Математические методы и модели в экономике

Серия «Учебные издания для бакалавров» 
 

 

Е. С. Кундышева 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ  

В ЭКОНОМИКЕ 
 
Учебник 
 
Под научной редакцией  
профессора Б. А. Суслакова 
 
2-е издание 
 
Рекомендовано 
Федеральным институтом развития образования 
Министерства образования и науки РФ  
в качестве учебника для использования в учебном процессе  
образовательных учреждений, реализующих программы  
высшего образования по направлению подготовки  
«Экономика» (уровень бакалавриата) 

Регистрационный номер рецензии 300 от 20 сентября 2016 г. 
 
Москва 
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 
2020 

УДК 330.4 
ББК 65.050 
 К91 
 
Рецензенты: 
Б. С. Касаев — доктор экономических наук, профессор, почетный работник 
ВПО РФ; 
Ю. Н. Павловский — член-корреспондент РАН, доктор физико-математи- 
ческих наук, профессор. 
 
 
 
Кундышева Е. С.  
Математические методы и модели в экономике: Учеб- 
ник для бакалавров / Е. С. Кундышева; под науч. ред. проф.  
Б. А. Суслакова. — 2-е изд. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2020. — 286 с. 

ISBN 978-5-394-03138-0 

В учебнике рассматриваются математические методы в экономике, 
описываются методы построения экономико-математических моделей и 
даются готовые математические модели. 
В учебнике также приводятся некоторые тесты из авторского электронного лабораторного практикума OprosSystem, который успешно апробирован, 
многократно протестирован и может оказать неоценимую помощь преподавателям дисциплины и студентам заочной и дистанционной форм обучения для 
контроля знаний. 
Для студентов экономико-математических направлений и профилей 
подготовки технических и экономических вузов и факультетов, бизнесменов, финансистов, менеджеров и бухгалтеров, преподавателей, а также для 
широкого круга читателей в качестве надежного самоучителя по экономикоматематическому моделированию и математическим методам в экономике.  
УДК 330.4 
ББК 65.050 

 

 

 

 
ISBN 978-5-394-03138-0 
© Кундышева Е. С., 2016 
 
© ИТК «Дашков и К°», 2016 

К91

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................. 6 
Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ  В ЭКОНОМИКЕ ...... 7 
Глава 1. Основы теории графов ........................................................ 7 
§ 1. Что такое граф? ......................................................................... 7 
§ 2. Задача определения кратчайшего пути ................................ 14 
§ 3. Графическая оптимизация сетей коммуникации ................ 19 
Глава 2. Управление проектами ..................................................... 22 
§ 1. Основные понятия .................................................................. 22 
§ 2. Правила построения сетевых графиков ............................... 23 
§ 3. Метод критического пути ...................................................... 24 
§ 4. Стоимость проекта. Оптимизация сетевого графика .......... 29 
Глава 3. Транспортная задача ......................................................... 32 
§ 1. Постановка транспортной задачи ......................................... 32 
§ 2. Метод северо-западного угла ................................................ 33 
§ 3. Метод минимальной стоимости ............................................ 37 
§ 4. Особый случай ........................................................................ 39 
§ 5. Распределительный метод решения транспортной  
задачи ...................................................................................................... 40 
Глава 4. Основы методов прогнозирования и теории игр ........... 47 
§ 1. Методы прогнозирования ...................................................... 47 
§ 2. Марковские случайные процессы ......................................... 49 
§ 3. Основные понятия теории игр .............................................. 61 
Часть II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ   
В ЭКОНОМИКЕ .................................................................................. 68 
Глава 1. Математические модели  в микроэкономике.  
Производственные функции ................................................................. 68 
§ 1. Общие положения .................................................................. 68 
§ 2. Оптимизация производственных  процессов.  
Определение оптимальной  стратегии использования   
оборудования на предприятии ............................................................. 77 

