Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 11 класса общеобразовательных организаций. Базовый и углублённый уровни

ФГОС
ИННОВАЦИОННАЯ ШКОЛА

В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов, 
А.А. Мальцев, А.С. Марковичев, Ю.В. Михеев, М.В. Фокин

МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИКА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО 

АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ
АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ

Учебник для 11 класса
общеобразовательных организаций

БАЗОВЫЙ И УГЛУБЛЁННЫЙ УРОВНИ

Под редакцией
академика РАН В.В. Козлова
и академика РАО А.А. Никитина

3-е издание
Рекомендовано
Министерством просвещения
Российской Федерации

Экспертное заключение № 004701 от 19.12.2016 г. (научная экспертиза)
Экспертное заключение № 004708 от 19.12.2016 г. (педагогическая экспертиза) 
Экспертное заключение № ОЭ/16-0292 от 26.12.2016 г. (общественная экспертиза)

Соответствует Федеральному 
государственному образовательному стандарту

Москва
«Русское слово»
2020

УДК 373.167.1:51*11(075.3)
ББК 22.1я721
          К59

Авторы:
В.В. Козлов — академик РАН, доктор физико-математических наук, 
профессор;
А.А. Никитин — академик РАО, доктор физико-математических наук, 
профессор;
В.С. Белоносов — доктор физико-математических наук, профессор;
А.А. Мальцев — кандидат физико-математических наук, доцент;
А.С. Марковичев — кандидат физико-математических наук, доцент;
Ю.В. Михеев — кандидат педагогических наук; 
М.В. Фокин — доктор физико-математических наук, профессор

Козлов В.В., Никитин А.А. 
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: 
учебник для 11 класса общеобразовательных организаций. Базовый и 
углублённый уровни / В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов и др.; 
под ред. В.В. Козлова и А.А. Никитина. — 3-е изд. — М.: ООО «Русское 
слово — учебник», 2020. — 400 с. — (ФГОС. Инновационная школа).

ISBN 978-5-533-01649-0

Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному 
стандарту среднего общего образования, является частью учебно-методического 
комплекта «Математика» и входит в систему учебников «Инновационная 
школа».
Учебник предназначен для общеобразовательных организаций.

УДК 373.167.1:51*11(075.3)
ББК 22.1я721 

 
©  В.В. Козлов, 2015, 2020
 
© А.А. Никитин, 2015, 2020
 
© В.С. Белоносов, 2015, 2020
 
© А.А. Мальцев, 2015, 2020
 
© А.С. Марковичев, 2015, 2020
 
© Ю.В. Михеев, 2015, 2020
 
© М.В. Фокин, 2015, 2020
ISBN 978-5-533-01649-0 
© ООО «Русское слово — учебник», 2015, 2020

К 59

Предисловие 

Данная книга — седьмая в серии трёхуровневых учебников по математике, 
созданных коллективом авторов из числа научных сотрудников 
Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии 
наук, Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения 
Российской академии наук, Института педагогических исследований 
одарённости детей Российской академии образования, профессоров и 
доцентов Московского государственного университета им. М.В. Ломо-
носова и Новосибирского государственного университета.
Прежде всего авторы отказались от традиционного деления матема-
тики на несколько дисциплин: арифметику, алгебру, геометрию, три-
гонометрию, основы анализа и так далее. Все перечисленные предметы 
предлагается изучать в общем курсе. Это подчёркивает единство мате-
матической науки, тесную взаимосвязь развиваемых в ней идей и мето-
дов, фундаментальную роль математики как важного элемента общей 
культуры. 
Потребности использования математики в разных областях чело-
веческой деятельности различны, так же как различны и природные 
склонности и способности учащихся, поэтому не всем им математика 
нужна в одинаковом объёме. В настоящем учебнике приняты три уров-
ня изложения, отличающиеся не только объёмом, но главным образом 
глубиной и сложностью изучаемого материала. Первый уровень пред-
полагает овладение знаниями, способствует формированию умений и 
навыков, которые необходимы каждому культурному человеку. Второй 
уровень должен обеспечить усвоение и закрепление умений и навыков, 
которые позволят успешно продолжить обучение сначала в старшей 
школе, а затем и в вузе. На этом уровне развивается и дополняется ма-
териал первого уровня. Третий уровень — специализированный. На 
этом уровне, в дополнение ко второму, предполагается воспитание про-
фессионального интереса к математике и сознательное овладение логи-
кой рассуждений. Материал первого уровня может изучаться независи-
мо от второго и третьего, а материал второго не зависит от изучаемого 
на третьем уровне. Разделы, относящиеся ко второму уровню, отмечены 
в тексте звёздочкой, а материал третьего уровня — двумя звёздочками.

