Математические методы и модели в экономике

Серия «Учебные издания для бакалавров»





                Е. С. Кундышева, Б. А. Суслаков




МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
В ЭКОНОМИКЕ

Учебник
4-е издание, переработанное

Рекомендовано
Федеральным институтом развития образования в качестве учебника для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы высшего образования по направлению подготовки «Экономика» (уровень бакалавриата)


Москва Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 2023

УДК 330.4
ББК 65.050
     К91


Рецензенты:
     Б. С. Касаев — доктор экономических наук, профессор, почетный работник ВПО РФ, Финансовый университет при Правительстве РФ;
     Ю. Н. Павловский — член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН.




       Кундышева, Е. С.
К91        Математические методы и модели в экономике : учеб-
       ник для бакалавров / Е. С. Кундышева, Б. А. Суслаков. — 4-е изд., перераб. — Москва : Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2023. — 286 с.
            ISBN 978-5-394-05318-4.
            В учебнике рассматриваются математические методы в экономике, описываются методы построения экономико-математических моделей и даются готовые математические модели.
            Представленные в нем материалы дают возможность практического использования математических моделей в экономическом анализе, в принятии управленческих решений, в планировании и прогнозировании, в различных сферах и уровнях хозяйственного механизма.
            Для студентов экономико-математических направлений и профилей подготовки технических и экономических вузов и факультетов, бизнесменов, финансистов, менеджеров и бухгалтеров, преподавателей, а также для широкого круга читателей в качестве надежного самоучителя по экономикоматематическому моделированию и математическим методам в экономике.
УДК 330.4
ББК 65.050





ISBN 978-5-394-05318-4    © Кундышева Е. С., 2016
                           © Кундышева Е. С., Суслаков Б. А., 2023 с изменениями
                           © ИТК «Дашков и К°», 2023, с изменениями

            СОДЕРЖАНИЕ



ВВЕДЕНИЕ..............................................6
Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ...............7
  Глава 1. Основы теории графов.......................7
    § 1. Что такое граф?..............................7
    § 2. Задача определения кратчайшего пути.........14
    § 3. Графическая оптимизация сетей коммуникации..19
  Глава 2. Управление проектами......................22
    § 1. Основные понятия............................22
    § 2. Правила построения сетевых графиков.........23
    § 3. Метод критического пути.....................24
    § 4. Стоимость проекта. Оптимизация сетевого графика.29
  Глава 3. Транспортная задача.......................32
    § 1. Постановка транспортной задачи..............32
    § 2. Метод северо-западного угла.....................33
    § 3. Метод минимальной стоимости.................37
    § 4. Особый случай...............................39
    § 5.    Распределительный метод решения транспортной задачи  40
  Глава 4. Основы методов прогнозирования и теории игр...47
    § 1. Методы прогнозирования......................47
    § 2. Марковские случайные процессы...............49
    § 3. Основные понятия теории игр.................61
Часть II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ..........................................68
  Глава 1. Математические модели в микроэкономике. Производственные функции.............................68
    § 1. Общие положения.............................68
    § 2. Оптимизация производственных процессов.
Определение оптимальной стратегии использования оборудования на предприятии..........................77

3

    § 3.     Модель Вильсона управления производственным запасом с учетом спроса и цен на продукцию...............86
      3.1. Оптимальный план поставок.....................86
      3.2. Асимптотическая оптимальность.................93
  Глава 2. Математические модели макроэкономики..........96
    § 1.     Методы анализа многофакторных экономических систем   96
      1.1. Введение в многофакторный анализ..............96
      1.2. Анализ главных компонент......................99
      1.3. Факторный анализ.............................108
    § 2.    Модели экономического роста.................114
      2.1. Модель Солоу экономического роста............114
      2.2. Модель экономического роста Маркса - Моисеева.120
    § 3.    Модель открытой экономики...................126
      3.1. Основные понятия и определения...............126
      3.2. Тождество рынка капитала в открытой экономике.128
      3.3. Моделирование валютного курса................128
      3.4. Конкурентная способность товара..............130
      3.5.       Модель открытой экономики на коротком временном интервале. Влияние политики на реальный обменный курс....132
      3.6. Паритет покупательной способности............135
§ 4.     Классическая модель рыночной экономики. Её взаимосвязь с моделью Кейнса.........................136
    § 5.    Моделирование спроса........................146
    § 6.     Общеэкономическое равновесие в неоклассической и кейнсианской моделях..................................156
      6.1. Совокупный спрос и совокупное предложение....156
6.2.       Форма кривой совокупного предложения в классической и кейнсианской моделях...................157
6.3.       Кейнсианская модель равновесного национального дохода (кейнсианский крест)..............................159
      6.4. Понятие совокупного предложения..............161
      6.5. Модель совокупного спроса....................163
      6.6. Модель совокупного предложения...............173
    § 7.    Модель инновационной фирмы...................186
      7.1. Производственная функция.....................187
      7.2. Постановка задачи максимизации прибыли.......189
      7.3. Реакция производителя на изменение цены выпуска .... 192

