Теория функций комплексного переменного

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 
КОМПЛЕКСНОГО 
ПЕРЕМЕННОГО

Е.С. ПОЛОВИНКИН

2-е издание, переработанное и дополненное

Москва
ИНФРА-М
2022

УЧЕБНИК

Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации в области
авиации, ракетостроения и космоса в качестве учебника
для студентов высших технических учебных заведений

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
П52

Половинкин Е.С.
П52  
Теория функций комплексного переменного : учебник / Е.С. Половинкин. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 
253 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1845987.

ISBN 978-5-16-017359-7 (print)
ISBN 978-5-16-109915-5 (online)
В учебнике излагаются основы теории функций комплексного переменного. Рассматриваются также геометрические принципы аналитических 
(регулярных) функций, на основе которых построена геометрическая теория конформных отображений. Приводятся некоторые прикладные аспекты функций комплексного переменного.
Рекомендовано Учебно-методическим советом высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики в качестве учебника для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению подготовки «Прикладные математика и физика» и смежным направлениям и специальностям.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов и преподавателей технических и физико-математических вузов.

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73

Р е ц е н з е н т ы:
Буслаев В.И., доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Отдела комплексного анализа Математического института имени В.А. Стеклова Российской академии наук;
Лукашов А.Л., доктор физико-математических наук, профессор 
кафедры высшей математики Московского физико-технического института (национального исследовательского университета)

ISBN 978-5-16-017359-7 (print)
ISBN 978-5-16-109915-5 (online)

© Половинкин Е.С., 2015
© Половинкин Е.С., 2022, 
с изменениями

Оглавление

Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§2. Пределы. Ряды. Расширенная комплексная плоскость. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§3. Дифференцирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§4. Регулярные функции. Гармонические функции . . . . . . . 29
§5. Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§6. Интегрирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§7. Интегральная теорема Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§8. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§9. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§10. Некоторые свойства регулярных функций . . . . . . . . . . . . 78
§11. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§12. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§13. Теория вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

13.1. Вычисление интегралов вида J =
+∞
−∞
Fn, m(x) dx . . . . . . .106

13.2. Вычисление интегралов вида J =
2π
0
F(cos ϕ, sin ϕ) dϕ. . .108

13.3. Вычисление интегралов вида J =
+∞
−∞
eiαxFn,m(x) dx . . . .109

§14. Приращение аргумента z вдоль кривой . . . . . . . . . . . . . . .112
§15. Регулярные ветви многозначных функций корня
и логарифма Ln z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
§16. Регулярные ветви многозначных функций Ln f(z)
и
nf(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
3

§17. Примеры нахождения регулярных ветвей и комплексная степень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
17.1. Примеры.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
17.2. Понятие комплексной степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
§18. Примеры вычисления интегралов
от регулярных ветвей многозначных функций . . . . . . . .139
§19. Целые и мероморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
§20. Принцип аргумента. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
§21. Геометрические принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
§22. Конформные отображения в C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
22.1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
22.2. Конформные отображения в C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
22.3. Конформные отображения в C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
§23. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
§24. Конформные отображения элементарными функциями. Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
24.1. Степенн´ая функция.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
24.2. Экспоненциальная функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
24.3. Функция Жуковского.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
24.4. Теорема Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
§25. Принцип симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
§26. Задача Дирихле на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209
§27. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
§28. Полные аналитические функции логарифма и корня и их римановы поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
28.1. Полные аналитические функции.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
28.2. Римановы поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236
§29. Особые точки аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . .241
Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

4

Основные обозначения

:= — знак равенства по определению;

N — множество всех натуральных чисел;

Z — множество всех целых чисел;

n, m — множество целых чисел вида n, n + 1, n + 2, . . . , m;

R — множество всех действительных чисел;

Rn — n-мерное действительное евклидово пространство;

C — множество всех комплексных чисел, комплексная плоскость;

C — расширенная комплексная плоскость;

|z| =
x2 + y2 — модуль комплексного числа z = x + iy;

z = x − iy — число, комплексно-сопряженное числу z = x + iy;

Re z = x — действительная часть числа z = x + iy;

Im z = y — мнимая часть числа z = x + iy;

