Математика: алгебра и геометрия: учебник для 9 класса общеобразовательных организаций

ФГОС
ИННОВАЦИОННАЯ ШКОЛА

В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов, 
А.А. Мальцев, А.С. Марковичев, Ю.В. Михеев, М.В. Фокин

МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИКА

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Учебник для 9 класса
общеобразовательных организаций

Под редакцией
академика РАН В.В. Козлова
и академика РАО А.А. Никитина

3-е издание

Рекомендовано
Министерством просвещения
Российской Федерации

Экспертное заключение № 004699 от 19.12.2016 г. (научная экспертиза)
Экспертное заключение № 004706 от 19.12.2016 г. (педагогическая экспертиза) 
Экспертное заключение № ОЭ/16-0290 от 26.12.2016 г. (общественная экспертиза)

Соответствует Федеральному 
государственному образовательному стандарту

Москва
«Русское слово»
2020

УДК 373.167.1:51*09(075.3)
ББК 22.1я721
          К59

Авторы:
В.В. Козлов — академик РАН, доктор физико-математических 
наук, профессор;
А.А. Никитин — академик РАО, доктор физико-математических 
наук, профессор;
В.С. Белоносов — доктор физико-математических наук, профессор;
А.А. Мальцев — кандидат физико-математических наук, доцент;
А.С. Марковичев — кандидат физико-математических наук, доцент;
Ю.В. Михеев — кандидат педагогических наук; 
М.В. Фокин — доктор физико-математических наук, профессор

Козлов В.В., Никитин А.А.
Математика: алгебра и геометрия: учебник для 9 класса общеобразовательных 
организаций / В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов 
и др.; под ред. В.В. Козлова и А.А. Никитина. — 3-е изд. — М.: ООО 
«Русское слово — учебник», 2020. — 360 с. — (ФГОС. Инновационная 
школа).

ISBN 978-5-533-01647-6

Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному 
стандарту основного общего образования, является частью учебно-методического 
комплекта «Математика» и входит в систему учебников «Инновационная 
школа».
Учебник предназначен для общеобразовательных организаций.

УДК 373.167.1:51*09(075.3)
ББК 22.1я721 

 
©  В.В. Козлов, 2015, 2020
 
© А.А. Никитин, 2015, 2020
 
© В.С. Белоносов, 2015, 2020
 
© А.А. Мальцев, 2015, 2020
 
© А.С. Марковичев, 2015, 2020 
 
© Ю.В. Михеев, 2015, 2020
 
© М.В. Фокин, 2015, 2020
ISBN 978-5-533-0167-6 
© ООО «Русское слово — учебник», 2015, 2020

.

К59

ОТ АВТОРОВ
ОТ АВТОРОВ

Дорогие друзья!
В многоуровневом учебнике по математике для 9 класса мы продолжаем 
изучать математику, опираясь на материал учебников 7 и 8 классов.
Мы продолжаем работу над техникой вычислений, тождественными 
преобразованиями алгебраических выражений, выражений с радикалами 
и с тригонометрическими функциями.
На основе понятия равносильности будут изучаться правила решения 
уравнений, неравенств и их систем. Практическое применение математики 
иллюстрируется примером задачи из экономики.
Продолжается систематическое изучение геометрии. Рассматриваются 
свойства центральных и вписанных углов, изучаются основные метрические 
соотношения в треугольнике.
Будет продолжено изучение основных функциональных зависимостей. 
Рассматриваются степенные функции с целыми и рациональными 
показателями и дробно-линейные функции.
В завершение курса математики в 9 классе будут рассматриваться 
введение в теорию вероятностей и элементы комбинаторики.
В целях привлечения вас к исследовательской деятельности в учебник 
включены особые задачи, которые можно охарактеризовать как мини-
исследования. Это, как правило, задачи, в значительной степени связанные 
по тематике с текущим изучаемым материалом, но требующие 
для своего решения рассмотрения различных возможностей и вариантов, 
поиска нескольких этапов логических рассуждений.
Чтобы учебником было удобно пользоваться, важнейшие элементы 
учебного текста отмечены специальными обозначениями.
Каждый пункт заканчивается «открытым» вопросом, предназначен-
ным для осмысления прочитанного ранее материала. В тексте «откры-
тые» вопросы обознаются так:    

