Физические основы измерений и эталоны

ФИЗИЧЕСКИЕ 

ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЙ 

И ЭТАЛОНЫ

А.А. АФАНАСЬЕВ
А.А. ПОГОНИН

Москва

ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано 

Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве 

учебного пособия для учебных заведений, реализующих 

программу среднего профессионального образования 

по укрупненной группе специальностей 

27.00.00 «Управление в технических системах» 

(протокол № 12 от 14.12.2020) 

УДК 53.08(075.32)
ББК 30.10я723
 
А94

Афанасьев А.А.

А94 
 
Физические основы измерений и эталоны : учебное пособие / 

А.А. Афанасьев, А.А. Погонин. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 246 с. — 
(Среднее профессиональное образование). 

ISBN 978-5-16-016982-8 (print)
ISBN 978-5-16-102727-1 (online)
В учебном пособии приведены элементы теории подобия и размерностей, 
даны представления о классических измерительных системах, 
элементах современной физической картины мира, стабильности фундаментальных 
физических постоянных. Рассмотрены соотношение неопределенностей 
Гейзенберга, принцип дополнительности, принципы 
создания современной эталонной базы на основе стабильности объектов 
микромира, сущность физических явлений и эффектов и физические 
основы измерительных преобразователей в машиностроении.

Для студентов учреждений среднего профессионального образования, 

обучающихся по УГС 27.00.00 «Управление в технических системах», так-
же будет полезно студентам машиностроительных специальностей.

УДК 53.08(075.32)

ББК 30.10я723

Р е ц е н з е н т ы:

Пастухов А.Г., доктор технических наук, профессор, заведующий 

кафедрой технической механики и конструирования машин Белго-
родского аграрного университета имени В.Я. Горина;

Пелипенко Н.А., доктор технических наук, профессор, профессор 

кафедры прикладной геологии и горного дела Белгородского государ-
ственного национального исследовательского университета, заслу-
женный изобретатель Российской Федерации

ISBN 978-5-16-016982-8 (print)
ISBN 978-5-16-102727-1 (online)

© Афанасьев А.А., 

Погонин А.А., 2021

Предисловие

Дисциплина «Физические основы измерений и эталоны» отно-
сится к циклу общепрофессиональных дисциплин, вводящих в круг 
образовательных дисциплин по стандартизации.
Вместе с тем углубленное изучение физических основ как теоре-
тической, так и прикладной метрологии может оказать неоценимую 
помощь при приобретении машиностроительных специальностей, 
особенно в настоящее время, когда возникает насущная проблема 
оценки производственных рисков, замены морально устаревшей 
материальной базы метрологического обеспечения производства 
и повышения точности измерений.
Цель изучения дисциплины: подготовка студентов к выпол-
нению обязанностей в области организационно-управленческой, 
производственно-технологической, научно-исследовательской и про-
ектной деятельности.
Задачи дисциплины: изучение закономерностей измерений, ме-
тодов теории подобия и размерностей, различных измерительных 
систем, элементов современной физической картины мира, проблем 
физико-технического обеспечения инженерных решений процедур 
измерений, физических принципов создания современной эта-
лонной базы с использованием различных физических явлений.
Наряду с использованием традиционных линейных и вибро-
акустических измерений, являющихся основой метрологической 
практики и методологии в машиностроении, современная при-
кладная метрология использует методы хронометрических и фа-
зохронометрических измерений, которые обладают практически 
неисчерпаемыми ресурсами точности. Наивысшая точность совре-
менных методов и средств измерений физических величин основы-
вается на достижениях квантовой физики и ее раздела — квантовой 
метрологии. Повышение точности измерений постепенно проис-
ходило по мере перехода от использования категорий макромира 
к характеристикам микромира, основными из которых являются 
частота и фаза колебаний его элементов (электронов, элементарных 
частиц и других образований).
Изучение отдельных разделов дисциплины основано на мате-
риале, излагаемом в курсах физики, высшей математики, химии.

