Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 11 класса общеобразовательных организаций. Базовый и углублённый уровни

ФГОС
ИННОВАЦИОННАЯ ШКОЛА

В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов и др.

МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИКА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО 

АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ
АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ

Учебник для 11 класса
общеобразовательных организаций

Под редакцией
академика РАН В.В. Козлова
и академика РАО А.А. Никитина

БАЗОВЫЙ И УГЛУБЛЁННЫЙ УРОВНИ

2-е издание

Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации

Учебник соответствует Федеральному 
государственному образовательному стандарту

Москва
«Русское слово»
2018

УДК 373.167.1:51*11(075.3)
ББК 22.1я721
          М34

Авторы: В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов,
А.А. Мальцев, А.С. Марковичев, Ю.В. Михеев, М.В. Фокин

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: 
учебник для 11 класса общеобразовательных организаций. Базовый и 
углублённый уровни / В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов и др.; 
под ред. В.В. Козлова и А.А. Никитина. — 2-е изд. — М.: ООО «Русское 
слово — учебник», 2018. — 400 с. — (ФГОС. Инновационная школа).

ISBN 978-5-533-00274-5

УДК 373.167.1:51*11(075.3)
ББК 22.1я721 

 
©  В.В. Козлов, 2015, 2018
 
© А.А. Никитин, 2015, 2018
 
© В.С. Белоносов, 2015, 2018
 
© А.А. Мальцев, 2015, 2018
 
© А.С. Марковичев, 2015, 2018
 
© Ю.В. Михеев, 2015, 2018
 
© М.В. Фокин, 2015, 2018
ISBN 978-5-533-00274-5 
© ООО «Русское слово — учебник», 2015, 2018

М34

Предисловие 

Данная книга — седьмая в серии трёхуровневых учебников по мате-
матике, созданных коллективом авторов из числа научных сотрудников 
Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии 
наук, Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения 
Российской академии наук, Института педагогических исследований 
одарённости детей Российской академии образования, профессоров и 
доцентов Московского государственного университета им. М.В. Ломо-
носова и Новосибирского государственного университета.
Прежде всего авторы отказались от традиционного деления матема-
тики на несколько дисциплин: арифметику, алгебру, геометрию, три-
гонометрию, основы анализа и так далее. Все перечисленные предметы 
предлагается изучать в общем курсе. Это подчёркивает единство мате-
матической науки, тесную взаимосвязь развиваемых в ней идей и мето-
дов, фундаментальную роль математики как важного элемента общей 
культуры. 
Потребности использования математики в разных областях чело-
веческой деятельности различны, так же как различны и природные 
склонности и способности учащихся, поэтому не всем им математика 
нужна в одинаковом объёме. В настоящем учебнике приняты три уров-
ня изложения, отличающиеся не только объёмом, но главным образом 
глубиной и сложностью изучаемого материала. Первый уровень пред-
полагает овладение знаниями, способствует формированию умений и 
навыков, которые необходимы каждому культурному человеку. Второй 
уровень должен обеспечить усвоение и закрепление умений и навыков, 
которые позволят успешно продолжить обучение сначала в старшей 
школе, а затем и в вузе. На этом уровне развивается и дополняется ма-
териал первого уровня. Третий уровень – специализированный. На этом 
уровне, в дополнение ко второму, предполагается воспитание профес-
сионального интереса к математике и сознательное овладение логикой 
рассуждений. Материал первого уровня может изучаться независимо 
от второго и третьего, а материал второго не зависит от изучаемого на 
третьем уровне. Разделы, относящиеся ко второму уровню, отмечены в 
тексте звёздочкой, а материал третьего уровня — двумя звёздочками.

Учебник состоит из 12 глав, разбитых на параграфы, которые делят-
ся на более мелкие разделы — пункты. К каждому параграфу предлага-
ются контрольные вопросы, задачи, упражнения и тесты, а к каждому 
пункту — подходящий «открытый вопрос». Наличие открытых вопро-
сов — важная особенность изложения учебного материала. Фактически 
эти вопросы — специальные темы для размышления и обсуждения. От-
веты на них не всегда однозначны. Более того, иногда сознательно пред-
полагается, что существует несколько различных правильных ответов. 
Многие из них можно найти на страницах учебника, а в некоторых слу-
чаях их подсказывает окружающая действительность. Часто именно от-
вет на открытый вопрос дополняет материал пункта до логического за-
вершения.
Учебник прошёл апробацию в школах нескольких регионов, полу-
чил положительные экспертные заключения РАН и РАО, рекомендован 
Министерством образования и науки Российской Федерации. 
Авторы выражают искреннюю признательность академику РАО 
В.Д. Шадрикову, принимавшему активное участие в разработке кон-
цепции многоуровневого обучения. Авторы благодарят докторов фи-
зико-математических наук М.П. Вишневского и А.И. Саханенко за 
участие на первоначальном этапе в формировании содержания трёх-
уровневого обучения.
Авторы считают также своим долгом вспомнить коллег, которых 
уже нет с нами, — доцента В.В. Войтишека, профессора Т.И. Зеленяка 
и профессора Д.М. Смирнова. 