Материал учебника будет сопровождаться важными правилами и 
формулами. Так, например, в учебнике выделяются формулы:

sin(90° – α) = cosα.
В учебнике кроме пунктов мы предлагаем контрольные вопросы и за-
дания, задачи и упражнения, а также тесты. Все они могут быть различ-
ной сложности.
Большинство заданий предлагаются на первом уровне. Приступайте 
к решению таких заданий обязательно и пробуйте решить их полностью. 
Значком 

так

м
 отмечается материал второго уровня.
Значком 

м
м
 
от
о

 отмечается материал третьего уровня. 

В этой главе вы продолжите изучение множеств, их подмножеств, объедине-
ния, пересечения и разности множеств.

§ 1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА

1.1. Множество и его элементы. В разговорной речи слово «мно-
жество» употребляется в смысле «много». Например, когда говорят, что 
«в лесу множество грибов», то имеют в виду, что в лесу много грибов. 
В математике под словом множество понимают совокупность пред-
метов или объектов, объединённых по некоторому признаку, облада-
ющих определённым свойством. Например, множество чётных целых 
чисел состоит из целых чисел, делящихся на два; окружность есть мно-
жество всех точек плоскости, равноудалённых от данной на плоскости 
точки, и так далее.
Предметы или объекты, составляющие множество, называются его 
элементами. При этом иногда говорят, что элементы входят в множество, 
или элементы составляют множество, или элементы принадлежат мно-
жеству. Например, элементами множества букв, используемых для запи-
си слова «колобок», являются буквы: б, к, л, о.
Для записи того, что некоторый элемент принадлежит множеству, ис-
пользуют знак ∈ или знак . Так, запись а ∈ А означает, что а есть эле-
мент множества А. Например, если буквой В обозначено множество всех 
чётных чисел, то можно записать, что B  4.
Когда предмет или объект а не является элементом множества А, то 
пишут а ∉ А или А  а. Так, для множества В чётных чисел «7 ∉ В» или 
«В  7», что означает, что число 7 не принадлежит множеству В.

Вопрос. Как записать, что число 100,5 не принадлежит множеству 
N натуральных чисел?

1.2. Виды множеств. Множество, не содержащее элементов, называ-
ется пустым и обозначается через ∅.
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число 
элементов. Конечное множество можно обозначить, перечислив в фигур-

МНОЖЕСТВА1
ГЛАВА
ГЛАВА

a;b
[     ]
[     ]

§ 1. Понятие множества

ных скобках все его элементы. Например, множество букв, входящих в 
слово «колобок», можно обозначить {б, к, л, о}. При записи конечного 
множества, содержащего большое число элементов, иногда используют 
многоточие. Например, множество всех целых чисел от 0 до 100 можно 
обозначить {0, 1, 2, … , 100}.
Пустое множество считают конечным, число элементов в нём считает-
ся равным нулю.
Множество называется бесконечным, если оно не является конечным. 
Бесконечное множество в некоторых случаях также можно записать 
«перечислением» в фигурных скобках его элементов, используя много-
точие. Например, множество всех натуральных чисел можно обозначить 
{1, 2, … , n, …}.
Можно указать множества, про которые до сих пор неизвестно, конеч-
ны они или бесконечны. Например, неизвестно, конечно или бесконеч-
но множество простых чисел, разлагающихся в сумму двух простых чи-
сел. Неизвестно также, будет ли бесконечным множество простых чисел 
Ферма, то есть простых чисел вида 22k + 1. Первые пять чисел Ферма для 
k от 0 до 4 имеют вид: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все эти числа Ферма оказа-
лись простыми. Но уже шестое число Ферма при k = 5, как показал Эй-
лер, делится на 641, потому что 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417 и поэтому 
не является простым. Установлено, что составными являются и последу-
ющие числа Ферма для натуральных значений k от 6 до 32.