В результате освоения дисциплины студент должен:
 
• знать физический смысл понятия «метрологическое обеспе-
чение»; физические основы методов измерений, контроля и ис-
пытаний;
 
• уметь ставить задачи при осуществлении измерительного экспе-
римента;
 
• владеть навыками подготовки к проведению метрологических 
измерений.

Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ 
И РАЗМЕРНОСТЕЙ

1.1. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

В истории развития естествознания известны различные виды 
подобия: геометрическое, физическое, математическое, хими-
ческое, биологическое, психофизиологическое, кинематическое, 
динамическое и др. Для теории и практики измерений физи-
ческих величин непреходящее значение имеет подобие явлений, 
процессов, состава и свойств. Достаточно отметить значение ана-
лиза физического подобия для возникновения метода планиро-
вания эксперимента и проведения сложных научных исследований 
в авиа строении, гидродинамике, термодинамике, электродина-
мике, ядерной энергетике, космонавтике.
Современные представления о физическом подобии базируются 
на принципе независимости закономерностей явлений и процессов 
от конкретной системы измерительных мер. На достаточно ко-
ротком отрезке времени развития истории науки и техники исполь-
зовались единицы (меры) физических величин (ФВ), входящих 
в такие системы мер, как СГС (основные единицы: сантиметр, 
грамм, секунда), МКГСС (основные единицы: метр, килограмм-
сила, секунда), МТС (основные единицы: метр, тонна, секунда), 
МКСА (основные единицы: метр, килограмм, секунда, ампер). 
С 1960 г. действует единая Международная система единиц — СИ, 
в которой основными единицами физических величин являются 
метр, килограмм (масса), секунда, ампер, градус Кельвина, моль 
(количество вещества) и кандела.
Модель явления, процесса, свойств представляет собой в той 
или иной степени схематизацию реальной картины. Прежде всего 
принимаются во внимание существенные черты, признаки моделируемого 
объекта. Второстепенные признаки, подробности, оттенки 
объекта, как правило, опускаются. Да и практически учесть 
все многообразие качественных и количественных сторон объекта 
даже при использовании современных быстродействующих электронно-
вычислительных машин не представляется возможным. 
Вследствие этого количественный анализ (измерения в том числе) 
всегда имеет дело не с реальным явлением, процессом, свойством, 

а с результатом более или менее высокого уровня схематизации. 
Физико-математическая модель физического процесса представляет 
собой математическое описание его динамических параметров 
и свойств среды во взаимной связи. Математическое описание 
может быть представлено в виде таблицы количественных показа-
телей свойств среды, зависящих от ее динамических параметров, 
или в виде системы уравнений, связывающих зависимые и незави-
симые переменные.
Единицы физических величин являются масштабами этих ве-
личин. Они воспроизводятся природными или искусственными 
эталонами. Между физическими величинами существуют зависи-
мости (связи), которые выражаются математическими соотноше-
ниями, формулами или уравнениями. Эти зависимости не явля-
ются случайными, частными, но отражают широкий круг явлений 
и процессов. В данном случае говорят, что зависимости или зако-
номерности имеют общий характер. Совокупность физических ве-
личин, связанных между собой зависимостями, называют системой 
величин.
Физические величины, входящие в систему и условно принятые 
в качестве независимых от других величин системы, называют 
основными величинами системы. В построении системы физи-
ческих величин основные величины являются первичными в от-
личие от производных величин, которые следует назвать вторич-
ными. Выбор основных величин является произвольным. При по-
строении различных систем были выбраны такие величины, как 
длина, масса, время, сила, сила электрического тока, термодина-
мическая температура, количество вещества, сила света. Каждой 
основной величине присваивается символ в виде буквы латинского 
или греческого алфавита. Этот символ называется обобщенной раз-
мерностью основной физической величины.
Для основных физических величин установлены следующие 
размерности: длина — L; масса — M; время — T; сила тока — I; 
термодинамическая температура — Θ; количество вещества — N; 
сила света — J.
Системы физических величин строятся на совокупности не-
скольких основных величин и обозначаются совокупностью их 
символов, которые показывают размерность выбранной системы. 
Система величин механики основывается на таких физических ве-
личинах, как длина, масса, время, и имеет обозначение (размер-
ность) LMT. Система величин механики обозначается LFT, если 
она основывается на основных величинах — длине, силе, времени. 
Объединенная система величин механики и электричества LMTI 

