ФИЗИЧЕСКИЕ 
ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЙ 
И ЭТАЛОНЫ

А.А. АФАНАСЬЕВ
А.А. ПОГОНИН

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано 
Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве 
учебного пособия для учебных заведений, реализующих 
программу среднего профессионального образования 
по укрупненной группе специальностей 
27.00.00 «Управление в технических системах» 
(протокол № 12 от 14.12.2020) 

УДК 53.08(075.32)
ББК 30.10я723
 
А94

Афанасьев А.А.
А94 
 
Физические основы измерений и эталоны : учебное пособие / 
А.А. Афанасьев, А.А. Погонин. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 246 с. — 
(Среднее профессиональное образование). 

ISBN 978-5-16-016982-8 (print)
ISBN 978-5-16-102727-1 (online)
В учебном пособии приведены элементы теории подобия и размер-
ностей, даны представления о классических измерительных системах, 
элементах современной физической картины мира, стабильности фун-
даментальных физических постоянных. Рассмотрены соотношение не-
определенностей Гейзенберга, принцип дополнительности, принципы 
создания современной эталонной базы на основе стабильности объектов 
микромира, сущность физических явлений и эффектов и физические 
основы измерительных преобразователей в машиностроении.
Для студентов учреждений среднего профессионального образования, 
обучающихся по УГС 27.00.00 «Управление в технических системах», так-
же будет полезно студентам машиностроительных специальностей.

УДК 53.08(075.32)
ББК 30.10я723

Р е ц е н з е н т ы:
Пастухов А.Г., доктор технических наук, профессор, заведующий 
кафедрой технической механики и конструирования машин Белго-
родского аграрного университета имени В.Я. Горина;
Пелипенко Н.А., доктор технических наук, профессор, профессор 
кафедры прикладной геологии и горного дела Белгородского государ-
ственного национального исследовательского университета, заслу-
женный изобретатель Российской Федерации

ISBN 978-5-16-016982-8 (print)
ISBN 978-5-16-102727-1 (online)
© Афанасьев А.А., 
Погонин А.А., 2021

Предисловие

Дисциплина «Физические основы измерений и эталоны» отно-
сится к циклу общепрофессиональных дисциплин, вводящих в круг 
образовательных дисциплин по стандартизации.
Вместе с тем углубленное изучение физических основ как теоре-
тической, так и прикладной метрологии может оказать неоценимую 
помощь при приобретении машиностроительных специальностей, 
особенно в настоящее время, когда возникает насущная проблема 
оценки производственных рисков, замены морально устаревшей 
материальной базы метрологического обеспечения производства 
и повышения точности измерений.
Цель изучения дисциплины: подготовка студентов к выпол-
нению обязанностей в области организационно-управленческой, 
производственно-технологической, научно-исследовательской и про-
ектной деятельности.
Задачи дисциплины: изучение закономерностей измерений, ме-
тодов теории подобия и размерностей, различных измерительных 
систем, элементов современной физической картины мира, проблем 
физико-технического обеспечения инженерных решений процедур 
измерений, физических принципов создания современной эта-
лонной базы с использованием различных физических явлений.
Наряду с использованием традиционных линейных и вибро-
акустических измерений, являющихся основой метрологической 
практики и методологии в машиностроении, современная при-
кладная метрология использует методы хронометрических и фа-
зохронометрических измерений, которые обладают практически 
неисчерпаемыми ресурсами точности. Наивысшая точность совре-
менных методов и средств измерений физических величин основы-
вается на достижениях квантовой физики и ее раздела — квантовой 
метрологии. Повышение точности измерений постепенно проис-
ходило по мере перехода от использования категорий макромира 
к характеристикам микромира, основными из которых являются 
частота и фаза колебаний его элементов (электронов, элементарных 
частиц и других образований).
Изучение отдельных разделов дисциплины основано на мате-
риале, излагаемом в курсах физики, высшей математики, химии.