Вопрос. Конечное или бесконечное множество получится, если к 
конечному множеству прибавить один элемент?
1.3. Способы задания множеств. Существует несколько способов 
задания множеств.
Первый способ состоит в том, что перечисляют все элементы множест-
ва, записывая их в фигурных скобках через запятую.
Пример 1. Множество, которое состоит из первых пяти букв русского 
алфавита, можно записать в виде {а, б, в, г, д}.
Пример 2. Множество, которое состоит из всех натуральных чисел, 
делящихся на три, можно записать в виде {3, 6, 9, 12, 15, 18, …}. При 
этом предполагается, что во множество включаются все натуральные 
числа по закономерности, указанной в начале записи. Этот пример показывает, 
что подобную запись множества можно использовать и тогда, 
когда элементов очень много, и даже тогда, когда элементов бесконечно 
много. Главное, чтобы при такой записи было понятно, какие элементы 
входят в множество. 

Глава 1. Множества

6

Другой способ задания множеств состоит в описании свойств, которыми 
обладают элементы данного множества.
Пример 3. Множество всех десятичных дробей состоит из всех дробей 
m/n, которые равны некоторой дроби со знаменателем, равным натуральной 
степени числа 10.

Вопрос. Как можно задать множество, которое состоит из всех гласных 
букв русского алфавита?

1.4. Промежутки на числовой прямой. Для данных действительных 
чисел а и b, где а < b, рассматриваются следующие числовые множества, 
имеющие общее название промежутки: отрезок [а; b]; полуинтервал 
[а; b); полуинтервал (а; b]; интервал (а; b). Промежутком иногда также 
называют множество [а; а], состоящее из одного элемента а.  
Бесконечными промежутками называют множества вида: числовая 
прямая (–∞; ∞); бесконечный полуинтервал (луч) [а; ∞); бесконечный по-
луинтервал (луч) (–∞; а]; бесконечный интервал (а; ∞); бесконечный ин-
тервал (–∞; а).

Вопрос. Какие из промежутков содержат конечное число элементов?   
1.5. Подмножество. Равенство множеств. Если каждый эле-
мент множества А является также элементом множества В, то говорят, 
что А есть часть или подмножество множества В, и пишут обычно 
А ⊆ В или В ⊇ А. В этом случае также говорят, что А содержится в В или 
В содержит А. Например, отрезок [0;1] является подмножеством мно-
жества R всех действительных чисел. 
Пустое множество ∅ считается подмножеством любого множества.
Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних 
и тех же элементов. Таким образом, А = В, если одновременно А ⊆ В и 
В ⊆ А, поскольку всякий элемент, принадлежащий В, принадлежит А и 
всякий элемент, принадлежащий А, принадлежит В.
Если А — подмножество множества В и А ≠ В, то иногда пишут А ⊂ В 
или В ⊃ А. Например, для множества N натуральных чисел и множест-
ва Z целых чисел, множества Q рациональных чисел, множества R дейст-
вительных чисел выполняются соотношения: N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.
Иногда соотношения вида А ⊆ В, А ⊂ В называют включениями А в В.
Вопрос. Сколько подмножеств имеет множество {a, b, c, d}? 

Контрольные вопросы и задания
Контрольные вопросы и задания

1. Приведите примеры конечных множеств.
2. Приведите примеры бесконечных множеств.

§ 1. Понятие множества

3. Какое множество называют пустым?
4. Что означает запись a ∈ А?
5. Что означает запись b ∉ В?
6. Как можно задать множество?
7. Какие виды промежутков вы знаете?
8. Какие множества называются равными?
9. Что означают записи А ⊂ В и А ⊆ В?

Задачи и упражнения
Задачи и упражнения

1. Выпишите элементы множества простых чисел, не превосходящих 
20 и взаимно простых с этим числом 20.
2. 
и вза

.
 
