Математика: алгебра и геометрия: учебник для 9 класса общеобразовательных организаций

ФГОС

ИННОВАЦИОННАЯ ШКОЛА

В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов, 
А.А. Мальцев, А.С. Марковичев, Ю.В. Михеев, М.В. Фокин

МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИКА

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Учебник для 9 класса
общеобразовательных организаций

Под редакцией
академика РАН В.В. Козлова
и академика РАО А.А. Никитина

2-е издание

Рекомендовано Министерством просвещения 
Российской Федерации

Экспертное заключение № 004699 от 19.12.2016 г. 
(научная экспертиза) 
Экспертное заключение № 004706 от 19.12.2016 г. 
(педагогическая экспертиза)
Экспертное заключение № ОЭ/16-0290 от 26.12.2016 г. 
(общественная экспертиза)

Cоответствует Федеральному 
государственному образовательному стандарту

Москва
«Русское слово»
2019

УДК 373.167.1:51*09(075.3)
ББК 22.1я721
 
М34
Авторы: В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов, 
А.А. Мальцев, А.С. Марковичев, Ю.В. Михеев, М.В. Фокин

Математика: алгебра и геометрия: учебник для 9 класса общеобразовательных 
организаций / В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов 
и др.; под ред. В.В. Козлова и А.А. Никитина. — 2-е изд. — М.: ООО 
«Русское слово — учебник», 2019. — 376 с. — (ФГОС. Инновационная 
школа).
ISBN 978-5-533-00414-5
УДК 373.167.1:51*09(075.3)
ББК 22.1я721 
 
©  В.В. Козлов, 2015, 2019
 
© А.А. Никитин, 2015, 2019
 
© В.С. Белоносов, 2015, 2019
 
© А.А. Мальцев, 2015, 2019
 
© А.С. Марковичев, 2015, 2019 
 
© Ю.В. Михеев, 2015, 2019
 
© М.В. Фокин, 2015, 2019
ISBN 978-5-533-00414-5 
© ООО «Русское слово — учебник», 2015, 2019

Учебное издание
ФГОС
Инновационная школа
Козлов Валерий Васильевич, Никитин Александр Александрович,
Белоносов Владимир Сергеевич, Мальцев Андрей Анатольевич, 
Марковичев Александр Сергеевич, Михеев Юрий Викторович,
Фокин Михаил Валентинович
МАТЕМАТИКА

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Учебник для 9 класса общеобразовательных организаций
Под редакцией академика РАН  В.В. Козлова и академика РАО  А.А. Никитина
Редактор Е.В. Лебедева
Художественный редактор В.В. Тырданова
Рисунки Е.А. Бреславского
Корректор М.Г. Курносенкова
Вёрстка Л.Х. Матвеевой
Подписано в печать 23.01.19. Формат 70 90/16. Бумага офсетная.    
Печать офсетная. Усл. печ. л. 27,5. Тираж 2000 экз. Заказ
Изд. № 16115.
ООО «Русское слово — учебник». 
115035, Москва, Овчинниковская наб., д. 20, стр. 2.
Тел.: (495) 969-24-54, (499) 689-02-65 
(отдел реализации и интернет-магазин).
Вы можете приобрести книги в интернет-магазине:
www.russkoe-slovo.ru           e-mail: zakaz@russlo.ru
Отпечатано в АО «Первая Образцовая типография»,
филиал «Дом печати — ВЯТКА». 
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.