В результате освоения дисциплины студент должен:
 
• знать физический смысл понятия «метрологическое обеспе-
чение»; физические основы методов измерений, контроля и ис-
пытаний;
 
• уметь ставить задачи при осуществлении измерительного экспе-
римента;
 
• владеть навыками подготовки к проведению метрологических 
измерений.

Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ 
И РАЗМЕРНОСТЕЙ

1.1. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

В истории развития естествознания известны различные виды 
подобия: геометрическое, физическое, математическое, хими-
ческое, биологическое, психофизиологическое, кинематическое, 
динамическое и др. Для теории и практики измерений физи-
ческих величин непреходящее значение имеет подобие явлений, 
процессов, состава и свойств. Достаточно отметить значение ана-
лиза физического подобия для возникновения метода планиро-
вания эксперимента и проведения сложных научных исследований 
в авиа строении, гидродинамике, термодинамике, электродина-
мике, ядерной энергетике, космонавтике.
Современные представления о физическом подобии базируются 
на принципе независимости закономерностей явлений и процессов 
от конкретной системы измерительных мер. На достаточно ко-
ротком отрезке времени развития истории науки и техники исполь-
зовались единицы (меры) физических величин (ФВ), входящих 
в такие системы мер, как СГС (основные единицы: сантиметр, 
грамм, секунда), МКГСС (основные единицы: метр, килограмм-
сила, секунда), МТС (основные единицы: метр, тонна, секунда), 
МКСА (основные единицы: метр, килограмм, секунда, ампер). 
С 1960 г. действует единая Международная система единиц — СИ, 
в которой основными единицами физических величин являются 
метр, килограмм (масса), секунда, ампер, градус Кельвина, моль 
(количество вещества) и кандела.
Модель явления, процесса, свойств представляет собой в той 
или иной степени схематизацию реальной картины. Прежде всего 
принимаются во внимание существенные черты, признаки моде-
лируемого объекта. Второстепенные признаки, подробности, от-
тенки объекта, как правило, опускаются. Да и практически учесть 
все многообразие качественных и количественных сторон объекта 
даже при использовании современных быстродействующих элек-
тронно-вычислительных машин не представляется возможным. 
Вследствие этого количественный анализ (измерения в том числе) 
всегда имеет дело не с реальным явлением, процессом, свойством, 

а с результатом более или менее высокого уровня схематизации. 
Физико-математическая модель физического процесса представ-
ляет собой математическое описание его динамических параметров 
и свойств среды во взаимной связи. Математическое описание 
может быть представлено в виде таблицы количественных показа-
телей свойств среды, зависящих от ее динамических параметров, 
или в виде системы уравнений, связывающих зависимые и незави-
симые переменные.
Единицы физических величин являются масштабами этих ве-
личин. Они воспроизводятся природными или искусственными 
эталонами. Между физическими величинами существуют зависи-
мости (связи), которые выражаются математическими соотноше-
ниями, формулами или уравнениями. Эти зависимости не явля-
ются случайными, частными, но отражают широкий круг явлений 
и процессов. В данном случае говорят, что зависимости или зако-
номерности имеют общий характер. Совокупность физических ве-
личин, связанных между собой зависимостями, называют системой 
величин.
Физические величины, входящие в систему и условно принятые 
в качестве независимых от других величин системы, называют 
основными величинами системы. В построении системы физи-
ческих величин основные величины являются первичными в от-
личие от производных величин, которые следует назвать вторич-
ными. Выбор основных величин является произвольным. При по-
строении различных систем были выбраны такие величины, как 
длина, масса, время, сила, сила электрического тока, термодина-
мическая температура, количество вещества, сила света. Каждой 
основной величине присваивается символ в виде буквы латинского 
или греческого алфавита. Этот символ называется обобщенной раз-
мерностью основной физической величины.
Для основных физических величин установлены следующие 
размерности: длина — L; масса — M; время — T; сила тока — I; 
термодинамическая температура — Θ; количество вещества — N; 
сила света — J.
Системы физических величин строятся на совокупности не-
скольких основных величин и обозначаются совокупностью их 
символов, которые показывают размерность выбранной системы. 
Система величин механики основывается на таких физических ве-
личинах, как длина, масса, время, и имеет обозначение (размер-
ность) LMT. Система величин механики обозначается LFT, если 
она основывается на основных величинах — длине, силе, времени. 
Объединенная система величин механики и электричества LMTI 