Br(z0) = {z
|z − z0| < r} — открытый круг радиуса r > 0 с
центром в точке z0;

Br(z0) = {z
|z − z0| ⩽ r} — замкнутый круг радиуса r > 0 с
центром в точке z0;
◦Br(z0) = {z
0 < |z − z0| < r} — проколотая окрестность точки
z0;
◦Br(∞) = {z
|z| > r} — проколотая окрестность бесконечности;

Br(∞) =
◦Br(∞) ∪ ∞ — окрестность бесконечности;

arg z — произвольное значение аргумента числа z ̸= 0;

argгл z — главное значение аргумента числа z ̸= 0, т.е. из интервала (−π, π];

Arg z = {argгл z + 2πk
k ∈ Z} — множество значений аргумента числа z ̸= 0;
5

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

λψ0 := {z
arg z = ψ0} ∪ {0} — луч, выходящий из точки 0, состоящий из точек с аргументом ψ0 ∈ [0, 2π);

γab — ориентированная кривая с началом в точке a и с концом
в точке b;

γ−1 — ориентированная кривая, обход которой производится
в обратном направлении по сравнению с направлением кривой
γ;

◦γ — простая замкнутая ориентированная кривая;

f : G → C — функция f задана на множестве G со значениями
в расширенной комплексной плоскости C;

f(G) = {f(z)
z ∈ G} — множество значений функции f, заданной на множестве G;

ux(x, y) = ∂u

∂x (x, y), uy(x, y) = ∂u

∂y (x, y) — частные производные
первого порядка функции u(x, y);

{ n√z} — многозначная функция корня n-й степени z;

Ln z — многозначная функция логарифма z, аналитическая
функция логарифма z;

{zn}, {fn(z)} — числовая и функциональная последовательности;

C[0, 1], (C1[0, 1]) — пространство действительных непрерывных
(непрерывно дифференцируемых) функций, заданных на отрезке [0, 1];

C2(G) — пространство действительных дважды непрерывно
дифференцируемых функций, заданных на области G ⊂ R2;

res
a f — вычет функции f в точке a;

dist(z, γ) = inf{|z − ζ|
ζ ∈ γ} — расстояние от точки z до кривой γ;

diam G = sup{|z − ζ|
z, ζ ∈ G} — диаметр множества G ⊂ C.

6

Предисловие

Предисловие

Настоящая книга является достаточно полным конспектом курса лекций по теории функций комплексного переменного, читаемого автором студентам Московского физикотехнического института. Это — полуторасеместровый курс в
объеме 45 академических часов лекционных занятий.
Эта книга является учебным пособием для студентов высших учебных заведений с углубленным изучением курса математики.
В настоящей книге мы будем изучать свойства функций комплексного переменного. Такие функции нашли многочисленные применения как в различных разделах чистой математики, таких как: алгебра, аналитическая теория чисел, дифференциальные уравнения, так и в различных прикладных математических дисциплинах, таких как: теоретическая физика,
небесная механика, гидродинамика, теория упругости и др.
Чтобы понять важность теории функций комплексного переменного, отметим лишь некоторые примеры использования
этой теории, которые встречаются студентам младших курсов
при изучении ими алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений. Так, утверждение о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один комплексный корень, является основным в алгебре. В интегральном исчислении большое значение имеет тот факт, что рациональная функция представима в виде элементарных дробей с
комплексными коэффициентами. Понятие комплексного числа
и экспоненциальной функции комплексного переменного имеет важное значение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Только изучив теорию функций комплексного переменного, можно понять, почему такая хорошая на всей числовой оси функция
f(x) = 1/(1 + x2) может быть представлена в виде степенного

ряда f(x) =
+∞
n=0
(−1)nx2n лишь при значениях x, удовлетворя
ющих условию −1 < x < 1.
7

