Сопротивление материалов: сборник задач с решениями

СОПРОТИВЛЕНИЕ 

МАТЕРИАЛОВ

СБОРНИК  ЗАДАЧ  С  РЕШЕНИЯМИ

УЧЕБНОЕ  ПОСОБИЕ

Москва
РИОР

ИНФРА-М

С.И. ЕВТУШЕНКО
Т.А. ДУКМАСОВА
Н.А. ВИЛЬБИЦКАЯ

Второе издание

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73
          Е27

Е27 
 

Сборник составлен профессором кафедры «Информационные системы, тех-
нологии и автоматизация строительства» НИУ Московский государственный 
строительный университет С.И. Евтушенко и сотрудниками кафедры «Сопро-
тивление материалов, строительная и прикладная механика» Южно-Россий-
ского государственного политехнического университета (НПИ) имени 
М.И. Платова доцентом Т.А. Дукмасовой и доцентом Н.А. Вильбицкой.

Р е ц е н з е н т ы :
Скибин Г.М. — профессор, д-р техн. наук, заведующий кафедрой «Промыш-
ленное, гражданское строительство, геотехника и фундаментостроение» Юж-
но-Российского государственного политехнического университета (НПИ) 
имени М.И. Платова;
Волосухин В.А. — профессор, д-р техн. наук, директор НИИ безопасности ги-
дротехнических сооружений»

Евтушенко С.И., Дукмасова Т.А., Вильбицкая Н.А.
Сопротивление материалов: Сборник задач с решениями : учебное 
пособие / C.И. Евтушенко, Т.А. Дукмасова, Н.А. Вильбицкая. — 
2-е изд. — Москва : РИОР : ИНФРА-М, 2022. — 344 с. + Доп. матери-
алы [Электронный ресурс]. — (Высшее образование: Бакалавриат). —
DOI: https://doi.org/10.12737/textbook_58dbbcc2cb9a9

ISBN 978-5-369-01659-6 (РИОР)
ISBN 978-5-16-012652-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102467-6 (ИНФРА-М, online)
Учебное пособие содержит необходимые теоретические сведения 
и подробное решение задач по основным темам сопротивления ма-
териалов. 
Предназначено для выработки навыков самостоятельного решения 
задач у студентов, изучающих курс сопротивления материалов.

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73

ISBN 978-5-369-01659-6 (РИОР)
ISBN 978-5-16-012652-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102467-6 (ИНФРА-М, online)

© Евтушенко С.И.,

Дукмасова Т.А.,
Вильбицкая Н.А.

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны 
в электронно-библиотечной системе ZNANIUM 
по адресу http://znanium.com.
Ссылку для доступа вы можете получить 
при сканировании QR-кода, размещенного на обложке

ВВЕДЕНИЕ 
 
Сопротивление материалов — наука о прочности, жесткости и 
устойчивости элементов сооружений и машин. Она учит будущих 
инженеров-бакалавров так рассчитывать машины и сооружения, 
чтобы они были прочны, надежны и экономичны. 
У студентов, изучающих курс «Сопротивление материалов», 
наибольшие трудности обычно возникают при решении задач. 
Настоящее пособие облегчит процесс изучения данного курса, по-
может овладеть методикой решения задач и получить необходимый 
навык в их решении. 
В учебное пособие включены основные положения теории, необ-
ходимые методические указания, примеры решения задач. 
Предусматривается, что студенты прежде всего должны ознако-
миться с теоретическими положениями, методическими указаниями 
и решениями примеров по рассматриваемому разделу. Это позволит 
им восстановить в памяти, лучше понять и освоить необходимые 
основы теории, осмыслить методику решения задач данного типа и 
приобрести сведения, достаточные для самостоятельного их реше-
ния. 
Пособие не предусматривает детального ознакомления со всеми 
типами задач и способами их решения.  
Цель пособия — оказать помощь студентам в освоении методов 
решения задач различной степени трудности. 
Получили известное развитие в сборнике такие разделы, как рас-
четы при растяжении (сжатии), сдвиге, кручении, изгибе, сложном 
сопротивлении, определение упругих перемещений статически 
определимых систем, расчет статически неопределимых рам мето-
дом сил, устойчивость сжатых стержней, динамическое действие 
нагрузок и др. При подборе материала авторы стремились распола-
гать задачи в порядке нарастающей трудности, ориентируясь на 
наиболее целесообразные для проведения практических занятий и 
при выполнении самостоятельной домашней работы студентов. Не-
которые задачи даны с расчетом использования их для контрольных 
и индивидуальных домашних заданий. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1 
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ–СЖАТИЕ 
 