М34

ISBN 978-5-533-00414-5

Данная книга — пятая в серии трёхуровневых учебников по математике, 
созданных коллективом авторов из числа научных сотрудников 
Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии 
наук, Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения 
Российской академии наук, Института педагогических исследований 
одарённости детей Российской академии образования, профессоров и доцентов 
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова 
и Новосибирского государственного университета.
Прежде всего авторы отказались от традиционного деления математики 
на несколько дисциплин: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, 
основы анализа и так далее. Все перечисленные предметы 
предлагается изучать в общем курсе. Это подчёркивает единство математической 
науки, тесную взаимосвязь развиваемых в ней идей и методов, 
фундаментальную роль математики как важного элемента общей 
культуры. 
Потребности использования математики в разных областях человеческой 
деятельности различны, так же как различны и природные 
склонности и способности учащихся, поэтому не всем им математика 
нужна в одинаковом объёме. В настоящем учебнике приняты три уровня 
изложения, отличающиеся не только объёмом, но главным образом 
глубиной и сложностью изучаемого материала. Первый уровень предполагает 
овладение знаниями, способствует формированию умений и 
навыков, которые необходимы каждому культурному человеку. Второй 
уровень должен обеспечить усвоение и закрепление умений и навыков, 
которые позволят успешно продолжить обучение сначала в старшей 
школе, а затем и в вузе. На этом уровне развивается и дополняется материал 
первого уровня. Третий уровень — специализированный. На 
этом уровне, в дополнение ко второму, предполагается воспитание профессионального 
интереса к математике и сознательное овладение логикой 
рассуждений. Материал первого уровня может изучаться независимо 
от второго и третьего, а материал второго не зависит от изучаемого 
на третьем уровне. Разделы, относящиеся ко второму уровню, отмечены 
в тексте звёздочкой, а материал третьего уровня — двумя звёздочками.
Учебник состоит из 15 глав, разбитых на параграфы, которые делят-
ся на более мелкие разделы — пункты. К каждому параграфу предлага-

Предисловие 

ются контрольные вопросы, задачи, упражнения и тесты, а к каждому 
пункту — подходящий «открытый вопрос». Наличие «открытых вопро-
сов» — важная особенность изложения учебного материала. Фактичес-
ки эти вопросы — специальные темы для размышления и обсуждения. 
Ответы на них не всегда однозначны. Более того, иногда сознательно 
предполагается, что существует несколько различных правильных от-
ветов. Многие из них можно найти на страницах учебника, а в некото-
рых случаях их подсказывает окружающая действительность. Часто 
именно ответ на «открытый вопрос» дополняет материал пункта до ло-
гического завершения.
Учебник прошёл апробацию в школах нескольких регионов, полу-
чил положительные экспертные заключения РАН и РАО, рекомендован 
Министерством образования и науки Российской Федерации. 
Авторы выражают искреннюю признательность академику РАО 
В.Д. Шадрикову, принимавшему активное участие в разработке кон-
цепции многоуровневого обучения. Авторы благодарят докторов фи-
зико-математических наук М.П. Вишневского и А.И. Саханенко за 
участие на первоначальном этапе в формировании содержания трёх-
уровневого обучения.
Авторы считают также своим долгом вспомнить коллег, которых 
уже нет с нами, — доцента В.В. Войтишека, профессора Т.И. Зеленяка 
и профессора Д.М. Смирнова. 

Глава 1

МНОЖЕСТВА
МНОЖЕСТВА

В этой главе вы продолжите изучение множеств, их подмножеств, объедине-
ния, пересечения и разности множеств.

§ 1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА

1.1. Множество и его элементы. В разговорной речи слово «мно-
жество» употребляется в смысле «много». Например, когда говорят, что 
«в лесу множество грибов», то имеют в виду, что в лесу много грибов. 
В математике под словом множество понимают совокупность пред-
метов или объектов, объединённых по некоторому признаку, облада-
ющих определённым свойством. Например, множество чётных целых 
чисел состоит из целых чисел, делящихся на два; окружность есть мно-
жество всех точек плоскости, равноудалённых от данной на плоскости 
точки, и так далее.
Предметы или объекты, составляющие множество, называются его 
элементами. При этом иногда говорят, что элементы входят в множество, 
или элементы составляют множество, или элементы принадлежат мно-
жеству. Например, элементами множества букв, используемых для запи-
си слова «колобок», являются буквы: б, к, л, о.
Для записи того, что некоторый элемент принадлежит множеству, ис-
пользуют знак ∈ или знак . Так, запись а ∈ А означает, что а есть эле-
мент множества А. Например, если буквой В обозначено множество всех 
чётных чисел, то можно записать, что B  4.
Когда предмет или объект а не является элементом множества А, то 
пишут а ∉ А или А  а. Так, для множества В чётных чисел «7 ∉ В» или 
«В  7», что означает, что число 7 не принадлежит множеству В.
Вопрос. Как записать, что число 100,5 не принадлежит множеству N 
натуральных чисел?

