Теория функций комплексного переменного

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНИК

Е.С. ПОЛОВИНКИН

Рекомендовано
Учебно -методическим советом  высших учебных заведений 
Российской Федерации по образованию в области 
авиации, ракетостроения и космоса в качестве учебника 
для студентов высших технических учебных заведений

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
П52

© Половинкин Е.С., 2015

Половинкин Е.С. 
Теория функций комплексного переменного : учебник / 
Е.С. Половинкин. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 254 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/6014.

ISBN 978-5-16-013608-0 (print)
ISBN 978-5-16-106273-9 (online)

В учебнике излагаются основы теории функций комплексного переменного. Рассматриваются также геометрические принципы аналитических 
(регулярных) функций, на основе которых построена геометрическая теория конформных отображений. Приводятся некоторые прикладные аспекты 
функций комплексного переменного.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73

П52

ISBN 978-5-16-013608-0 (print)
ISBN 978-5-16-106273-9 (online)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

2. . . .

. . . . . . . . . . . .
15

3. 23
4. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

5. . . . . . . . . . . . . . . . .
35

6. . .
43

7. . . . . . . . . . . . . . . . .
49

8. . . . . . . . . . . . . . . . .
56

9. . . . . . . . . . . . .
60

10. . . . . . . . . .
69

11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

12. . . . . . . . . . . . . . . . .
86

13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

14. z . . . . . . . . . . 109
15. Ln z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

16. Ln f(z) 122
17. . . . . . . . . . 131
18. . . . . . . . . . . . . . . . 138

19. . . . . . . . . . . . . . . 147

20. . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
21. . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

22. . . . . . . . . . . . 174
23. . . . . . . . . . . . . . . 181
24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
25. C
. . . . . . . . . . . . . . . 193

26. -. . . . . . . . . . . . . . . 199
27. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
29. . . . . . . . . . . . . . . . . 235

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

. . . : △= N Z n,m n,n + 1,n + 2, . . . ,m
R Rn n-C , C |z| =

x2 + y2 z = x + iy

z = x − iy , -z = x + iy
Re z = x z = x + iy
Im z = y z = x + iy
Br(z0) = {z | |z − z0| < r} r > 0 z0
Br(z0) = {z | |z − z0| ⩽ r} r > 0 z0
◦
Br(z0) = {z | 0 < |z − z0| < r} z0◦
Br(∞) = {z | |z| > r} Br(∞) =

◦
Br(∞) ∪ ∞ arg z z ̸= 0
argz z ̸= 0, (−π,π]
Arg z = {argz + 2πk | k ∈ Z} z ̸= 0

λψ0

△= {z | arg z = ψ0} ∪ {0} , 0,

ψ0 ∈ [0,2π).
γab () a b;
γ−1 , γ
◦γ ()

4

f : G → C f G C
f(G) = {f(z) | z ∈ G} f,
G
ux(x,y) = ∂u

∂x(x,y), uy(x,y) = ∂u

∂y (x,y) u(x,y)
{ n√z} n-z
Ln z z, z
{zn}, {fn(z)} C[0,1], (C1[0,1]) () , [0,1]
C2(G) , G ⊂ R2

res

a f f a

dist(z,γ) = inf{|z − ζ| | ζ ∈ γ} z γ
diam G = sup{|z − ζ| | z,ζ ∈ G} G ⊂ C

5

. . . : ,
-. 51
.

.

. , : , , , , : ,
, , .

, , , . , , , . , . . , , f(x) = 1/(1 + x2) f(x) =

+∞
n=0

(−1)nx2n x, −1 < x < 1.

6

. : , , . , (= )
, . . , . 9 11 19 , , .

. 14 17 , "". 20 21 .

, : , , . , .

. 13 18 c , . 29 .

, . , , .

7

. . . : 2006 . , .., .. ..[11].  , .

1999 . (2003 ) .

. . , . . ,
. . , . . , . . , . . , . . . . , . . . , .

8

1. 1. R2, z = (x,y) x, y, 0)
(), .. z1 = z2 ⇔

⇔ x1 = x2, y1 = y2

1) z1 + z2 = (x1 + x2,y1 + y2),

zk = (xk,yk), k ∈ 1,2;

2) z λ:

λz = (λx,λy);

3) :

ρ(z1,z2) = ∥z1 − z2∥ =

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

.

R2 :

1

△= (1,0),
i

△= (0,1).
(1)

(1) z = (x,y) ∈ R2 z = x · 1 + y · i, : z = x + iy.

R2 z1z2

△= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1),
(2)

zk = xk + iyk.

1. R2, (2), () C. C .

i . (2) , i2 = −1.

9

. . . : x+i0 , x+i0 → x . x+i0 x. , x = Re z (: )
, y = Im z z = x + iy.

|z|

△=

x2 + y2 z = x + iy.

z

△= x−iy -z = x + iy.

, zz = |z|2.
:
1) z1z2 = z2z1 (),
2) (z1z2)z3 = z1(z2z3) (),
3) (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 (),
4)
(2), . . z1 ̸= 0 z2 z1z = z2
(3)

, , , z

△= z2/z1 z2 z1.

. (3) (2) x1x − y1y = x2,
y1x + x1y = y2.
(4)

∆ =

x1 −y1
y1
x1

= x2

1 + y2

1 = |z1|2 ̸= 0,

. . (4) (.. (3)) .

10

1. (3) , z1. (z1z1)z = z1z2 ⇒ |z1|2z = z1z2 ⇒

z = z1z2

|z1|2 = x1x2 + y1y2

x2

1 + y2

1

+ −y1x2 + x1y2

x2

1 + y2

1

i.
(5)

z1z = 1, z1 ̸= 0 z1 z−1

1
= 1

z1 .

x

y

0
x

y
z = x + iy

ϕ

. 1

C

, , 1 i (1) (. . 1). .

x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
(6)

, r = |z|, . . r z, ϕ z ̸= 0 arg z. z ̸= 0 , 2πk. . z, (−π,π], z argz ∈ (−π,π].
(7)

z Arg z

△= {argz + 2πk | k ∈ Z},
(8)

Z . N
.

11