1.1. Основные расчетные формулы 
и определения 
 
При центральном растяжении–сжатии внешние усилия приложе-
ны вдоль продольной оси стержня. При этом в поперечных сечениях 
стержня возникает только один внутренний силовой фактор — про-
дольная сила N , представляющая собой равнодействующую внут-
ренних нормальных сил, численно равную алгебраической сумме 
проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных по 
одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е. 
 
по одну

сторону
zi
N
F .
=

 

 
Принято продольную силу считать положительной, если она 
вызывает растяжение стержня, т.е. направлена от сечения, и отри-
цательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению. 
В тех случаях, когда продольная сила изменяется при переходе от 
одного сечения к другому, строят график изменения значения про-
дольной силы N  по длине стержня. Такой график называется эпю-
рой продольных сил. 
Внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади сечения, 
называется напряжением, выражается в паскалях (Па = Н/м2) или 
мегапаскалях (МПа = Н/мм2 = 106 Па). 
В поперечных сечениях стержня при центральном растяжении–
сжатии возникают только нормальные напряжения σ . 
Задача определения нормальных напряжений решается на основе 
гипотезы плоских сечений или гипотезы Я. Бернулли (поперечные 
сечения стержня, плоские и нормальные к оси бруса до деформации, 
остаются плоскими и нормальными к оси бруса и после деформации). 
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня опреде-
ляются по формуле 

N ,
A
σ =
 

 
где A — площадь поперечного сечения. 
Нормальные напряжения в разных поперечных сечениях могут 
изменяться в зависимости от величины продольных сил N  или из-за 
изменения площади поперечного сечения. 
В этом случае строят эпюру нормальных напряжений (эпюру σ ). 

Условия прочности при центральном растяжении–сжатии записываются 
в зависимости от метода расчета. 
По методу допускаемых напряжений: 
 

adm
N
,
A
σ =
≤ σ
 
 
где 
[ ]
adm
σ
= σ  — допускаемое нормальное напряжение, составляющее 
часть от предельного напряжения 
 

[ ]
[ ]

пред ,
n

σ
σ =
 
 
где [ ]
adm
n
n
=
 — допускаемый коэффициент запаса прочности. 
По методу предельных состояний 
 

N
R,
A
σ =
≤
 
 
где R  — расчетное сопротивление материала, равное 
 

н

м

R
R
.
= γ
 
 
Величина 
н
R  является нормативным сопротивлением, устанавливается 
СНиПом с учетом контроля и статистической изменчивости 
механических свойств материала. 
Коэффициент надежности по материалу 
м
1
γ
>  отражает статистическую 
изменчивость свойств материала и их отличие от 
свойств отдельно испытанных образцов. Например, для металла 

м
1 025
115
,
,
γ
=
…
; для бетона м
1 3
1 5
,
,
γ
=
…
. 
При центральном растяжении–сжатии нормальные напряжения 
σ  распределены равномерно по сечению. 
Материал конструкции работает упруго с соблюдением закона 
Гука: 

E
σ = ε
, 
 
где E  — модуль упругости материала (например, для стали Ст3 

(
)
5
2
2 1 10
E
,
=
…
МПа); 
l
l
Δ
ε =
 — относительная продольная дефор-

мация. 