1.2. Виды множеств. Множество, не содержащее элементов, называ-
ется пустым и обозначается через ∅.
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число 
элементов. Конечное множество можно обозначить, перечислив в фигур-
ных скобках все его элементы. Например, множество букв, входящих в 
слово «колобок», можно обозначить {б, к, л, о}. При записи конечного 
множества, содержащего большое число элементов, иногда используют 

Глава 1. Множества

многоточие. Например, множество всех целых чисел от 0 до 100 можно 
обозначить {0, 1, 2, … , 100}.
Пустое множество считают конечным, число элементов в нём считает-
ся равным нулю.
Множество называется бесконечным, если оно не является конечным. 
Бесконечное множество в некоторых случаях также можно записать 
«перечислением» в фигурных скобках  его элементов, используя много-
точие. Например, множество всех натуральных чисел можно обозначить 
так {1, 2, … , n, …}.
Можно указать множества, про которые до сих пор неизвестно, ко-
нечны они или бесконечны. Например, неизвестно, конечно или беско-
нечно множество простых чисел, разлагающихся в сумму двух простых 
чисел. Неизвестно также, будет ли бесконечным множество простых чи-

сел Ферма, то есть простых чисел вида 22k + 1. Первые пять чисел Фер-
ма для k от 0 до 4 имеют вид: 3, 5, 17, 257, 65 537. Все эти числа Ферма 
оказались простыми. Но уже шестое число Ферма при k = 5, как пока-
зал Эйлер, делится на 641, потому что 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417, и 
поэтому не является простым. Установлено, что составными являются и 
последующие числа Ферма для натуральных значений k от 6 до 32.

Вопрос. Конечное или бесконечное множество получится, если к ко-
нечному множеству прибавить один элемент?

1.3. Промежутки на числовой прямой. Для данных действительных 
чисел а и b, где а < b, рассматриваются следующие числовые множества, 
имеющие общее название промежутки: отрезок [а; b]; полуинтервал 
[а; b); полуинтервал (а; b]; интервал (а; b). Промежутком иногда также 
называют множество [а; а], состоящее из одного элемента а.  
Бесконечными промежутками называют множества вида: числовая 
прямая ( –∞; ∞); бесконечный полуинтервал (луч) [а; ∞); бесконечный 
полуинтервал (луч) (–∞; а]; бесконечный интервал (а; ∞); бесконечный 
интервал (–∞; а).

Вопрос. Какие из промежутков содержат конечное число элементов?

1.4. Подмножество. Равенство множеств. Если каждый эле-
мент множества А является также элементом множества В, то говорят, 
что А есть часть или подмножество множества В, и пишут обычно 
А ⊆ В или В ⊇ А. В этом случае также говорят, что А содержится в В или 
В содержит А. Например, отрезок [0;1] является подмножеством мно-
жества R всех действительных чисел. 

§ 1. Понятие множества

Пустое множество ∅ считается подмножеством любого множества.
Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних 
и тех же элементов. Таким образом, А = В, если одновременно А ⊆ В и 
В ⊆ А, поскольку всякий элемент, принадлежащий В, принадлежит А и 
всякий элемент, принадлежащий А, принадлежит В.
Если А — подмножество множества В и А ≠ В, то иногда пишут А ⊂ В 
или В ⊃ А. Например, для множества N натуральных чисел и множест-
ва Z целых чисел, множества Q рациональных чисел, множества R дейст-
вительных чисел выполняются соотношения: N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.
Иногда соотношения вида А ⊆ В, А ⊂ В называют включениями А в В.