Глава 11

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

В этой главе мы рассмотрим важные понятия предела функции и непрерыв-
ности, их основные свойства, и установим непрерывность большинства фун-
кций, которые изучаются в школьном курсе математики. Будет показано, как 
применять свойства монотонности и непрерывности при решении некоторых 
уравнений и неравенств.

§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1.1. Область определения функции. Множество всех тех чисел, для 
которых имеет смысл рассматривать числовую функцию, заданную фор-
мулой, иногда называют естественной областью определения функции.
Функция может быть определена при всех действительных x. Напри-
мер, естественная область определения функции f(x) = sin x — это вся 
числовая прямая.
Функция может быть определена на промежутке числовой прямой. 
Например, функция  f(x) = √x определена при x ≥ 0, то есть на луче [0; ∞).
Функция может быть определена на объединении нескольких проме-

жутков. Например, функция f(x) = √x2 + x определена при x ≥ 0 и при 
x ≤ –1, то есть на множестве D = (–∞; –1] ∪ [0; ∞).
Функция может быть определена на объединении бесконечного числа 
промежутков. Например, функция f(x) = tg x определена на интервалах 

... (– 5π

2 ; – 3π

2 ), (– 3π

2 ; – π

2), (– π

2; π

2), (
π
2; 3π

2 ), (
3π
2 ; 5π

2 ), ..., то есть на всех ин-

тервалах вида (– π

2 + mπ; π

2 + mπ) , где m — любое число.

Естественной областью функции f(x) = √

x2

x2–1 является множество
D = (–∞; –1) ∪ {0} ∪ (1; ∞). 
Иногда функция может рассматриваться на непустом множестве, 
которое является лишь частью естественной области определения, что 
оговаривается специально. Например, можно рассматривать функцию 

f(x) = sin x на промежутке – π

2; π

2 .

Вопрос. 
Какова 
естественная 
область 
определения 
функции

f(x) = √

x

1–x?

Глава 1. Предел и непрерывность

1.2.** Пример области определения функции. Рассмотрим функ-

цию  f(x) = lg (sin 1

x). В её области определения x ≠ 0. Логарифмы вычисля-

ют только от положительных чисел, поэтому найдём такие x, для которых 

sin 1

x > 0. Решением этого неравенства является множество промежутков 

2πk < 1

x < π + 2πk , где k — любое целое число. Отсюда при k = 0 имеем x > 1

π, 

при k > 0 имеем 1

2πk > x >  
1

π + 2πk, при k < 0 также имеем 1

2πk > x >  
1

π + 2πk.

Это множество и есть естественная область определения функции 

f(x) = lg (sin 1

x). Часть этой области изображена на рис. 1.

O
x

π
1
–
π
1

2π
1
–
3π
1
–
4π
1
–
4π
1

3π
1

2π
1

Рис. 1

Вопрос. Какова область определения функции f(x) = √lg (sin x)?

1.3. Окрестности числа. Напомним, как для произвольного числа a 
и положительного числа ε определяется ε-окрестность. Пусть, например,

a = 3 и ε = 1

2. Тогда ε-окрестность числа 3 — это множество всех таких чи-

сел х, что |х – 3| < 1

2. На числовой прямой эта ε-окрестность состоит из всех 

точек х, которые удалены от числа 3 на расстояния, меньшие 1

2 (рис. 2). 

Поэтому данная ε-окрестность является интервалом с центром в точке 3 и 

с концами 3 – 1

2 и 3 + 1

2. Эту ε-окрестность числа 3 можно записать в виде 

интервала (3 – 1

2; 3 + 1

2) или в виде неравенств 3 – 1

2 < x < 3 + 1

2.

O
x
1
2
3

Рис. 2

Если зафиксировать положительное число ε, то аналогично опре-
деляется ε-окрестность числа а как множество всех таких чисел х, что 
|х – a| < ε. Эту ε-окрестность можно записать в виде интервала (a – ε; a + ε) 
или в виде неравенств a – ε < x < a + ε.