Абсолютное удлинение стержня при растяжении–сжатии: 
– в общем случае для стержня длиной l  при произвольном законе 
изменения продольной силы 
z
N  и площади поперечного сечения A 
по длине стержня 

0

l
z
N dz
l
;
EA
Δ = 
 
 
– для одного участка стержня длиной l  при 
const
N =
 и 
const
EA =
 

Nl
l
;
EA
Δ =
 
 
– для n  участков при 
const
i
EA =
 и произвольном законе изме-
нения продольной силы 
zi
N
 по длине стержня 
 

1
1
0

i
i
l
n
n
N
i

i
i
i
i

N dz
l
;
EA
EA
=
=

Ω
Δ =
=



 
 
где 
i
N
Ω
 — площадь эпюры N  на i-м участке. 

При решении задачи о растяжении (сжатии) стержня с учетом 
собственного веса продольную силу, растягивающую стержень в 
сечении z , определяют по формуле 
 
( )
N z
F
A z,
=
+ γ ⋅
 
 
где γ  — объемный вес материала стержня; 
( )
A z
G z
γ ⋅
=
 — вес от-
сеченной части стержня. 
Нормальные напряжения в произвольном сечении  
 

( )
( )
N z
F
z
z.
A
A
σ
=
=
+ γ

 
 
Удлинение (укорочение) стержня с учетом собственного веса: 
 

1
2
F
G l
l
.
EA



+




Δ =
 

Можно запроектировать равнопрочный стержень переменного 
сечения. Нормальные напряжения во всех поперечных сечениях 
стержня одинаковы и равны допускаемому. 
Площадь поперечного сечения равнопрочного стержня (бруса 
равного сопротивления): 

( )
( )
[ ]
0

z

A z
A
e
,

γ
σ
=
⋅
 
 

где e  — основание натурального логарифма; 
( )
[ ]

0
F
A
= σ
 — пло-

щадь поперечного сечения бруса при
0
z =
. 
 
 
1.2. Решение задач 
 
Задачи 1–5. Определение продольных сил,  
нормальных напряжений и перемещений 
 
Задача 1. Для деревянного бруса, изображенного на рис. 1, а, тре-
буется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и 
определить перемещение сечения I–I, приняв F  = 10 кН, q  = 2 кН/м, 

а  = 2 м, b  = 3 м, А = 30 см2, 
4
1 10
E = ⋅
 МПа. 
 

3F

F

q

1
1

2
2

z1

z2

 ,
Эп N кН

16

16

10

14

а)
б)
,
Эп
MПа
σ

2,67

3,33

4,67
2,67

а
в

I
I

A

2A

 
Рис. 1 
 
 
Решение 
Стержень имеет два участка. 
Участок I: 
1
0
z
a
≤
≤
 (рис. 2, а) 

в) 

F

q

1
1

z

z1

N1

а)

 
 

z2

б)

3F

F

q

2
2

z

N2

а

 
Рис. 2 
 
Прикладываем в месте разреза положительную силу 
1
N  и запи-
сываем уравнение равновесия. 
 
0
z
;
=

 
1
1
0
F
qz
N
;
−
−
−
=
 

1
1
N
F
qz ,
= −
−
 
 
где 
1
qz  — равнодействующая равномерно распределенной нагрузки. 
 
0:
z =
 
1
10
N
F
= −
= −
 кН; 
2
z =
 м: 
1
10
2 2
14
N = −
− ⋅
= −
 кН. 
 
Участок II: 
(
)
2
a
z
a
b
≤
≤
+
 (рис. 2, б) 

 
0:
z =

 
2
3
0
F
q a
F
N
;
−
−
⋅
+
−
=
 

2
3
10
2 2
30
16
N
F
q a
F
= −
−
⋅
+
= −
− ⋅ +
=
 кН. 
 