Вопрос. Сколько подмножеств имеет множество {a, b, c, d}?

Контрольные вопросы и задания
Контрольные вопросы и задания

1. Приведите примеры конечных множеств.
2. Приведите примеры бесконечных множеств.
3. Какое множество называют пустым?
4. Что означает запись a ∈ А?
5. Что означает запись b ∉ В?
6. Какие виды промежутков вы знаете?
7. Какие множества называются равными?
8. Что означают записи А ⊂ В и А ⊆ В?

Задачи и упражнения
Задачи и упражнения

1. Выпишите элементы множества простых чисел, не превосходящих 
20 и взаимно простых с этим числом 20.
2.** Конечно или бесконечно множество всех простых чисел?
3. Сколько элементов имеет множество целых корней уравнения 
х4 + 2х2 − 3 = 0?
4.* Покажите, что множество простых чисел, которые разлагаются в 
сумму двух простых чисел, больших или равных трём, является пустым.
5. Сколько элементов содержит множество целых положительных чи-
сел, не превосходящих числа 20 и взаимно простых с этим числом 20?
6.* На плоскости даны окружность s и точка А на этой окружности. 
Что представляет собой множество середин хорд, высекаемых окруж-
ностью s на прямых, проходящих через точку А?

Глава 1. Множества

7. Сколько элементов имеет множество целых чисел, которые прина-
длежат промежутку:
а) [6; 8]; 
б) (–3; 4);  
в) (3; 4); 
г) (121; 221);
д) [–221; –121); 
е) (1,1; 3,3); 
ё) [–5,2; 6,7]; 
ж) (–5,2; 6,7)?

8. Даны два множества U и V. Определите, будет ли какое-нибудь из 
них подмножеством другого множества, если:
а) U — множество всех натуральных чётных чисел, V — множество 
всех целых чисел, кратных 4;
б) U — множество решений неравенства 1995х ≤ −1996, V — множест-
во решений неравенства −1996х ≥ 1995;
в) U — множество всех точек заданного треугольника ABC, лежащих 
вне описанной около него окружности, V — множество всех вершин это-
го треугольника;
г)** U — множество центров окружностей, касающихся двух сосед-
них сторон заданного ромба; V — множество точек диагоналей этого 
ромба;
д) U — множество центров окружностей, касающихся обеих сторон 
заданного угла α, V — множество точек биссектрисы угла α.
9. Сколько непустых подмножеств имеет множество, состоящее из 
5 элементов? 

Тесты
Тесты

Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
1.1. В каком случае указанные множества A и B равны?
1) A — множество всех цифр, делящихся на 3, B — множество 
{3, 6, 9}
2) A — множество всех цифр, B — множество всех цифр, на которые 
могут оканчиваться кубы натуральных чисел

3) A — множество всех решений неравенства 
1

x + 1 > 2, B — множе ство 
всех решений неравенства 1 > 2x + 2
4) A — множество всех решений неравенства x2 > 0, B — множество 
всех решений неравенства x > 0
1.2. Сколько элементов содержит множество всех простых чисел, 
меньших 30?
1) 9 
2) 10 
3) 11 
4)12

§ 2. Объединение и пересечение множеств

1.3. Сколько элементов входит в множество, состоящее из всех сторон 
и всех диагоналей правильного шестиугольника?
1) 15 
2) 20 
3) 25 
4) 30
1.4. В окружности с центром O провели диаметр AB, на котором пос-
тавили четвёртую точку C. Какое из множеств является подмножеством 
множества точек окружности?
1) {A, C} 
2) {A, O} 
3) {A, B} 
4) {A, B, C}