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

Несколько слов о плане настоящего курса. В первых параграфах мы будем заниматься развитием в комплексной области известных из действительного анализа основных понятий
и операций: предела, производной, интеграла.
Опираясь на
указанный аналитический аппарат, в основной части курса мы
будем изучать свойства регулярных (= голоморфных) функций, т. е. функций комплексного переменного, определенных и
непрерывно дифференцируемых в некоторой области на комплексной плоскости. В §§ 9–11 и § 19 будут изучены условия
представления таких функций в виде степенных рядов, в виде
рядов Лорана, а также рядов из элементарных дробей.
В книге изложены свойства обратных многозначных функций. В §§ 14–17 приведено подробное исследование условий существования и вид однозначных функций, называемых «регулярными ветвями» многозначного корня или многозначного
логарифма от регулярной функции. В §§ 27–29 рассмотрены
понятия аналитических продолжений и аналитической функции.
В курсе также изложены геометрические принципы регулярных функций, такие как: принцип аргумента, принцип сохранения области, принцип максимума модуля и другие. На их
основе построена геометрическая теория конформных отображений, осуществляемых регулярными функциями.
В книге приведены некоторые прикладные аспекты теории
функций комплексного переменного. В § 13 и § 18 c помощью
теории вычетов показаны эффективные методы вычисления
интегралов, в том числе несобственных интегралов от действительных функций. В § 26 на примере задачи Дирихле продемонстрированы возможности комплексного анализа при решении уравнений математической физики.
В книге имеются некоторые упражнения, призванные закрепить теоретический материал. Эти упражнения имеют разный
уровень сложности, и поэтому студентам не стоит огорчаться,
если они не сразу смогут найти решение некоторых из них.
Для данного курса написан и опубликован в 2006 году
«Сборник задач по теории функций комплексного перемен8

Предисловие

ного» в издательстве «БИНОМ. Лаборатория знаний», авторы М.И.Шабунин, Е.С. Половинкин и М.И.Карлов [11]. Этот
сборник задач содержит не только большое количество задач
по курсу ТФКП, но также формулировки основных теорем
курса и решения многих наиболее типичных задач.
Первое издание книги вышло в 1999 году.
Во втором издании (2003 год) и в третьем издании (2015 год) устранены
опечатки и сделаны небольшие изменения в доказательствах
некоторых теорем.
В настоящем четвертом издании в определении регулярной функции убрано условие непрерывности
производной, добавлены лемма Гурса и частный случай теоремы Жордана для многогранника, изменены доказательства
интегральной теоремы Коши и леммы об открытости. Материал, связанный с понятиями аналитического продолжения и
аналитической функции, перенесен в конец курса.
Считаю своим долгом выразить признательность своим
коллегам — профессорам А. А. Болибруху, В. В. Горяйнову,
В. К. Захарову, В. Б. Лидскому, Б. В. Пальцеву, Ю. В. Сидорову, М. И. Шабунину и Г. Н. Яковлеву за полезные обсуждения
первого и второго издания книги, а также выражаю большую
благодарность А. В. Полозову за помощь в подготовке рукописи к печати. Особую признательность выражаю моим слушателям — студентам физтеха, которые помогли исправить опечатки в первом издании и сделали ряд интересных замечаний
по данному курсу лекций.

9

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

§ 1. Комплексные числа

Рассмотрим двумерное линейное евклидово пространство
R2, состоящее из векторов z = (x, y) с двумя действительными компонентами x, y, в котором как обычно заданы
0) равенство векторов (покомпонентное), т.е.
z1 = z2
⇐⇒
x1 = x2,
y1 = y2
1) операция сложения векторов
z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2),
где zk = (xk, yk), k ∈ 1, 2;
2) операция умножения вектора z на действительное число
λ:
λz = (λx, λy);
3) расстояние и норма:
ρ(z1, z2) = ∥z1 − z2∥ =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Общие свойства приведенных выше операций Вам должны
быть хорошо известны из курса математического анализа.
Обозначим базисные векторы из R2 следующим образом:
1 := (1, 0),
i := (0, 1).
(1.1)
В силу (1.1) всякий вектор z = (x, y) ∈ R2 можно записать в
виде z = x · 1 + y · i, или проще: z = x + iy.
Теперь определим в R2 операцию произведения следующим
образом
z1z2 := (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1),
(1.2)
где zk = xk + iyk.