§ 3. Модель Вильсона управления  производственным  
запасом с учетом спроса и цен на продукцию .................................... 86 
3.1. Оптимальный план поставок ............................................. 86 
3.2. Асимптотическая оптимальность ..................................... 93 
Глава 2. Математические модели  макроэкономики .................... 96 
§ 1. Методы анализа многофакторных экономических  
систем ..................................................................................................... 96 
1.1. Введение в многофакторный анализ ................................ 96 
1.2. Анализ главных компонент ............................................... 99 
1.3. Факторный анализ ............................................................. 108 
§ 2. Модели экономического роста ............................................. 114 
2.1. Модель Солоу экономического роста ............................. 114 
2.2. Модель экономического роста Маркса – Моисеева ....... 120 
§ 3. Модель открытой экономики ............................................... 126 
3.1. Основные понятия и определения ................................... 126 
3.2. Тождество рынка капитала в открытой экономике ........ 128 
3.3. Моделирование валютного курса .................................... 128 
3.4. Конкурентная способность товара ................................... 130 
3.5. Модель открытой экономики  на коротком временном  
интервале.  Влияние политики на реальный обменный курс ........... 132 
3.6. Паритет покупательной способности .............................. 135 
§ 4. Классическая модель рыночной экономики.   
Её взаимосвязь с моделью Кейнса ...................................................... 136 
§ 5. Моделирование спроса ......................................................... 146 
§ 6. Общеэкономическое равновесие  в неоклассической  
и кейнсианской моделях ...................................................................... 156 
6.1. Совокупный спрос и совокупное предложение .............. 156 
6.2. Форма кривой совокупного предложения   
в классической и кейнсианской моделях ........................................... 157 
6.3. Кейнсианская модель равновесного  национального  
дохода (кейнсианский крест) ............................................................... 159 
6.4. Понятие совокупного предложения ................................ 161 
6.5. Модель совокупного спроса ............................................. 163 
6.6. Модель совокупного предложения .................................. 173 
§ 7. Модель инновационной фирмы ........................................... 186 
7.1. Производственная функция .............................................. 187 
7.2. Постановка задачи максимизации прибыли ................... 189 
7.3. Реакция производителя на изменение цены выпуска .... 192 

7.4. Реакция производителя на изменение цен ресурсов ...... 193 
7.5. Реакция производителя на одновременное изменение  
цены выпуска и цен ресурсов .............................................................. 194 
§ 8. Линейные экономические модели ....................................... 197 
8.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики ........... 197 
8.2. Продуктивные модели Леонтьева .................................... 201 
8.3. Вектор полных затрат ....................................................... 204 
8.4. Собственные векторы неотрицательных матриц ........... 206 
8.5. Собственные значения матрицы Леонтьева.................... 209 
§ 9. Паутинообразная модель ...................................................... 211 
9.1. Допущения ......................................................................... 211 
9.2. Паутинообразная модель с запаздыванием спроса ........ 215 
9.3. Паутинообразная модель с запаздыванием  
предложения .......................................................................................... 219 
§ 10. Модель прогнозирования эколого-экономической  
системы .................................................................................................. 222 
10.1. Постановка задачи  .......................................................... 222 
10.2. Основы моделирования эколого-экономических  
систем .................................................................................................... 227 
10.3. Прогнозирование эколого-экономических   
процессов и систем ............................................................................... 234 
КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО КУРСУ ................................................. 247 

ВВЕДЕНИЕ 

Вы держите в руках учебник, содержащий все основные разделы 
дисциплины «Математические методы и модели в экономике» (название в зависимости от основной образовательной программы вуза может 
варьироваться) и написанный с учетом требований Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика». 
Книга состоит из двух частей, первая посвящена математическим 
методам в экономике, вторая – математическим моделям в экономике. 
Также приводятся некоторые тесты из авторского электронного лабораторного практикума OprosSystem для контроля знаний студентов. 
Настоящее издание обобщает практику преподавания автором 
дисциплин «Экономико-математическое моделирование» и «Математические методы в экономике» за последние двадцать пять лет в 
ряде высших учебных заведений, в частности в Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете), Всероссийской государственной налоговой академии 
Министерства финансов РФ, Московской гуманитарно-технической 
академии, Российском экономическом университете им. Г. В. Плеханова, Академии «Международный независимый эколого-полито- 
логический университет», Московском областном гуманитарном институте (Подольск).  
Автор благодарит всех, кто оказывал и продолжает оказывать ей 
поддержку и помощь при работе над учебником, особенно научного редактора, ее близких, друзей, коллег, студентов и читателей с их критическими замечаниями и пожеланиями об улучшении содержания курса.  
Огромная благодарность всему творческому коллективу издательства «Дашков и К°» за успешное долговременное сотрудничество с искренним пожеланием исполнения всех творческих замыслов.  