включает основные физические величины — длину, массу, время 
и силу тока. В качестве физической величины электричества могут 
быть использованы, кроме силы тока, электрический заряд, элект-
рическое сопротивление, количество электричества и др. В данном 
случае наиболее удобной для использования оказалась сила тока. 
Система величин механики и теплотехники основывается на че-
тырех основных величинах — длине, массе, времени, термодина-
мической температуре и обозначается LMTΘ.
Таким образом, систему физических величин составляет про-
извольно выбранная совокупность основных величин, на основе 
которых образуют другие необходимые для описания физических 
процессов величины, называемые производными. Для оценки чи-
словых значений основных физических величин принимают меру 
(масштабный фактор), которую называют единицей измерения 
физических величин. Единицы измерения производных величин 
получают на основе их зависимостей от основных величин в виде 
уравнений связи. Различают уравнения связи между физическими 
величинами вообще (без учета единицы измерения) и уравнения 
связи между их числовыми значениями. Уравнения связи между 
числовыми значениями величин могут иметь различный вид из-за 
выбора той или иной единицы измерения. В таких уравнениях не-
редко появляются коэффициенты пропорциональности, значения 
которых могут быть связаны с единицами измерений.
Сказанное можно пояснить следующим примером. Уравнение 
связи между длиной и площадью устанавливается из подобия 
фигур. Площади подобных фигур пропорциональны квадратам 
значений их сходственных линий. Площади кругов, в частности, 
пропорциональны квадрату их радиусов или диаметров. При соот-
несении площадей подобных фигур имеют в виду уравнение связи: 
S1/S2 = L1
2/L2
2. Из этого выражения следует, что S1/L1
2 = S2/L2
2, т.е. от-
ношение значения площади фигуры к квадрату ее линейного раз-
мера является постоянной величиной. Обозначив ее через k, получим 
общее выражение для определения площади геометрической фигуры: 
S = k · L2, где k — коэффициент, зависящий от формы измеряемой 
фигуры и принятой единицы измерения.
Линейный размер и площадь являются физическими величи-
нами: линейный размер (длина, радиус, диаметр и др.) — основная 
физическая величина в системе LMT, площадь — производная. 
Единицу измерения площади можно определить на основе еди-
ницы измерения линейного размера. В системе СИ за единицу 
измерения линейной величины (размера) принят метр. Поэтому 
производная единица измерения площади будет равна k · м2. Для 

квадрата, прямоугольника при использовании в качестве еди-
ницы измерения площади квадратного метра k = 1, а для круга 
k = π/4. Но в качестве единицы измерения площади принципи-
ально мог бы быть принят круглый метр. В этом случае формулы 
для определения площадей геометрических фигур изменили бы 
свой вид, так как 1 м2 равен 4/π круглого метра. Например, пло-
щади некоторых геометрических фигур определялись бы по сле-
дующим формулам:

 
• равностороннего треугольника: Sкр = 
3
π L2;

 
• правильного шестиугольника: Sкр = 6 3
π
L2.

1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Использование различных систем физических величин ставит 
задачу перевода одних единиц этих величин в другие. Система фи-
зических величин включает также другие физические величины, 
определяемые через основные (первичные) с помощью формул 
или математических соотношений. Такие величины, как отмеча-
лось выше, называются производными. Число основных величин 
может быть любым. Однако опыт проведения научно-исследова-
тельских и вычислительных работ показал, что такое число целесо-
образно брать вполне определенным для выбранной системы. На-
пример, в число основных величин механической системы лучше 
всего включать три, в систему тепловых основных величин — че-
тыре, в систему основных величин молекулярной физики — пять, 
в систему основных величин для всех разделов физики — семь ве-
личин.
Изменение каждой из основных физических величин или ее 
единицы влечет изменение производной физической величины 
или ее единицы. Исследованием соотношений таких изменений 
занимался французский физик и математик Ж. Фурье (1768—1830). 
В своей монографии «Аналитическая теория тепла», вышедшей 
в 1822 г., он ввел термин «размерность». По его определению, если 
основная величина изменяется в n раз, а производная в np раз, то 
эта производная величина обладает размерностью p по отношению 
к соответствующей основной величине. Фурье впервые установил, 
что существуют определенные основные единицы измерения, от-
носительно которых каждая физическая величина имеет опреде-
ленные размерности, которые надо записывать как показатели сте-
пеней основных единиц измерения.

