Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Линейная алгебра:
теория
и прикладные аспекты

2023

Москва

И
М
НФРАУчебное пособие

3е издание,
исправленное
и дополненное

Г. С. Шевцов

Рекомендовано Научнометодическим
советом по математике и механике
Учебнометодического объединения
по классическому университетскому
образованию в качестве учебного пособия
для математических направлений
и специальностей

УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я 73
Ш37

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра высшей математики Пермского государственного
технического университета
(заведующий кафедрой — др физ.мат. наук, проф. А. Р. Абдуллаев);
др тех. наук, проф. В. М. Суслонов

Шевцов Г. С.
Ш37
Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты : учебное пособие / Г. С. Шевцов. — 3е изд., испр. и доп. — Москва : Магистр : ИНФРАМ, 2023. — 544 с.
ISBN 9785977605014 (в пер.)
ISBN 9785160062853
Агентство CIP РГБ

Пособие охватывает весь обязательный теоретический и практический
программный материал по курсу линейной алгебры для бакалавриата и магистратуры, а также некоторые нетрадиционные разделы: специальные разложения
матриц, функции от матриц, псевдообратные матрицы, решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов и итерационными методами,
устойчивость решений систем линейных уравнений. Цель пособия — создание
базы для овладения другими разделами математики, в частности, для освоения
вычислительных методов решения теоретических и прикладных задач.
Для студентов и аспирантов, обучающихся по направлениям и специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Физика», «Математические
методы в экономике», «Инженерная технология», «Информатика» и др. Для
преподавателей математики, научных работников и специалистов, применяющих методы линейной алгебры в своей практической деятельности. Может быть
использовано в качестве справочника.

УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я 73

ISBN 9785977605014
© Шевцов Г. С., 2013
ISBN 9785160062853
© Издательство «Магистр», 2013

-

. .
-
, -, -.
[35], [36] .

. -
, , -
.
12 , (. 15,
812) (. 6, 7). 1 -
. 25 , , -
. 67 -
. -
812 , , -
, , -
, , , n-.

-

; -
; .

, , -

. , , ,
, , , .
-
() () ,

3

, -
. -
.
. , -
-
, , , -
, -
, .
, , .

◃ , ▶ .

-

-, .. .. .

4

1. 1.1. , , ,

, -

, -
. -
, .
A, B,
C, ..., X, Y , ..., a, b,
c, ..., x, y, ... x ∈ A, x -
A, x /∈ A, x A. , . ∅.

A, . , A -
, , -
a b, ,
c, . -
, c a b -
a + b; , c a b a b. -
∗.

∗ , , .. a b a ∗ b = b ∗ a. , , .

∗ . -

a, b, c, ∗
(a ∗ b) ∗ c, a ∗ (b ∗ c). .

∗ , a, b, c -

5

1. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). -
∗, a, b, c, a ∗ b ∗ c, , -
. -
a1 ∗ a2 ∗ ... ∗ ak, a1, a2, ..., ak. . -
, .

∗ , a ∗ x = b,
y ∗ a = b

x y A. -
. , ∗ . .

a -

, -
a. , , a -
a −a; , , -
a a−1. , , a/b = a b−1.

-

. -
, ; -
, -
. -
; , , , -
.

:
1. .
2. .
3. , n, .

6

1.1. , , , , 4. , -

.

5. , -

, , .

6. n-.

7. , -

, , -
.

-G H, G, , -
G, H G. ,
-
, -
.

K -

. , -
, a, b, c K
(a + b)c = ac + bc,
a(b + c) = ab + ac.

K , -

, -
, -
.

, -

, .
, .

P, , .

:
1. , , .

2. a + b

√

2, a b , .

3. , 0 1, , 0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1 + 0 = 1,
1 + 1 = 0

7

1. 0 · 0 = 0,
0 · 1 = 1 · 0 = 0,
1 · 1 = 1.

-

, . , -
. , . , -
(, , , ) -
, :

a
b ± c

d = ad ± bc

bd
,
a
b · c

d = ac

bd,
−a
b
= −a

b .

, a
b = c

d

, ad = bc. , -
, , (, -
). -
, -
-. 0, 1.

-

.

A. P , , -

a b P a + b P, a b. :

1) , .. a+b = b+a a b P;

2) , .. a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c P;

3) P 0, -

, , a + 0 = a a P;

4) a P −a, , , a+(−a) = 0 (-
, , ).

8

1.1. , , , , B. P , , -

a b P ab P, a b. :

1) , .. ab = ba a

b P;

2) , .. a(bc) = (ab)c -

a, b, c P;

3) P 1, -

, , a · 1 = 1 · a = a a P;

4) a P -

a−1, , , a·a−1 = a−1·a = 1
(P , -
, ).

C. P -

, .. a, b, c P (a + b) · c = a c + b c.

1.2. , -
, ak + ak+1 + ... + ap,
α1β1 + α2β2 + ... + αnβn.

:

ak + ak+1 + ... + ap =

p
∑

i=k

ai,
α1β1 + α2β2 + ... + αnβn =

n
∑

i=1

αiβi,

Σ ; i .

, ..

p
∑

i=k

ai =

p
∑

j=k

aj.

, , -

, ..

n
∑

k=p

α xk = α

n
∑

k=p

xk.

9

1. n
∑

k=p

α xk = α xp + α xp+1 + ... + α xn =

= α

(
xp + xp+1 + ... + xn)

= α

n
∑

k=p

xk.

-

, -
. p
∑

i=k

n
∑

j=m

aij.

-
, ..

p
∑

i=k

n
∑

j=m

aij =

n
∑

j=m

p
∑

i=k

aij.

,

p
∑

i=k

n
∑

j=m

aij =

p
∑

i=k

(
aim + ai,m+1 + ... + ain

)

=

= akm + ak,m+1 + ... + akn+

+ak+1,m + ak+1,m+1 + ... + ak+1,n+

.........................

+apm + ap,m+1 + ... + apn =

=

p
∑

i=k

aim +

p
∑

i=k

ai,m+1 + ... +

p
∑

i=k

ain =

=

n
∑

j=m

( p
∑

i=k

aij

)

=

n
∑

j=m

p
∑

i=k

aij.

.

10