Cвои отклики и отзывы, рекомендации по содержанию книги,  

пожалуйста, присылайте по адресу: 89265894824@mail.ru 
Автор, научный редактор 

Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ  
В ЭКОНОМИКЕ 

Глава 1. Основы теории графов 

§ 1. Что такое граф? 

Представим на плоскости конечное множество точек V и не- 
которое множество линий Х, соединяющих попарно какие-то точ- 
ки из V. 
 
 ПРИМЕР 1.1. Например, рассмотрим схему автодорог, соединяющих населенные пункты Московской области. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество точек (населенных пунктов) назовем множеством вершин, а соединяющие линии (автодоро- 
ги) – множеством ребер.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность двух множеств (вершин и ребер) называют графом. 
На некоторых участках допускается только одностороннее движение. Тогда соответствующее ребро называется дугой и изображается стрелкой, направленной от начальной вершины к конечной вершине. 
Граф, состоящий из дуг, называют ориентированным (или просто орграфом), а образованный ребрами – неориентированным. Один 
и тот же граф можно изобразить по-разному. Вершины можно располагать по своему усмотрению и произвольно выбирать форму соединяющих линий. В этом проявляется свойство изоморфизма графов. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей.  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ребра с одинаковыми концевыми вершинами 
называются кратными.  
Изолированная вершина не соединена с другими вершинами. 
 
 ПРИМЕР 1.2. На рис. 1.1 изображен граф G1, состоящий из 
вершин v1, v2, v3, v4, v5, v6 и ребер x1, x2, x3, x4, x5. 

 

Рис. 1.1 

Здесь v6 – изолированная вершина, х1 и х5 – кратные ребра,  
х3 – петля, v1 и v2 – концевые вершины ребра х1. 
 
 ПРИМЕР 1.3. Задан орграф G2 (рис. 1.2). 
 У дуги х3 вершина v2 – начальная, а вершина v3 – конечная,  
х7 – петля. 

 

Рис. 1.2 

Часто на графе требуется выделить различные маршруты, обладающие определенными свойствами.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Маршрут длины m – это последовательность 
x1 , …, хm  m ребер графа (не обязательно различных) таких, что любые два соседних ребра xi имеют общую концевую вершину. 
Замкнутый маршрут приводит в ту же вершину, из которой он 
начался.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цепь – это маршрут, все ребра которого различны.  
Простая цепь – это цепь без повторяющихся вершин.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Замкнутая цепь называется циклом.  
Простой цикл – это простая замкнутая цепь.  
 
 ПРИМЕР 1.4. Дан граф G (рис. 1.3). 
В этом графе х1х2х3х6х7х2 – маршрут длины 6, соединяющий вершины v1 и v2; 

 

Рис. 1.3 

х1х2х3х6х7х2х1 – замкнутый маршрут длины 7. Он начинается и заканчивается в вершине v1; х1х2х3х6х7 – цепь длины 5 (все ребра в ней различны). Эта цепь не является простой, так как при обходе вершину v3 мы 
посетили два раза; х1х2х3 – пример простой цепи (все вершины на нашем 
пути были различны); х6, х7, х8, х3 – цикл; х7, х6, х3 – простой цикл. 
В случае орграфа вместо слова «цепь» говорят «путь», а слово 
«цикл» заменяют словом «контур». 