4

      7.4. Реакция производителя на изменение цен ресурсов.193
      7.5.       Реакция производителя на одновременное изменение цены выпуска и цен ресурсов..............................194
    § 8.    Линейные экономические модели................197
      8.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики....197
      8.2. Продуктивные модели Леонтьева.................201
      8.3. Вектор полных затрат..........................204
      8.4. Собственные векторы неотрицательных матриц....206
      8.5. Собственные значения матрицы Леонтьева........209
    § 9.    Паутинообразная модель.......................211
      9.1. Допущения.....................................211
      9.2. Паутинообразная модель с запаздыванием спроса.215
9.3.       Паутинообразная модель с запаздыванием предложения..............................................219
    § 10.     Модель прогнозирования эколого-экономической системы   222
      10.1. Постановка задачи............................222
      10.2.       Основы моделирования эколого-экономических систем      227
10.3.       Прогнозирование эколого-экономических процессов и систем.......................................234
КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО КУРСУ.................................247

5

            ВВЕДЕНИЕ



    Учебник состоит из двух частей, первая посвящена математическим методам в экономике, вторая - математическим моделям в экономике. При этом особое внимание уделено вопросам использования методов математического моделирования в экономике.
    «Математические методы и модели в экономике» — математическая дисциплина, успешное овладение которой требует предварительного изучения таких дисциплин, как «Математика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Экономическая теория», «Эконометрика», «Информатика» и др.
    Цель изучения дисциплины состоит в овладении методологией построения и практического применения математических моделей в экономическом анализе, в принятии управленческих решений, в планировании и прогнозировании, в различных сферах и уровнях хозяйственного механизма.
    Задачи изучения дисциплины:
    —        научить студентов использовать в своей практической деятельности современные экономико-математические методы и модели;
    —        привить студентам навыки самостоятельно изучать литературу по экономико-математическому моделированию.
    В результате изучения дисциплины студенты должны:
    знать:
    —        существующие экономико-математические методы и модели, применяемые при анализе, планирования и прогнозирования экономических процессов;
    —        основные принципы и этапы построения экономико-математических моделей;
    уметь:
    —      перевести экономическую задачу на математический язык;
    —        решать экономические задачи с использованием типового программного обеспечения;
    —        анализировать и прогнозировать экономические процессы, опираясь на результаты, полученные путем математического моделирования.
    Авторы благодарят всех, кто оказал помощь и поддержку в подготовке данного учебника, особенно издательство и студентов — творцов новой грядущей реальности.

6

            Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ




        Глава 1. Основы теории графов


§ 1. Что такое граф?
    Представим на плоскости конечное множество точек V и некоторое множество линий X, соединяющих попарно какие-то точки из V.

    > ПРИМЕР 1.1. Например, рассмотрим схему автодорог, соединяющих населенные пункты Московской области.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество точек (населенных пунктов) назовем множеством вершин, а соединяющие линии (автодороги) - множеством ребер.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность двух множеств (вершин и ребер) называют графом.
    На некоторых участках допускается только одностороннее движение. Тогда соответствующее ребро называется дугой и изображается стрелкой, направленной от начальной вершины к конечной вершине.
    Граф, состоящий из дуг, называют ориентированным (или просто орграфом), а образованный ребрами - неориентированным. Один и тот же граф можно изобразить по-разному. Вершины можно располагать по своему усмотрению и произвольно выбирать форму соединяющих линий. В этом проявляется свойство изоморфизма графов.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей.


7

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ребра с одинаковыми концевыми вершинами называются кратными.
    Изолированная вершина не соединена с другими вершинами.


    >       ПРИМЕР 1.2. На рис. 1.1 изображен граф G 1, состоящий из вершин v 1, v₂, v₃, v₄, v₅, v6 и ребер x 1, x₂, x₃, x₄, x₅.


Рис. 1.1

    Здесь v6 - изолированная вершина, х 1 и х₅ - кратные ребра, х ₃ - петля, v 1 и v ₂- концевые вершины ребра х ₁.

    >      ПРИМЕР 1.3. Задан орграф G2 (рис. 1.2).
    У дуги х ₃ вершина v ₂ - начальная, а вершина v ₃ - конечная, х ₇ - петля.

Рис. 1.2

8

    Часто на графе требуется выделить различные маршруты, обладающие определенными свойствами.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Маршрут длины m - это последовательность x ₁ , ..., хт m ребер графа (не обязательно различных) таких, что любые два соседних ребра xᵢ имеют общую концевую вершину.
    Замкнутый маршрут приводит в ту же вершину, из которой он начался.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цепь - это маршрут, все ребра которого различны.
    Простая цепь - это цепь без повторяющихся вершин.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Замкнутая цепь называется циклом.
    Простой цикл - это простая замкнутая цепь.