§ 1. Предел функции

Иногда вместо буквы ε используют букву δ. Если δ > 0, то аналогично 
говорят о δ-окрестности числа а. 
Вопрос. Почему в любой ε-окрестности числа 0 всегда найдётся такое 

значение a, что 
1

sin1

a

 = 1?

1.4. Предельные точки числового множества. При рассмотрении 
функций используется понятие предельной точки.
Число a называется предельной точкой множества D, если каждая 

δ-окрестность числа a содержит числа из D, отличные от a.

Пример 1. Для функции f(x) = √

x2

x2–1, определённой на множестве 

D = (–∞; –1) ∪ {0} ∪ (1; ∞), каждое число из множества P = (–∞; –1] ∪ [1; ∞) 
является предельной точкой области определения D, потому что для 

произвольного числа a из множества P каждая ε-окрестность числа a со-
держит отличные от a числа из области определения D. Однако точка 
a = 0 не является предельной точкой области определения, так как, на-
пример, окрестность (–0,5; 0,5) числа 0 не содержит ни одного отлично-
го от нуля числа из области определения D.
Отметим, что предельная точка области определения может как 
принад лежать области определения, так и не принадлежать ей.
Вопрос. Как показать, что каждая δ-окрестность числа 1 имеет общие 

точки с областью определения функции f(x) = √

x2

x2–1?

1.5. Предел функции в предельной точке. Пусть функция f(x) определена 
на множестве D. 
Определение 1. Число L называется пределом функции f(x) в предельной 
точке а области D определения функции, если для всякой 
последовательности (xn) из того, что каждый член xn принадлежит D, 
xn ≠ а и последовательность (xn) сходится к а, следует, что последовательность ( 
f(xn)) значений функции  сходится к L.

Запись 
x→a
lim f(x) = L означает, что функция f(x) имеет в предельной точке 
а предел, равный L. 
Заметим, что поскольку а — предельная точка области определения 
D, то каждая δ-окрестность числа a содержит числа из D, отличные 
от a, поэтому существуют последовательности, состоящие из элементов 

Глава 1. Предел и непрерывность

области определения, не равных числу а. Так что L — предел функции 
f(x) в предельной точке а, если для всякой последовательности (xn) элементов 
из области определения D, отличных от а, для которой существует 

n→∞
lim xn, равный а, обязательно существует предел последовательности 

значений функции  
n→∞
lim f(xn), равный L. 

Определение 1 иногда называют определением предела функции в 
предельной точке на языке последовательностей. 
Пример 2. Пусть с — фиксированное число. Рассмотрим на всей действительной 
оси постоянную функцию f(x) = c. Тогда для любого числа а 
существует  
x→a
lim f(x), равный с.

Пусть (xn) — такая произвольная последовательность элементов, отличных 
от числа а, что 
n→∞
lim xn = a. Для членов этой последовательности 

имеем yn = f(xn) = c. Поэтому 
n→∞
lim yn = 
n→∞
lim f(xn) = c. Ввиду произвольности 

выбора последовательности (xn) с требуемыми условиями на основании 
определения 1 получаем, что число c является пределом функции f(x) = с 
в точке a.
Пример 3. Пусть f(x) = x при всех действительных значениях x. Докажем, 
что 
x→a
lim f(x) = a при любом a.

Пусть (xn) — такая произвольная последовательность элементов, отличных 
от числа а, что 
n→∞
lim xn = a. Для членов этой последовательности 

имеем  f(xn) = xn. Поэтому  
n→∞
lim f(xn) = 
n→∞
lim xn = a. Отсюда на основании определения 
1 получаем, что число a является пределом функции f(x) = x в 
точке a.
Вопрос. Как доказать, что  
x→–2
lim x3 = –8?