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
2.1. В каких случаях одно из множеств A и B является подмножест-
вом другого?
1) A — множество всех натуральных чисел, делящихся и на 2, и на 3, 
B — множество всех натуральных чисел, делящихся на 6
2) A — множество всех букв, участвующих в записи слова «барабан», 
B — множество всех букв, участвующих в записи слова «баран»

3) A — множество всех решений неравенства x2 – 1

x – 1  ≥ 0, B — множе-

ство всех решений неравенства x + 1 ≥ 0

4) A — множество всех дробей вида m

2n, где m, n — целые и n ≥ 0, B — 

множество всех десятичных дробей
2.2. Какие из числовых промежутков содержат число 1?

1) (1; √5  
2) √2 – 1; √5 –1

(

 
3) (–∞; √3 + √5

4
) 
4) √5 + 1

2
; ∞)

2.3. В каких случаях точки A, B, C плоскости обязательно лежат на 
одной прямой?
1) AC = AB + BC 
2) AC = AB – BC
3) AC = BC – AB 
4) AB + BC = AC + BC

2.4. В каких случаях окружность с центром O1 и радиусом R не пере-
секает окружность с центром O2 и радиусом r?
1) O1O2 = 2, R = 5, r = 4 
2) O1O2 = 3, R = 8, r = 4
3) O1O2 = 4, R = 11, r = 8 
4) O1O2 = 5, R = 7, r = 1

§ 2. ОБЪЕДИНЕНИЕ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ 
§ 2. ОБЪЕДИНЕНИЕ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ 

2.1. Объединение множеств. Объединением двух множеств А и В 
называется множество, образованное всеми элементами этих множеств. 
Объединение множеств обозначается с помощью знака ∪. Так, объединение 
множеств A и В можно записать в виде A ∪ В.

Глава 1. Множества

Пример 1. Точки А, В, С, D являются вершинами 
квадрата. Рассмотрим множество Р точек 
плоского треугольника ABC и множество Q точек 
плоского треугольника BCD. Тогда множество 
Р ∪ Q выглядит в виде плоского пятиугольника 
ABCDE (рис. 1).
Рассматривают также объединения трёх, че-
тырёх или любого конечного числа множеств. 
Например, если даны отрезки [0; 1], [1; 2], [2; 3] 
и интервал (2; 4), то объединением этих четырёх 
множеств является полуинтервал [0; 4). 
Вопрос. Из каких чисел состоит множество (1; 2) ∪ [2; 3)?

2.2.** Объединение совокупности множеств. Иногда рассматривают 
объединение бесконечной совокупности множеств, определяя это 
объединение как множество, состоящее из всех элементов множеств данной 
бесконечной совокупности. Например, объединение всех отрезков 

вида 1

n;  3 – 1

n , где п пробегает все натуральные числа, состоит из всех 

чисел всех этих отрезков и равно множеству (0; 3).

Вопрос. Как показать, что число 0 не принадлежит объединению от-

резков вида 
1

n + 1;  1

n , где п пробегает все натуральные числа?

2.3. Пересечение множеств. Пересечением множеств А и В назы-
вается множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно 
принадлежат как множеству А, так и множеству В. Пересечение мно-
жеств обозначается с помощью знака ∩. Так, пересечение множеств А и В 
можно записать в виде А ∩ В.
Иногда пересечение множеств называют общей частью этих мно-
жеств.

Пример 2. Пусть А — множество точек некоторой прямой а и B — 
множество точек отличной от неё прямой b, которая параллельна пря-
мой а. Тогда А ∩ В = ∅, так как две различные параллельные прямые не 
имеют общих точек.
Этот пример показывает, что пересечение двух непустых множеств 
может оказаться пустым множеством. Рассматривают также пересече-
ния трёх, четырёх или любого конечного числа множеств. Например, 
пересечением множества чётных чисел, множества натуральных чисел, 

A

B

D

C

E

Рис. 1