включает основные физические величины — длину, массу, время 
и силу тока. В качестве физической величины электричества могут 
быть использованы, кроме силы тока, электрический заряд, электрическое 
сопротивление, количество электричества и др. В данном 
случае наиболее удобной для использования оказалась сила тока. 
Система величин механики и теплотехники основывается на четырех 
основных величинах — длине, массе, времени, термодинамической 
температуре и обозначается LMTΘ.
Таким образом, систему физических величин составляет произвольно 
выбранная совокупность основных величин, на основе 
которых образуют другие необходимые для описания физических 
процессов величины, называемые производными. Для оценки числовых 
значений основных физических величин принимают меру 
(масштабный фактор), которую называют единицей измерения 
физических величин. Единицы измерения производных величин 
получают на основе их зависимостей от основных величин в виде 
уравнений связи. Различают уравнения связи между физическими 
величинами вообще (без учета единицы измерения) и уравнения 
связи между их числовыми значениями. Уравнения связи между 
числовыми значениями величин могут иметь различный вид из-за 
выбора той или иной единицы измерения. В таких уравнениях не-
редко появляются коэффициенты пропорциональности, значения 
которых могут быть связаны с единицами измерений.
Сказанное можно пояснить следующим примером. Уравнение 
связи между длиной и площадью устанавливается из подобия 
фигур. Площади подобных фигур пропорциональны квадратам 
значений их сходственных линий. Площади кругов, в частности, 
пропорциональны квадрату их радиусов или диаметров. При соот-
несении площадей подобных фигур имеют в виду уравнение связи: 
S1/S2 = L1
2/L2
2. Из этого выражения следует, что S1/L1
2 = S2/L2
2, т.е. от-
ношение значения площади фигуры к квадрату ее линейного раз-
мера является постоянной величиной. Обозначив ее через k, получим 
общее выражение для определения площади геометрической фигуры: 
S = k · L2, где k — коэффициент, зависящий от формы измеряемой 
фигуры и принятой единицы измерения.
Линейный размер и площадь являются физическими величи-
нами: линейный размер (длина, радиус, диаметр и др.) — основная 
физическая величина в системе LMT, площадь — производная. 
Единицу измерения площади можно определить на основе еди-
ницы измерения линейного размера. В системе СИ за единицу 
измерения линейной величины (размера) принят метр. Поэтому 
производная единица измерения площади будет равна k · м2. Для 

квадрата, прямоугольника при использовании в качестве еди-
ницы измерения площади квадратного метра k = 1, а для круга 
k = π/4. Но в качестве единицы измерения площади принципи-
ально мог бы быть принят круглый метр. В этом случае формулы 
для определения площадей геометрических фигур изменили бы 
свой вид, так как 1 м2 равен 4/π круглого метра. Например, пло-
щади некоторых геометрических фигур определялись бы по сле-
дующим формулам:

 
• равностороннего треугольника: Sкр = 
3
π L2;

 
• правильного шестиугольника: Sкр = 6 3
π
L2.

1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Использование различных систем физических величин ставит 
задачу перевода одних единиц этих величин в другие. Система фи-
зических величин включает также другие физические величины, 
определяемые через основные (первичные) с помощью формул 
или математических соотношений. Такие величины, как отмеча-
лось выше, называются производными. Число основных величин 
может быть любым. Однако опыт проведения научно-исследова-
тельских и вычислительных работ показал, что такое число целесо-
образно брать вполне определенным для выбранной системы. На-
пример, в число основных величин механической системы лучше 
всего включать три, в систему тепловых основных величин — че-
тыре, в систему основных величин молекулярной физики — пять, 
в систему основных величин для всех разделов физики — семь ве-
личин.
Изменение каждой из основных физических величин или ее 
единицы влечет изменение производной физической величины 
или ее единицы. Исследованием соотношений таких изменений 
занимался французский физик и математик Ж. Фурье (1768—1830). 
В своей монографии «Аналитическая теория тепла», вышедшей 
в 1822 г., он ввел термин «размерность». По его определению, если 
основная величина изменяется в n раз, а производная в np раз, то 
эта производная величина обладает размерностью p по отношению 
к соответствующей основной величине. Фурье впервые установил, 
что существуют определенные основные единицы измерения, от-
носительно которых каждая физическая величина имеет опреде-
ленные размерности, которые надо записывать как показатели сте-
пеней основных единиц измерения.

