Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Линейная алгебра:
теория
и прикладные аспекты

2010

Москва

И
М
НФРАУчебное пособие

2е издание,
исправленное
и дополненное

Г. С. Шевцов

Рекомендовано Научнометодическим
советом по математике и механике
Учебнометодического объединения
по классическому университетскому
образованию в качестве учебного пособия
для математических направлений
и специальностей

УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я 73
Ш37

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра высшей математики Пермского государственного
технического университета
(заведующий кафедрой — др физ.мат. наук, проф. А. Р. Абдуллаев);
др тех. наук, проф. В. М. Суслонов

Шевцов Г. С.
Ш37
Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты : учеб. пособие / Г. С. Шевцов. — 2е изд., испр. и доп. — М. : Магистр :
ИНФРАМ, 2010. — 528 с.
ISBN 9785977601634 (в пер.)
ISBN 9785160044880
Агентство CIP РГБ

Пособие охватывает весь обязательный теоретический и практический
программный материал по курсу линейной алгебры для бакалавриата и магистратуры, а также некоторые нетрадиционные разделы: специальные разложения
матриц, функции от матриц, псевдообратные матрицы, решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов и итерационными методами,
устойчивость решений систем линейных уравнений. Цель пособия — создание
базы для овладения другими разделами математики, в частности, для освоения
вычислительных методов решения теоретических и прикладных задач.
Для студентов и аспирантов, обучающихся по направлениям и специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Физика», «Математические
методы в экономике», «Инженерная технология», «Информатика» и др. Для
преподавателей математики, научных работников и специалистов, применяющих методы линейной алгебры в своей практической деятельности. Может быть
использовано в качестве справочника.

УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я 73

ISBN 9785977601634
© Шевцов Г. С., 2010
ISBN 9785160044880
© Издательство «Магистр», 2010

Подписано в печать 14.06.2010. Формат 60901/16.
Печать офсетная. Гарнитура «Ньютон».
Усл. печ. л. 33. Тираж 1000 экз. (1—300). Заказ

. .
, -, -.
[35], [36] .

. , , .
12 , (. 15,
812) (. 6, 7). 1 . 25 , , . 67 . 812 , , , , , , , n-.

; ; .

, , . , , ,
, , , .
() () ,

3

, . .
. , , , , , , .
, , .

▷  , ▶ .

-, .. .. .

4

1. 1.1. , , ,
, , . , .
 A, B,
C, ..., X, Y , ..., a, b,
c, ..., x, y, ... x ∈ A, x A, x /∈ A, x A. , . ∅.

A, . , A , , a b, ,
c, . , c a b a + b; , c a b a b. ∗.

∗ , , .. a b a ∗ b = b ∗ a. , , .

∗ . a, b, c, ∗
(a ∗ b) ∗ c, a ∗ (b ∗ c). .

∗ , a, b, c 5

1. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). ∗, a, b, c, a ∗ b ∗ c, , . a1 ∗ a2 ∗ ... ∗ ak, a1, a2, ..., ak. . , .

∗ , a ∗ x = b,
y ∗ a = b

x y A. . , ∗ . .

a , a. , , a a −a; , , a a−1. , , a/b = a b−1.

. , ; , . ; , , , .

:
1. .
2. .
3. , n, .

6

1.1. , , , , 4. , .

5. , , , .

6. n-.

7. , , , .

-G H, G, , G, H G. ,
, .

K . , , a, b, c K
(a + b)c = ac + bc,
a(b + c) = ab + ac.

K , , , .

, , .
, .

P, , .

:
1. , , .

2. a + b
√

2, a b , .

3. , 0 1, , 0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1 + 0 = 1,
1 + 1 = 0

7

1. 0 · 0 = 0,
0 · 1 = 1 · 0 = 0,
1 · 1 = 1.

, . , . , . , (, , , ) , :

a
b ± c

d = ad ± bc

bd
,
a
b · c

d = ac

bd,
−a
b
= −a

b .

, a
b = c

d

, ad = bc. , , , (, ). , -. 0, 1.

.

A. P , , a b P a + b P, a b. :

1) , .. a+b = b+a a b P;

2) , .. a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c P;

3) P 0, , , a + 0 = a a P;

4) a P −a, , , a+(−a) = 0 (, , ).

8

1.1. , , , , B. P , , a b P  ab P, a b. :

1) , .. ab = ba a
b P;

2) , .. a(bc) = (ab)c a, b, c P;

3) P 1, , , a · 1 = 1 · a = a a P;

4) a P a−1, , , a·a−1 = a−1·a = 1
(P , , ).

C. P , .. a, b, c P (a + b) · c = a c + b c.

1.2. , , ak + ak+1 + ... + ap,
α1β1 + α2β2 + ... + αnβn.

:

ak + ak+1 + ... + ap =

p
i=k
ai,
α1β1 + α2β2 + ... + αnβn =

n
i=1
αiβi,

Σ ; i .

, ..

p
i=k
ai =

p
j=k
aj.

, , , ..

n
k=p
α xk = α

n
k=p
xk.

9

1. n
k=p
α xk = α xp + α xp+1 + ... + α xn =

= α
xp + xp+1 + ... + xn= α

n
k=p
xk.

, . p
i=k

n
j=m
aij.

, ..
p
i=k

n
j=m
aij =

n
j=m

p
i=k
aij.

,

p
i=k

n
j=m
aij =

p
i=k

aim + ai,m+1 + ... + ain
=

= akm + ak,m+1 + ... + akn+

+ak+1,m + ak+1,m+1 + ... + ak+1,n+

.........................

+apm + ap,m+1 + ... + apn =

=

p
i=k
aim +

p
i=k
ai,m+1 + ... +

p
i=k
ain =

=

n
j=m

p
i=k
aij

=

n
j=m

p
i=k
aij.

.

10