аим
за

 Конечно или бесконечно множество всех простых чисел?
3. Сколько элементов имеет множество целых корней уравнения 
х4 + 2х2 − 3 = 0?
4. 

2х
.
 Покажите, что множество простых чисел, которые разлагаются 
в сумму двух простых чисел, больших или равных трём, является пус-
тым.
5. Сколько элементов содержит множество целых положительных чи-
сел, не превосходящих числа 20 и взаимно простых с этим числом 20?
6. 

не 
.
 На плоскости даны окружность s и точка А на этой окружности. 
Что представляет собой множество середин хорд, высекаемых окруж-
ностью s на прямых, проходящих через точку А?
7. Сколько элементов имеет множество целых чисел, которые прина-
длежат промежутку:
а) [6; 8]; 
б) (–3; 4);  
в) (3; 4); 
г) (121; 221);
д) [–221; –121); 
е) (1,1; 3,3); 
ё) [–5,2; 6,7]; 
ж) (–5,2; 6,7)?

8. Даны два множества U и V. Определите, будет ли какое-нибудь из 
них подмножеством другого множества, если:
а) U — множество всех натуральных чётных чисел, V — множество 
всех целых чисел, кратных 4;
б) U — множество решений неравенства 1995х ≤ −1996, V — множест-
во решений неравенства −1996х ≥ 1995;
в) U — множество всех точек заданного треугольника ABC, лежащих 
вне описанной около него окружности, V — множество всех вершин это-
го треугольника;
г) 
реу
)
 
угол
у

 U — множество центров окружностей, касающихся двух со-
седних сторон заданного ромба; V — множество точек диагоналей этого 
ромба;

Глава 1. Множества

8

д) U — множество центров окружностей, касающихся обеих сторон 
заданного угла α, V — множество точек биссектрисы угла α.
9. Сколько непустых подмножеств имеет множество, состоящее из 
5 элементов? 

Тесты
Тесты

Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
1.1. В каком случае указанные множества A и B равны?
1) A — множество всех цифр, делящихся на 3, B — множество 
{3, 6, 9}
2) A — множество всех цифр, B — множество всех цифр, на которые 
могут оканчиваться кубы натуральных чисел
3) A — множество всех решений неравенства 
1

x + 1 > 2, B — множе ство 
всех решений неравенства 1 > 2x + 2
4) A — множество всех решений неравенства x2 > 0, B — множество 
всех решений неравенства x > 0
1.2. Сколько элементов содержит множество всех простых чисел, 
меньших 30?
1) 9 
2) 10 
3) 11 
4)12
1.3. Сколько элементов входит в множество, состоящее из всех сторон 
и всех диагоналей правильного шестиугольника?
1) 15 
2) 20 
3) 25 
4) 30
1.4. В окружности с центром O провели диаметр AB, на котором по-
ставили четвёртую точку C. Какое из множеств является подмножест-
вом множества точек окружности?
1) {A, C} 
2) {A, O} 
3) {A, B} 
4) {A, B, C}

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
2.1. В каких случаях одно из множеств — A и B является подмножест-
вом другого?
1) A — множество всех натуральных чисел, делящихся и на 2, и на 3, 
B — множество всех натуральных чисел, делящихся на 6
2) A — множество всех букв, участвующих в записи слова «барабан», 
B — множество всех букв, участвующих в записи слова «баран»

3) A — множество всех решений неравенства x2 – 1

x – 1  ≥ 0, B — множе-
ство всех решений неравенства x + 1 ≥ 0

4) A — множество всех дробей вида m

2n, где m, n — целые и n ≥ 0, B — 
множество всех десятичных дробей

§ 2. Объединение и пересечение множеств 

2.2. Какие из числовых промежутков содержат число 1?