Определение 1.1. Евклидово пространство R2, в котором
определено произведение по формуле (1.2), называется множеством (или пространством) комплексных чисел C. Элементы
множества C называются комплексными числами.
Комплексное число i называется мнимой единицей. В силу
определения произведения (1.2) получаем, что i2 = −1.
Множество комплексных чисел вида x + i0 изоморфно множеству действительных чисел, так как взаимно однозначное
соответствие x + i0 → x сохраняется при выполнении операций
сложения и умножения. Поэтому мы не будем различать ком10

§ 1. Комплексные числа

плексное число x + i0 и действительное число x. Соответственно, x = Re z называется действительной (или: вещественной)
частью, а y = Im z — мнимой частью числа z = x + iy.
Величина |z| :=
x2 + y2 называется модулем комплексного
числа z = x + iy.
Число z := x−iy называется комплексно-сопряженным числом к числу z = x + iy.
Очевидно, что zz = |z|2.
Легко проверить справедливость следующих свойств:
1) z1z2 = z2z1 (коммутативность умножения),
2) (z1z2)z3 = z1(z2z3) (ассоциативность умножения),
3) (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 (дистрибутивность),
4) обратимость операции умножения (1.2), т. е. для любых z1 ̸=
̸= 0 и z2 уравнение
z1z = z2
(1.3)
имеет, и притом единственное, решение, которое будем обозначать z := z2/z1 и называть результатом деления числа
z2 на число z1.
Докажем последнее свойство. Уравнение (1.3) эквивалентно
в силу определения произведения (1.2) системе линейных уравнений
x1x − y1y = x2,
y1x + x1y = y2.
(1.4)

Определитель этой системы равен

Δ =

x1
−y1

y1
x1

= x2
1 + y2
1 = |z1|2 ̸= 0,

т. е. по правилу Крамера решение системы (1.4) (т.е. уравнения
(1.3)) существует и единственно.
Решение уравнения (1.3) можно получить иначе, домножая
это уравнение на z1. Тогда получаем

z1z1z = z1z2,
|z1|2z = z1z2,

z = z1z2

|z1|2 = x1x2 + y1y2

x2
1 + y2
1
+ −y1x2 + x1y2

x2
1 + y2
1
i.
(1.5)

Решение уравнения z1z = 1, z1 ̸= 0 называют обратным числом к z1 и обозначают z−1
1
= 1

z1 .
11

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

Множество комплексных чисел C удобно рассматривать как
множество точек, принадлежащих евклидовой плоскости, выбрав базисные векторы 1 и i из (1.1) (см. рис. 1.1). Эту плоскость будем называть комплексной плоскостью.

x

y

0
x

y
z = x + iy

ϕ

Рис. 1.1

Перейдем в этой плоскости к полярной
системе координат
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
(1.6)

В новых обозначениях получаем, что
r = |z|, т. е. r есть модуль числа z, а ϕ называется аргументом
комплексного числа z ̸= 0 и обозначается arg z. В силу периодичности тригонометрических функций аргумент числа z ̸=
̸= 0 нельзя определить однозначно, лишь с точностью до 2πk.
Поэтому введем специальные обозначения. Аргумент числа z,
выбираемый в интервале (−π, π], назовем главным значением
аргумента z и обозначим
argгл z ∈ (−π, π].
(1.7)
Тогда множество всех значений аргумента числа z выражается
формулой
Arg z := {argгл z + 2πk
k ∈ Z},
(1.8)

где через Z обозначено множество всех целых чисел. Через N
будем обозначать множество всех натуральных чисел.
Отметим, что для числа z = 0 аргумент не определен.
Для всякого числа z = x + iy ̸= 0, используя переменные
(r, ϕ) (1.6), получаем его представление в виде
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) ,
где
ϕ ∈ Arg z,
(1.9)
которое называется тригонометрической (или полярной) формой задания комплексного числа.
Отметим, что два комплексных числа, записанные в тригонометрической форме, равны между собой тогда и только тогда, когда равны их модули и множества значений аргумента.
Произведение чисел, заданных в форме (1.9), в силу формулы (1.2) принимает вид
z1z2 = |z1|(cos ϕ1 + i sin ϕ1)|z2|(cos ϕ2 + i sin ϕ2) =
12