В системах единиц ФВ СИ (основных семь единиц) и СГС (ос-
новных три единицы) единицы длины, массы и времени являются 
основными. Поэтому если производная величина Х изменяется 
пропорционально LP (длине в степени Р), пропорционально M q 
(массе в степени q), пропорционально T r (времени в степени r), 
то величина Х обладает размерностью Р относительно длины 
(единицы длины), размерностью q относительно массы (единицы 
массы), размерностью r относительно времени (единицы времени). 
С использованием символов это запишется так:

 
[X] = dim X = LPM qT r,

где квадратные скобки, в которые заключен символ величины Х, 
означают, что речь идет о размерности единицы производной ве-
личины Х относительно единиц длины, массы, времени. Символы 
L, M и T представляют собой обобщенные величины (или обо-
бщенные единицы величин). Наряду с применением квадратных 
скобок употребляют обозначение dim X (dimension — размер, раз-
мерность).
Анализ размерностей широко используется в разных областях 
науки. Идеи, лежащие в основе анализа размерностей, достаточно 
просты и покоятся на физических законах (связях между физи-
ческими величинами), они не зависят от выбранной системы ос-
новных единиц измерения. Из этой идеи на основе логических 
рассуждений и применения простого математического аппарата 
следует важное следствие: функции, выражающие физические за-
кономерности, должны обладать некоторым фундаментальным 
свойством, которое в математике называется обобщенной одно-
родностью, или симметрией. Это свойство позволяет записать 
искомые закономерности в безразмерном виде, инвариантном от-
носительно выбора систем единиц измерения, с меньшим числом ар-
гументов (уже безразмерных) и тем самым упростить нахождение 
закономерностей.

1.3. РАЗМЕРНОСТИ 
ПРОИЗВОДНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Производные величины, как было указано выше, можно выра-
зить через основные. Для этого следует ввести два понятия: размер-
ность производной величины и определяющее уравнение.
Размерностью производной физической величины называют ее 
выражение через основные величины, при этом коэффициент про-
порциональности принят равным единице.

Определяющим уравнением производной величины называют 
формулу (математическую зависимость), с помощью которой фи-
зическая величина может быть выражена в явном виде через другие 
величины системы. Например, для скорости движения материаль-
ного объекта определяющим уравнением является зависимость 
V = S/t, где S — длина пути, пройденного объектом при равно-
мерном движении за время t. Чтобы найти размерность скорости, 
следует подставить в формулу вместо длины пути S и времени t их 
размерности (символы):

 
dim V = L/T = LT –1.

Определяющими уравнениями площади S и объема V являются 
следующие формулы:

 
S = a2; V = b3,

где a — длина стороны квадрата; b — длина ребра куба.
Если подставить вместо a и b размерность L, то определятся раз-
мерности площади и объема:

 
dim S = L2; dim V = L3.

Определяющие уравнения для ряда физических величин и раз-
мерность величин представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Определяющие уравнения для некоторых физических величин

Физическая 
величина
Определяющее 
уравнение
Размерность 
величины

Площадь
S = a2
L2

Объем
V = b3
L3

Скорость
V = S/t
LT –1

Момент инерции
J = mr2
L2M

Плотность
P = m/V
L–3M

Удельный объем
v = V/m
L3M –1

Ускорение
a = Δv/Δt
LT –2

Импульс тела
P = mν
LMT –1

Момент импульса
L = mvr
L2MT –1

Сила
F = ma
LM –2

Момент силы
M = Fr
L2MT –2

Давление
p = F/S
L–1MT –2