Учебник состоит из 12 глав, разбитых на параграфы, которые делят-
ся на более мелкие разделы — пункты. К каждому параграфу предлага-
ются контрольные вопросы, задачи, упражнения и тесты, а к каждому 
пункту — подходящий «открытый вопрос». Наличие открытых вопросов — 
важная особенность изложения учебного материала. Фактически 
эти вопросы — специальные темы для размышления и обсуждения. Ответы 
на них не всегда однозначны. Более того, иногда сознательно предполагается, 
что существует несколько различных правильных ответов. 
Многие из них можно найти на страницах учебника, а в некоторых случаях 
их подсказывает окружающая действительность. Часто именно ответ 
на открытый вопрос дополняет материал пункта до логического завершения.

Учебник прошёл апробацию в школах нескольких регионов, получил 
положительные экспертные заключения РАН и РАО, рекомендован 
Министерством просвещения Российской Федерации. 
Авторы выражают искреннюю признательность академику РАО 
В.Д. Шадрикову, принимавшему активное участие в разработке концепции 
многоуровневого обучения. Авторы благодарят докторов физико-
математических наук М.П. Вишневского и А.И. Саханенко за 
участие на первоначальном этапе в формировании содержания трёх-
уровневого обучения.
Авторы считают также своим долгом вспомнить коллег, которых 
уже нет с нами, — доцента В.В. Войтишека, профессора Т.И. Зеленяка 
и профессора Д.М. Смирнова. 

Глава 11

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

В этой главе мы рассмотрим важные понятия предела функции и непрерывности, 
их основные свойства, и установим непрерывность большинства функций, 
которые изучаются в школьном курсе математики. Будет показано, как 
применять свойства монотонности и непрерывности при решении некоторых 
уравнений и неравенств.

§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1.1. Область определения функции. Множество всех тех чисел, для 
которых имеет смысл рассматривать числовую функцию, заданную формулой, 
иногда называют естественной областью определения функции.
Функция может быть определена при всех действительных x. Например, 
естественная область определения функции f(x) = sin x — это вся 
числовая прямая.
Функция может быть определена на промежутке числовой прямой. 
Например, функция  f(x) = √x определена при x ≥ 0, то есть на луче [0; ∞).
Функция может быть определена на объединении нескольких промежутков. 
Например, функция f(x) = √x2 + x определена при x ≥ 0 и при 
x ≤ –1, то есть на множестве D = (–∞; –1] ∪ [0; ∞).
Функция может быть определена на объединении бесконечного числа 
промежутков. Например, функция f(x) = tg x определена на интервалах 

... (– 5π

2 ; – 3π

2 ), (– 3π

2 ; – π

2), (– π

2; π

2), (
π
2; 3π

2 ), (
3π
2 ; 5π

2 ), ..., то есть на всех интервалах 
вида (– π

2 + mπ; π

2 + mπ) , где m — любое число.

Естественной областью функции f(x) = √

x2

x2–1 является множество
D = (–∞; –1) ∪ {0} ∪ (1; ∞). 
Иногда функция может рассматриваться на непустом множестве, 
которое является лишь частью естественной области определения, что 
оговаривается специально. Например, можно рассматривать функцию 

f(x) = sin x на промежутке – π

2; π

2 .

Вопрос. 
Какова 
естественная 
область 
определения 
функции

f(x) = √

x

1–x?

Глава 1. Предел и непрерывность

1.2.** Пример области определения функции. Рассмотрим функцию  
f(x) = lg (sin 1

x). В её области определения x ≠ 0. Логарифмы вычисляют 
только от положительных чисел, поэтому найдём такие x, для которых 

sin 1

x > 0. Решением этого неравенства является множество промежутков 

2πk < 1

x < π + 2πk , где k — любое целое число. Отсюда при k = 0 имеем x > 1

π, 

при k > 0 имеем 1

2πk > x >  
1

π + 2πk, при k < 0 также имеем 1

2πk > x >  
1

π + 2πk.

Это множество и есть естественная область определения функции 

f(x) = lg (sin 1

x). Часть этой области изображена на рис. 1.

O
x

π
1
–
π
1

2π
1
–
3π
1
–
4π
1
–
4π
1

3π
1

2π
1

Рис. 1

Вопрос. Какова область определения функции f(x) = √lg (sin x)?

1.3. Окрестности числа. Напомним, как для произвольного числа a 
и положительного числа ε определяется ε-окрестность. Пусть, например,

a = 3 и ε = 1

2. Тогда ε-окрестность числа 3 — это множество всех таких чисел 
х, что |х – 3| < 1

2. На числовой прямой эта ε-окрестность состоит из всех 

точек х, которые удалены от числа 3 на расстояния, меньшие 1

2 (рис. 2). 