Итак, для задания графа необходимо указать два множества: V 
(множество вершин) и X (множество ребер или дуг). Но при большом 
числе элементов рисунок графа становится громоздким. В этом случае используют матричный способ. Выбор матрицы определяется 
конкретной задачей. 
Дан граф G с вершинами v1, …, vn и ребрами x1, …, хm. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица смежности графа G – это квадратная 
матрица A(G) размера n × n (n – число вершин) с элементами  

1, если в графе вершины 
соединен
, 
ы ребром;

0,
а

 

 ин че.

i
j
ij
v
v
a

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица инцидентности графа G – это матрица B(G) размера n × m (n – число вершин, m – число ребер) с эле- 
ментами 

 
1,  если в графе вершины 
соединены ребром;

0,  иначе.

i
ij
B
v

 

 

 ПРИМЕР 1.5. Для графа G (рис. 1.4) построим матрицу смежности A(G) и матрицу инцидентности B(G). 

 
 

Рис. 1.4 

Так как у графа 5 вершин и 6 ребер, то размер матрицы A(G) будет 5 × 5, а матрицы B(G) – 5 × 6. 

0 1 1 0 0

1  0 1 0 1

1 1 0 1 0

0 0 1 0 1

 0 1 0

(
)
,

1 0

A G























 

a12 = 1, значит, в графе G есть ребро, соединяющее вершины v1 и v2;  
a13 = 1 , значит в графе G есть ребро, соединяющее вершины v1 и v3; 
a14 = 0, значит в графе G нет ребра, соединяющего вершины v1 и  
v4 и т. д. 
1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 1

0 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

(
)
,
B G























 

b11 = 1, значит, v1 – концевая вершина для ребра х1; 
b12 = 1, значит, v1 – концевая вершина для ребра х2; 
b13 = 0, значит, v1 не является концевой вершиной для ребра х3 и т. д. 
Дан орграф D с вершинами v1, …, vn и дугами х1, …, хm. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица смежности орграфа D – это квадратная матрица A(D) размера n × n (n – число вершин) с элементами 
1, если в орграфе  есть дуга из -й вершины в -ю;

0, иначе.
ij
D
i
j
a

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица инцидентности орграфа D – это 
матрица B(D) размера n × m (n – число вершин, m – число дуг) с элементами 
1, если -я дуга заканчивается в -й вершине;

 –1, если -я дуга начинается в -й вершине;

 0, иначе.

ij

j

j
i
b

i


 



 

 ПРИМЕР 1.6. Для орграфа D (рис. 1.5) построить матрицу 
смежности А(D) и матрицу инцидентности B(D). 

 

Рис. 1.5 

Орграф D содержит 5 вершин и 6 дуг, поэтому размер матрицы 
A(D) будет 5 × 5, а матрицы B(D) – 5 × 6. 

0 0 1 0 0

1  0 0 0 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

 0 0 0

(
)
,

0 0

A D























 

a12 = 0, значит, орграф D не содержит дуги из v1 в v2; 
а13 = 1, значит, орграф D содержит дугу из v1 в v3 и т. д. 

 

1    
1    0     0     0      0

1     0    0     0  
1       1

 0     1     1     0     0   
1

 0     0 
1  
1     0       0

  0     0    0     1     1      

(
)
,

0

B D

































 

b11 = 1, значит в вершине v1 заканчивается дуга х1; 
b12 = –1, значитв вершине v1 начинается дуга х2; 

b13 = 0, значит вершина v1 не является концевой вершиной для дуги  
х3 и т. д. 
 
Задача 1.1. Для графа G (рис. 1.6) построить матрицу смежности A(G) и матрицу инцидентности B(G). 

 

Рис. 1.6 

Задача 1.2. Для орграфа D (рис. 1.7) построить матрицу смежности A(D) и матрицу инцидентности B(D). 

 

Рис. 1.7 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Граф G называется связным, если для любых 
двух его вершин существует маршрут, их соединяющий.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Связный граф, не содержащий циклов, называется деревом (примеры деревьев: генеалогический граф (родословное дерево), совокупность всех файлов на дискете). 
 
 ПРИМЕР 1.7. Граф G (рис 1.8) не является деревом, так как 
содержит цикл v1, v2, v3.