В системах единиц ФВ СИ (основных семь единиц) и СГС (ос-
новных три единицы) единицы длины, массы и времени являются 
основными. Поэтому если производная величина Х изменяется 
пропорционально LP (длине в степени Р), пропорционально M q 
(массе в степени q), пропорционально T r (времени в степени r), 
то величина Х обладает размерностью Р относительно длины 
(единицы длины), размерностью q относительно массы (единицы 
массы), размерностью r относительно времени (единицы времени). 
С использованием символов это запишется так:

 
[X] = dim X = LPM qT r,

где квадратные скобки, в которые заключен символ величины Х, 
означают, что речь идет о размерности единицы производной ве-
личины Х относительно единиц длины, массы, времени. Символы 
L, M и T представляют собой обобщенные величины (или обо-
бщенные единицы величин). Наряду с применением квадратных 
скобок употребляют обозначение dim X (dimension — размер, раз-
мерность).
Анализ размерностей широко используется в разных областях 
науки. Идеи, лежащие в основе анализа размерностей, достаточно 
просты и покоятся на физических законах (связях между физи-
ческими величинами), они не зависят от выбранной системы ос-
новных единиц измерения. Из этой идеи на основе логических 
рассуждений и применения простого математического аппарата 
следует важное следствие: функции, выражающие физические за-
кономерности, должны обладать некоторым фундаментальным 
свойством, которое в математике называется обобщенной одно-
родностью, или симметрией. Это свойство позволяет записать 
искомые закономерности в безразмерном виде, инвариантном от-
носительно выбора систем единиц измерения, с меньшим числом ар-
гументов (уже безразмерных) и тем самым упростить нахождение 
закономерностей.

1.3. РАЗМЕРНОСТИ 
ПРОИЗВОДНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Производные величины, как было указано выше, можно выра-
зить через основные. Для этого следует ввести два понятия: размер-
ность производной величины и определяющее уравнение.
Размерностью производной физической величины называют ее 
выражение через основные величины, при этом коэффициент про-
порциональности принят равным единице.

Определяющим уравнением производной величины называют 
формулу (математическую зависимость), с помощью которой фи-
зическая величина может быть выражена в явном виде через другие 
величины системы. Например, для скорости движения материаль-
ного объекта определяющим уравнением является зависимость 
V = S/t, где S — длина пути, пройденного объектом при равно-
мерном движении за время t. Чтобы найти размерность скорости, 
следует подставить в формулу вместо длины пути S и времени t их 
размерности (символы):

 
dim V = L/T = LT –1.

Определяющими уравнениями площади S и объема V являются 
следующие формулы:

 
S = a2; V = b3,

где a — длина стороны квадрата; b — длина ребра куба.
Если подставить вместо a и b размерность L, то определятся раз-
мерности площади и объема:

 
dim S = L2; dim V = L3.

Определяющие уравнения для ряда физических величин и раз-
мерность величин представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Определяющие уравнения для некоторых физических величин

Физическая 
величина
Определяющее 
уравнение
Размерность 
величины

Площадь
S = a2
L2

Объем
V = b3
L3

Скорость
V = S/t
LT –1

Момент инерции
J = mr2
L2M

Плотность
P = m/V
L–3M

Удельный объем
v = V/m
L3M –1

Ускорение
a = Δv/Δt
LT –2

Импульс тела
P = mν
LMT –1

Момент импульса
L = mvr
L2MT –1

Сила
F = ma
LM –2

Момент силы
M = Fr
L2MT –2

Давление
p = F/S
L–1MT –2