На первом участке продольная сила изменяется по линейному за-
кону от минус 10 кН до минус 14 кН, на втором участке продольная 
сила постоянна, равная 16 кН. По этим данным строим эпюру про-
дольных сил (рис. 1, б). 
Находим нормальные напряжения на участках бруса. 
Участок I:  
 

(
)
3
1
1
4
1

1
1
10
2
10

30 10

z
N
F
qz
;
A
A

−

−
−
−
⋅
⋅
−
−
σ =
=
=
⋅
 

при 
0:
z =
  

3

4
1
10 10
3 33
30 10
,
−

−
−
⋅
σ =
= −
⋅
 МПа; 

 
при 
2
z =
 м: 
(
)
3

4
1
10
2 2
10
4 67
30 10
,

−

−
−
−
⋅
⋅
σ =
= −
⋅
 МПа. 

 
Участок II:  

3
2
4
2
2
16 10
2 67
60 10

N
,
A

−

−
⋅
σ =
=
=
⋅
 МПа. 

 
Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 1, в. 
Определяем перемещение сечения I–I. 
 

I-I
a
b
l
l ,
Δ
= Δ
+ Δ
 
 
где 
a
b
l , l
Δ
Δ
 — абсолютные деформации верхнего и нижнего участ-
ков стержня. 
Так как на каждом участке 
const
EA =
 деформации 
a
b
l , l
Δ
Δ
 оп-
ределяем по формулам: 
 

(
)
3
3
4
4
10
14
2 10
0 8 10
2 1 10
30 10

a
N
al
,
EA

−
−
−
Ω
−
+
⋅ ⋅
Δ
=
=
= −
⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
 м; 

 

3
3
4
4
16 3 10
0 8 10
2
1 10
60 10

b
N
bl
,
E
A

−
−
−
Ω
⋅ ⋅
Δ
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
 м. 

 
Тогда  
(
)
3
I-I
10
0 8
0 8
0
a
b
l
l
,
,
.
−
Δ
= Δ
+ Δ
=
−
+
=
 
 
Перемещение верхнего сечения не произошло. 
 
Задача 2. Для стального стержня, изображенного на рис. 3, а, 
требуется: 
1) построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и 
перемещений; 
2) проверить прочность стержня, приняв величины допускаемых 
напряжений равными: на растяжение: [ ]р
σ
 = 200 МПа; на сжатие: 

[ ]с
σ
 = –100 МПа. 

Решение 
Определим реакцию R . Составим уравнение равновесия: сумма 
проекций всех сил на ось z  должна быть равна нулю. 
 
0
z
;
=

 
120
40
100
0
R
;
+
−
−
=
 
20
R =
 кН. 
 
Разбиваем брус на три участка, проводим произвольные сечения 
на каждом участке, записываем уравнения равновесия для каждого 
участка, учитывая внешние нагрузки слева или справа от сечения. 
 
Участок I (рис. 3, б):  
 
0
z
;
=

 
1
40
0
N
;
−
−
=
 N1 = –40 кН (сжатие). 
 
 
Участок II (рис. 3, в):  
 
0
z
;
=

 
2
120
40
0
N
;
−
+
−
=
 
2
80
N =
 кН (растяжение). 
 
 
Участок III (рис. 3, г): 
0
z
;
=

 
3
0
R
N
;
+
=
 
3
20
N
R
= −
= −
 кН (сжатие). 
 
По результатам расчета строим эпюру продольных сил (рис. 3, д). 
Если реакция опоры R  не определена, то при построении эпюры 
продольных сил надо двигаться справа налево. 
Определим нормальные напряжения на участках стержня и про-
верим его прочность. 
 

3
1
4
1
40 10
80
5 10

N
A

−

−
⋅
σ =
= −
= −
⋅
 МПа 
100
> −
 МПа; 

 

3
2
4
2
80 10
160
5 10

N
A

−

−
⋅
σ =
=
=
⋅
 МПа 
200
<
 МПа; 

 

3
3
4
3
20 10
40
5 10

N
A

−

−
⋅
σ =
= −
= −
⋅
 МПа 
100
> −
 МПа. 

 
Эпюра нормальных напряжений приведена на рис. 3, е. Проч-
ность стержня обеспечена. Определяем деформации участков стержня 
и строим эпюру перемещений.