1.6. Определение предела функции в  предельной точке на языке «
ε-δ». Во многих случаях используется другое определение предела 
функции в предельной точке, эквивалентное определению 2.
Пусть функция f(x) определена на множестве D.
Определение 2. Число L называется пределом функции f(x) в предельной 
точке а области D определения функции, если для всякого положительного 
числа ε найдётся такое положительное число δ, что для 
каждого значения x из области D из того, что x ≠ а и |x – a| < δ, следует 
неравенство | f(x) – L| < ε. 
Заметим, что поскольку элемент а — предельная точка области определения 
D, то каждая δ-окрестность числа a содержит числа из D, отлич-

§ 1. Предел функции

ные от числа a. Так что М — предел функции f(x) в предельной точке а, 
если для всякого отличного от а значения аргумента х из δ-окрестности 
числа а значения функции f(x) содержатся в ε-окрестности числа М. 
Определение 2 иногда называют определением предела функции в 
предельной точке на языке «ε-δ» или ε-δ-определением.
Мы здесь не будем доказывать, что определения 1 и 2 предела функции 
в предельной точке эквивалентны. Иногда предел функции в пре-
дельной точке кратко называют пределом функции в точке. 
Пример 4. Рассмотрим на множестве всех неотрицательных чисел 
функцию f(x) = √x. Покажем, что для любого неотрицательного числа а 
выполняется равенство  
x→a
lim √x = √a. 

1. Пусть а = 0. Тогда для неотрицательных значений х и числа 0 вы-
полняются соотношения |√x – 0| = √x – 0 = √x. Поэтому если для каждого 
положительного числа ε в качестве δ взять число ε2, то для каждого х, 
удовлетворяющего условиям x ≠ 0 и |x – 0| < δ, получим, что |√x – 0| =

= √x – 0 < √δ = √ε2 = ε. Таким образом,  
x→0
lim √x = 0.

2. Пусть а > 0. Тогда для неотрицательных значений х выполняются 

соотношения |√x – √а| = |
x – a
√x + √a| = |x – a|

√x + √a  ≤ |x – a|

√a . Поэтому если для 

каждого положительного числа ε в качестве δ взять число ε√а, то для 
каждого х, удовлетворяющего условиям x ≠ a и |x – a| < δ, получим, что 

|√x – √а| ≤ |x – a|

√a  < δ

√a  = ε√a

√a  = ε, и поэтому  x→a
lim √x = √a. 

Таким образом, равенство  
x→a
lim √x = √a выполняется для любого неот-
рицательного числа а.
Вопрос. Как, используя определение 3, до-
казать что  
x→0
lim |x| = 0. 

1.7. Графическая иллюстрация понятия 
предела функции. Предел функции можно 
наглядно представить на графике. Пусть 
f(x) = √x (рис. 3). Для произвольного положи-
тельного числа ε неравенство | f(x) – 0| < ε равно-
сильно неравенствам –ε < f(x) < ε. Выполнение 
этого неравенства означает, что соответствую-
щие точки графика лежат между горизонталь-
ными прямыми y = –ε и y = ε (рис. 3).

O
x

y

1

1

–

ε

ε

Рис. 3

Глава 1. Предел и непрерывность

Выбор числа δ по ε означает, что мы нахо-
дим такую δ-окрестность числа 0, что для всех 
x из этой окрестности, принадлежащих облас-
ти определения и отличных от нуля, соответ-
ствующие точки графика попадают в полосу 
между указанными прямыми (рис. 4).
Возможность выполнить аналогичное по-
строение для произвольного положительного 
числа ε и означает, что  
x→0
lim √x = 0.

Вопрос. Как с помощью графика проил-
люстрировать, что 
x→a
lim x = a?

1.8. Свойства пределов функций. Для пределов функций в точке 
выполняются свойства, которые аналогичны свойствам пределов после-
довательностей. В частности, для пределов функций f(x) и g(x) в точке 
справедливы арифметические свойства, позволяющие находить новые 
пределы функций в точке.
Теорема 1. Пусть для функций f(x) и g(x) с общей областью опреде-
ления D существуют пределы в предельной точке a и 
x→a
lim
 
f(x) = A,  

x→a
lim g(x) = B. Тогда:

1)  
x→a
lim (
 
f(x) + g(x)) = A + B;

2)  
x→a
lim (
 
f(x) · g(x)) = A · B;

3) если B ≠ 0, то  
x→a
lim f(x)

g(x) 

= A

B.

Пример 5. 
.

Вопрос. Чему равен 
x→3
lim 3x2?

1.9. Доказательство утверждения о пределе отношения двух 
функций. Пусть функция f(x) определена на множестве Df, g(x) опреде-
лена на множестве Dg, a — предельная точка пересечения множеств Df  и 
Dg. Возьмём произвольную последовательность (xn) такую, что xn ∈ Df, 
xn ∈ Dg, xn ≠ a, g(xn) ≠ 0 и 
n→∞
lim xn = a. Тогда все члены этой последователь-

ности принадлежат области определения функции f(x)

g(x). По условию су-

O
x

y

δ

1

1

–

ε

ε

Рис. 4