Поэтому данная ε-окрестность является интервалом с центром в точке 3 и 

с концами 3 – 1

2 и 3 + 1

2. Эту ε-окрестность числа 3 можно записать в виде 

интервала (3 – 1

2; 3 + 1

2) или в виде неравенств 3 – 1

2 < x < 3 + 1

2.

O
x
1
2
3

Рис. 2

Если зафиксировать положительное число ε, то аналогично определяется 
ε-окрестность числа а как множество всех таких чисел х, что 
|х – a| < ε. Эту ε-окрестность можно записать в виде интервала (a – ε; a + ε) 
или в виде неравенств a – ε < x < a + ε.

§ 1. Предел функции

Иногда вместо буквы ε используют букву δ. Если δ > 0, то аналогично 
говорят о δ-окрестности числа а. 
Вопрос. Почему в любой ε-окрестности числа 0 всегда найдётся такое 

значение a, что 
1

sin1

a

 = 1?

1.4. Предельные точки числового множества. При рассмотрении 
функций используется понятие предельной точки.
Число a называется предельной точкой множества D, если каждая 

δ-окрестность числа a содержит числа из D, отличные от a.

Пример 1. Для функции f(x) = √

x2

x2–1, определённой на множестве 

D = (–∞; –1) ∪ {0} ∪ (1; ∞), каждое число из множества P = (–∞; –1] ∪ [1; ∞) 
является предельной точкой области определения D, потому что для 

произвольного числа a из множества P каждая ε-окрестность числа a содержит 
отличные от a числа из области определения D. Однако точка 
a = 0 не является предельной точкой области определения, так как, например, 
окрестность (–0,5; 0,5) числа 0 не содержит ни одного отличного 
от нуля числа из области определения D.
Отметим, что предельная точка области определения может как 
принад лежать области определения, так и не принадлежать ей.
Вопрос. Как показать, что каждая δ-окрестность числа 1 имеет общие 

точки с областью определения функции f(x) = √

x2

x2–1?

1.5. Предел функции в предельной точке. Пусть функция f(x) оп-
ределена на множестве D. 
Определение 1. Число L называется пределом функции f(x) в пре-
дельной точке a области D определения функции, если для всякой 
последовательности (xn) из того, что каждый член xn принадлежит D, 
xn ≠ a и последовательность (xn) сходится к a, следует, что последова-
тельность ( f(xn)) значений функции  сходится к L.

Запись 
x→a
lim f(x) = L означает, что функция f(x) имеет в предельной точ-

ке а предел, равный L. 
Заметим, что поскольку а — предельная точка области определе-
ния D, то каждая δ-окрестность числа a содержит числа из D, отличные 
от a, поэтому существуют последовательности, состоящие из элементов 

Глава 1. Предел и непрерывность

области определения, не равных числу а. Так что L — предел функции 
f(x) в предельной точке а, если для всякой последовательности (xn) эле-
ментов из области определения D, отличных от а, для которой существу-
ет 
n→∞
lim xn, равный а, обязательно существует предел последовательности 

значений функции  
n→∞
lim f(xn), равный L. 

Определение 1 иногда называют определением предела функции в 
предельной точке на языке последовательностей. 
Пример 2. Пусть с — фиксированное число. Рассмотрим на всей дей-
ствительной оси постоянную функцию f(x) = c. Тогда для любого числа а 
существует  
x→a
lim f(x), равный с.

Пусть (xn) — такая произвольная последовательность элементов, от-
личных от числа а, что 
n→∞
lim xn = a. Для членов этой последовательности 

имеем yn = f(xn) = c. Поэтому 
n→∞
lim yn = 
n→∞
lim f(xn) = c. Ввиду произвольности 

выбора последовательности (xn) с требуемыми условиями на основании 
определения 1 получаем, что число c является пределом функции f(x) = с 
в точке a.
Пример 3. Пусть f(x) = x при всех действительных значениях x. Дока-
жем, что 
x→a
lim f(x) = a при любом a.

Пусть (xn) — такая произвольная последовательность элементов, от-
личных от числа а, что 
n→∞
lim xn = a. Для членов этой последовательности 

имеем  f(xn) = xn. Поэтому  
n→∞
lim f(xn) = 
n→∞
lim xn = a. Отсюда на основании оп-

ределения 1 получаем, что число a является пределом функции f(x) = x в 
точке a.
Вопрос. Как доказать, что  
x→–2
lim x3 = –8?