    >     ПРИМЕР 1.4. Дан граф G (рис. 1.3).
    В этом графе х 1 х ₂х ₃ х ₆х ₇ х ₂ - маршрут длины 6, соединяющий вершины v 1 и v ₂;

Рис. 1.3

х1 х₂х₃ х6х₇х ₂х1 - замкнутый маршрут длины 7. Он начинается и заканчивается в вершине v1; х1 х ₂х₃ х6х₇ - цепь длины 5 (все ребра в ней различны). Эта цепь не является простой, так как при обходе вершину v₃ мы посетили два раза; х1 х₂х₃ - пример простой цепи (все вершины на нашем пути были различны); х₆, х₇, х₈, х₃ - цикл; х₇, х ₆, х₃ - простой цикл.
     В случае орграфа вместо слова «цепь» говорят «путь», а слово «цикл» заменяют словом «контур».


9

    Итак, для задания графа необходимо указать два множества: V (множество вершин) и X (множество ребер или дуг). Но при большом числе элементов рисунок графа становится громоздким. В этом случае используют матричный способ. Выбор матрицы определяется конкретной задачей.
    Дан граф G с вершинами v 1, ..., vₙ и ребрами x 1, ..., хт.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица смежности графа G - это квадратная матрица A(G) размера n х n (n - число вершин) с элементами


aj = 1

           1, если в графе вершины vₜ, vj соединены ребром;
           0, иначе.


    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица инцидентности графа G - это матрица B(G) размера n х т (n - число вершин, т - число ребер) с элементами

          [1, если в графе вершины v соединены ребром;
      Bj=\a
          I 0, иначе.


    > ПРИМЕР 1.5. Для графа G (рис. 1.4) построим матрицу смежности A (G) и матрицу инцидентности B (G).

Рис. 1.4

    Так как у графа 5 вершин и 6 ребер, то размер матрицы A (G) будет 5 х 5, а матрицы B(G) - 5 х 6.


10

(0 1 1 0 0 ^

A (G) =

1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 0 1 0 1

^0101 0 J


a ₁₂ = 1, значит, в графе G есть ребро, соединяющее вершины v ₁ и v₂;
а ₁₃ = 1 , значит в графе G есть ребро, соединяющее вершины! v 1 и v₃;
а|₄ = 0, значит в графе G нет ребра, соединяющего вершины v 1 и

v4 и т. д.         ' 1 1 0 0 0 0' 
                   1 0 1 0 0 1    
           B (G) = 0 1 1 1 0 0    
                   0 0 0 1 1 0    
                   ч 0 0 0 0 1 1 у

b 11 = 1, значит, v 1 - концевая вершина для ребра х 1;
b ₁₂ = 1, значит, v 1 - концевая вершина для ребра х ₂;
b ₁₃ = 0, значит, v 1 не является концевой вершиной для ребра х₃ и т. д.
    Дан орграф D с вершинами v 1, ..., vₙ и дугами х 1, ..., хт.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица смежности орграфа D - это квадратная матрица A (D) размера n х n (n - число вершин) с элементами
        Г1, если в орграфе D есть дуга из i-й вершины в j-ю;
    aj In
        |_0, иначе.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица инцидентности орграфа D - это матрица B(D) размера n х т (n - число вершин, т - число дуг) с эле

ментами

          1, если j -я дуга заканчивается в i -й вершине;


     bjj = I -1, если j-я дуга начинается в i-й вершине;


           0, иначе.

11

    > ПРИМЕР 1.6. Для орграфа D (рис. 1.5) построить матрицу смежности А(D) и матрицу инцидентности B(D).


Рис. 1.5

    Орграф D содержит 5 вершин и 6 дуг, поэтому размер матрицы A (D) будет 5 х 5, а матрицы B(D) - 5 х 6.


(0 0 1 0 0 ^

          1 0 0 0 1
A ( D ) = 0 1 0 0 0
          0 0 1 0 1

\0 0 0 0 0)

а ₁₂ = 0, значит, орграф D не содержит дуги из v 1 в v₂;
а 1з = 1, значит, орграф D содержит дугу из v 1 в v₃ и т. д.

        ( 1 --- 1   0   0     0        0'
        -1  0       0   0     --- 1     1
в (D) = 0   1       1     0     0   --- 1
        0   0     --- 1 --- 1   0       0
        1 0 0       0     1   1     0 )  

b 11 = 1, значит в вершине v 1 заканчивается дуга х 1;
b ₁₂ = -1, значитв вершине v 1 начинается дуга х ₂;

12

b 1з = 0, значит вершина v ₁ не является концевой вершиной для дуги хз и т. д.

    Задача 1.1. Для графа G (рис. 1.6) построить матрицу смежности A (G) и матрицу инцидентности B (G).

Рис. 1.6

     Задача 1.2. Для орграфа D (рис. 1.7) построить матрицу смежности A (D) и матрицу инцидентности B (D).

Рис. 1.7

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Граф G называется связным, если для любых двух его вершин существует маршрут, их соединяющий.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Связный граф, не содержащий циклов, называется деревом (примеры деревьев: генеалогический граф (родословное дерево), совокупность всех файлов на дискете).
    > ПРИМЕР 1.7. Граф G (рис 1.8) не является деревом, так как содержит цикл v ₁, v₂, v₃.

13