z = (x, y) ∈ R2 можно записать в
виде z = x · 1 + y · i, или проще: z = x + iy.
Теперь определим в R2 операцию произведения следующим
образом
z1z2 := (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1),
(1.2)
где zk = xk + iyk.

Определение 1.1. Евклидово пространство R2, в котором
определено произведение по формуле (1.2), называется множе-
ством (или пространством) комплексных чисел C. Элементы
множества C называются комплексными числами.
Комплексное число i называется мнимой единицей. В силу
определения произведения (1.2) получаем, что i2 = −1.
Множество комплексных чисел вида x + i0 изоморфно мно-
жеству действительных чисел, так как взаимно однозначное
соответствие x + i0 → x сохраняется при выполнении операций
сложения и умножения. Поэтому мы не будем различать ком-
10

§ 1. Комплексные числа

плексное число x + i0 и действительное число x. Соответствен-
но, x = Re z называется действительной (или: вещественной)
частью, а y = Im z — мнимой частью числа z = x + iy.
Величина |z| :=
x2 + y2 называется модулем комплексного
числа z = x + iy.
Число z := x−iy называется комплексно-сопряженным чис-
лом к числу z = x + iy.
Очевидно, что zz = |z|2.
Легко проверить справедливость следующих свойств:
1) z1z2 = z2z1 (коммутативность умножения),
2) (z1z2)z3 = z1(z2z3) (ассоциативность умножения),
3) (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 (дистрибутивность),
4) обратимость операции умножения (1.2), т. е. для любых z1 ̸=
̸= 0 и z2 уравнение
z1z = z2
(1.3)
имеет, и притом единственное, решение, которое будем обозначать 
z := z2/z1 и называть результатом деления числа
z2 на число z1.
Докажем последнее свойство. Уравнение (1.3) эквивалентно
в силу определения произведения (1.2) системе линейных уравнений
x1x − y1y = x2,
y1x + x1y = y2.
(1.4)

Определитель этой системы равен

Δ =

x1
−y1

y1
x1

= x2
1 + y2
1 = |z1|2 ̸= 0,

т. е. по правилу Крамера решение системы (1.4) (т.е. уравнения
(1.3)) существует и единственно.
Решение уравнения (1.3) можно получить иначе, домножая
это уравнение на z1. Тогда получаем

z1z1z = z1z2,
|z1|2z = z1z2,

z = z1z2

|z1|2 = x1x2 + y1y2

x2
1 + y2
1
+ −y1x2 + x1y2

x2
1 + y2
1
i.
(1.5)

Решение уравнения z1z = 1, z1 ̸= 0 называют обратным числом 
к z1 и обозначают z−1
1
= 1

z1 .
11

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

Множество комплексных чисел C удобно рассматривать как
множество точек, принадлежащих евклидовой плоскости, выбрав 
базисные векторы 1 и i из (1.1) (см. рис. 1.1). Эту плоскость 
будем называть комплексной плоскостью.

x

y

0
x

y
z = x + iy

ϕ

Рис. 1.1

Перейдем в этой плоскости к полярной
системе координат
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
(1.6)

В новых обозначениях получаем, что
r = |z|, т. е. r есть модуль числа z, а ϕ называется аргументом
комплексного числа z ̸= 0 и обозначается arg z. В силу периодичности 
тригонометрических функций аргумент числа z ̸=
̸= 0 нельзя определить однозначно, лишь с точностью до 2πk.
Поэтому введем специальные обозначения. Аргумент числа z,
выбираемый в интервале (−π, π], назовем главным значением
аргумента z и обозначим
argгл z ∈ (−π, π].
(1.7)
Тогда множество всех значений аргумента числа z выражается
формулой
Arg z := {argгл z + 2πk
k ∈ Z},
(1.8)

где через Z обозначено множество всех целых чисел. Через N
будем обозначать множество всех натуральных чисел.
Отметим, что для числа z = 0 аргумент не определен.
Для всякого числа z = x + iy ̸= 0, используя переменные
(r, ϕ) (1.6), получаем его представление в виде
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) ,
где
ϕ ∈ Arg z,
(1.9)
которое называется тригонометрической (или полярной) формой 
задания комплексного числа.
Отметим, что два комплексных числа, записанные в тригонометрической 
форме, равны между собой тогда и только тогда, 
когда равны их модули и множества значений аргумента.
Произведение чисел, заданных в форме (1.9), в силу формулы 
(1.2) принимает вид
z1z2 = |z1|(cos ϕ1 + i sin ϕ1)|z2|(cos ϕ2 + i sin ϕ2) =
12