1.6. Определение предела функции в  предельной точке на язы-
ке «ε-δ». Во многих случаях используется другое определение предела 
функции в предельной точке, эквивалентное определению 2.
Пусть функция f(x) определена на множестве D.
Определение 2. Число L называется пределом функции f(x) в пре-
дельной точке а области D определения функции, если для всякого по-
ложительного числа ε найдётся такое положительное число δ, что для 
каждого значения x из области D из того, что x ≠ а и |x – a| < δ, следует 
неравенство | f(x) – L| < ε. 
Заметим, что поскольку элемент а — предельная точка области опре-
деления D, то каждая δ-окрестность числа a содержит числа из D, отлич-

§ 1. Предел функции

ные от числа a. Так что М — предел функции f(x) в предельной точке а, 
если для всякого отличного от а значения аргумента х из δ-окрестности 
числа а значения функции f(x) содержатся в ε-окрестности числа М. 
Определение 2 иногда называют определением предела функции в 
предельной точке на языке «ε-δ» или ε-δ-определением.
Мы здесь не будем доказывать, что определения 1 и 2 предела функ-
ции в предельной точке эквивалентны. Иногда предел функции в пре-
дельной точке кратко называют пределом функции в точке. 
Пример 4. Рассмотрим на множестве всех неотрицательных чисел 
функцию f(x) = √x. Покажем, что для любого неотрицательного числа а 
выполняется равенство  
x→a
lim √x = √a. 

1. Пусть а = 0. Тогда для неотрицательных значений х и числа 0 вы-
полняются соотношения |√x – 0| = √x – 0 = √x. Поэтому если для каждого 
положительного числа ε в качестве δ взять число ε2, то для каждого х, 
удовлетворяющего условиям x ≠ 0 и |x – 0| < δ, получим, что |√x – 0| =

= √x – 0 < √δ = √ε2 = ε. Таким образом,  
x→0
lim √x = 0.

2. Пусть а > 0. Тогда для неотрицательных значений х выполняются 

соотношения |√x – √а| = |
x – a
√x + √a| = |x – a|

√x + √a  ≤ |x – a|

√a . Поэтому если для 

каждого положительного числа ε в качестве δ взять число ε√а, то для 
каждого х, удовлетворяющего условиям x ≠ a и |x – a| < δ, получим, что 

|√x – √а| ≤ |x – a|

√a  < δ

√a  = ε√a

√a  = ε, и поэтому  x→a
lim √x = √a. 

Таким образом, равенство  
x→a
lim √x = √a выполняется для любого неот-
рицательного числа а.
Вопрос. Как, используя определение 3, до-
казать что  
x→0
lim |x| = 0. 

1.7. Графическая иллюстрация понятия 
предела функции. Предел функции можно 
наглядно представить на графике. Пусть 
f(x) = √x (рис. 3). Для произвольного положи-
тельного числа ε неравенство | f(x) – 0| < ε равно-
сильно неравенствам –ε < f(x) < ε. Выполнение 
этого неравенства означает, что соответствую-
щие точки графика лежат между горизонталь-
ными прямыми y = –ε и y = ε (рис. 3).

O
x

y

1

1

–

ε

ε

Рис. 3

Глава 1. Предел и непрерывность

Выбор числа δ по ε означает, что мы находим 
такую δ-окрестность числа 0, что для всех 
x из этой окрестности, принадлежащих области 
определения и отличных от нуля, соответствующие 
точки графика попадают в полосу 
между указанными прямыми (рис. 4).
Возможность выполнить аналогичное построение 
для произвольного положительного 
числа ε и означает, что  
x→0
lim √x = 0.

Вопрос. Как с помощью графика проиллюстрировать, 
что 
x→a
lim x = a?

1.8. Свойства пределов функций. Для пределов функций в точке 
выполняются свойства, которые аналогичны свойствам пределов последовательностей. 
В частности, для пределов функций f(x) и g(x) в точке 
справедливы арифметические свойства, позволяющие находить новые 
пределы функций в точке.
Теорема 1. Пусть для функций f(x) и g(x) с общей областью определения 
D существуют пределы в предельной точке a и 
x→a
lim
 
f(x) = A,  

x→a
lim g(x) = B. Тогда:

1)  
x→a
lim (
 
f(x) + g(x)) = A + B;

2)  
x→a
lim (
 
f(x) · g(x)) = A · B;

3) если B ≠ 0, то  
x→a
lim f(x)

g(x) 

= A

B.

Пример 5. 
.

Вопрос. Чему равен 
x→3
lim 3x2?

1.9. Доказательство утверждения о пределе отношения двух 
функций. Пусть функция f(x) определена на множестве Df, g(x) опреде-
лена на множестве Dg, a — предельная точка пересечения множеств Df  и 
Dg. Возьмём произвольную последовательность (xn) такую, что xn ∈ Df, 
xn ∈ Dg, xn ≠ a, g(xn) ≠ 0 и 
n→∞
lim xn = a. Тогда все члены этой последователь-

ности принадлежат области определения функции f(x)

g(x). По условию су-

O
x

y

δ

1

1

–

ε

ε

Рис. 4