1) (1; √5  
2) √2 – 1; √5 –1

(

 
3) (–∞; √3 + √5

4
) 
4) √5 + 1

2
; ∞)

2.3. В каких случаях точки A, B, C плоскости обязательно лежат на 
одной прямой?
1) AC = AB + BC 
2) AC = AB – BC
3) AC = BC – AB 
4) AB + BC = AC + BC

2.4. В каких случаях окружность с центром O1 и радиусом R не пере-
секает окружность с центром O2 и радиусом r?
1) O1O2 = 2, R = 5, r = 4 
2) O1O2 = 3, R = 8, r = 4
3) O1O2 = 4, R = 11, r = 8 
4) O1O2 = 5, R = 7, r = 1

§ 2. ОБЪЕДИНЕНИЕ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ 
§ 2. ОБЪЕДИНЕНИЕ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ 

2.1. Объединение множеств. Объединением двух множеств А и В 
называется множество, образованное всеми элементами этих множеств. 
Объединение множеств обозначается с помощью знака ∪. Так, объедине-
ние множеств A и В можно записать в виде A ∪ В.
Пример 1. Точки А, В, С, D являются вершинами квадрата. Рассмот-
рим множество Р точек плоского треугольника ABC и множество Q точек 
плоского треугольника BCD. Тогда множество Р ∪ Q выглядит в виде 
плоского пятиугольника ABCDE (рис. 1).
Рассматривают также объединения трёх, четырёх или любого конечного 
числа множеств. Например, если даны отрезки [0; 1], [1; 2], [2; 3] и 
интервал (2; 4), то объединением этих четырёх множеств является полуинтервал [
0; 4). 

Вопрос. Из каких чисел состоит множество (1; 2) ∪ [2; 3)?   

2.2. .
  Объединение совокупности множеств. 
Иногда рассматривают объединение бесконечной 
совокупности множеств, определяя 
это объединение как множество, состоящее из 
всех элементов множеств данной бесконечной 
совокупности. Например, объединение всех отрезков 
вида 1

n;  3 – 1

n , где п пробегает все натуральные 
числа, состоит из всех чисел этих отрезков 
и равно множеству (0; 3).

A

B

D

C

E

Рис. 1

Глава 1. Множества

10

Вопрос. Как показать, что число 0 не принадлежит объединению 

отрезков вида 
1

n + 1;  1

n , где п пробегает все натуральные числа?

2.3. Пересечение множеств. Пересечением множеств А и В называется 
множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно 
принадлежат как множеству А, так и множеству В. Пересечение множеств 
обозначается с помощью знака ∩. Так, пересечение множеств А и В 
можно записать в виде А ∩ В.
Иногда пересечение множеств называют общей частью этих множеств.

Пример 2. Пусть А — множество точек некоторой прямой а и B — 
множество точек отличной от неё прямой b, которая параллельна прямой 
а. Тогда А ∩ В = ∅, так как две различные параллельные прямые не 
имеют общих точек.
Этот пример показывает, что пересечение двух непустых множеств 
может оказаться пустым множеством. Рассматривают также пересечения 
трёх, четырёх или любого конечного числа множеств. Например, 
пересечением множества чётных чисел, множества натуральных чисел, 
кратных 3, и множества натуральных чисел, кратных 5, является множество 
натуральных чисел, кратных 30.

Вопрос. Из каких чисел состоит множество N ∩ [–1; 3,2), где N — 
множество натуральных чисел?
2.4. .
  Пересечение совокупности множеств. Иногда рассматривают 
пересечение бесконечной совокупности множеств, определяя это 
пересечение как множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно 
принадлежат каждому из множеств данной бесконечной совокупности. 
Например, пересечение всех интервалов вида (1 – 1

n; 2 + 1

n), 

где п пробегает все натуральные числа, состоит из всех чисел, общих для 
всех этих интервалов, и равно множеству [1; 2].

Вопрос. Чему равно пересечение множеств вида (–1

n; 0), где п пробе-
гает все натуральные числа?
2.5. Общие соотношения для множеств. Приведём основные 
свойства, которыми обладают операции объединения и пересечения 
множеств. Пусть буквами А, В, С обозначаются множества. Тогда вы-
полняются следующие равенства:
1. A ∪ B = B ∪ A;
2. A ∩ B = B ∩ A;