Сопротивление материалов: Сборник задач с решениями

В Ы С Ш Е Е  О Б Р А З О В А Н И Е
В Ы С Ш Е Е  О Б Р А З О В А Н И Е

У Ч Е Б Н О Е  П О С О Б И Е
У Ч Е Б Н О Е  П О С О Б И Е

С.И. Евтушенко, Т.А. Дукмасова, Н.А. Вильбицкая

СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ

СБОРНИК   ЗАДАЧ   С   РЕШЕНИЯМИ
Текст книги для чтения доступен 
также в электронно-библиотечной системе ZNANIUM по адресу:
www.znanium.com.
Для быстрого доступа воспользуйтесь QR-кодом с обложки книги.

Учебное пособие содержит необходимые теоретические сведения и подробное решение задач по 
основным темам сопротивления материалов. 
Предназначено для выработки у студентов, изучающих курс сопротивления материалов, навыков 
самостоятельного решения задач.

ISBN 978-5-369-01160-7

9 785369 011607

СОПРОТИВЛЕНИЕ 
МАТЕРИАЛОВ

СБОРНИК  ЗАДАЧ  С  РЕШЕНИЯМИ

УЧЕБНОЕ  ПОСОБИЕ

Москва
РИОР

ИНФРА-М

С.И. ЕВТУШЕНКО
Т.А. ДУКМАСОВА
Н.А. ВИЛЬБИЦКАЯ

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73
          Е27

А в т о р ы :
Евтушенко С.И. — профессор, д-р техн. наук;
Дукмасова Т.А. — доцент;
Вильбицкая Т.А. — доцент, канд. техн. наук

Р е ц е н з е н т ы :
зав. кафедрой «Промышленное, гражданское строительство, геотехника и фундаментостроение» Южно-Российского государственного
технического университета (Новочеркасского политехнического института), профессор, д-р техн. наук Г.М. Скибин;
зав. кафедрой «Строительная механика» ФГУ ВПО «Новочеркасская
государственная мелиоративная  академия», профессор, д-р техн. наук 
В.А. Волосухин

Евтушенко С.И., Дукмасова Т.А., Вильбицкая Н.А.

Е27
Сопротивление материалов: Сборник задач с решениями: Учеб. 
пособие. — М.: РИОР: ИНФРА-М, 2014. — 210 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-369-01160-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006439-0 (ИНФРА-М)

Учебное пособие содержит необходимые теоретические сведения 
и подробное решение задач по основным темам сопротивления материалов.
Предназначено для выработки у студентов, изучающих курс со
противления материалов, навыков самостоятельного решения задач.

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73

ISBN 978-5-369-01160-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006439-0 (ИНФРА-М)

© Евтушенко С.И.,
 Дукмасова Т.А.,
 Вильбицкая Н.А., 2014

Учебное издание

Евтушенко Сергей Иванович

Дукмасова Тамара Афанасьевна
Вильбицкая Наталья Анатольевна

СОПРОТИВЛЕНИЕ

МАТЕРИАЛОВ

СБОРНИК  ЗАДАЧ  С  РЕШЕНИЯМИ

Учебное пособие

По вопросам приобретения книг обращайтесь:

Отдел продаж «ИНФРАМ» (оптовая продажа):

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31в, стр. 1
Тел. (495) 3804260; факс (495) 3639212

Email: books@infram.ru

•

Отдел «Книга–почтой»:

тел. (495) 3634260 (доб. 232, 246)

Подписано в печать 23.08.2013.
Формат 60×88/16. Гарнитура Newton. 
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 12,86. Уч.-изд. л. 10,48.

Тираж 300 экз. Заказ №    

Цена свободная.

ТК 245500-12702-230813

ООО «Издательский Центр РИОР»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В.
info@rior.ru      www.rior.ru

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1.

Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43.

Факс: (495) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru     http://www.infra-m.ru

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Сопротивление материалов — наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов сооружений и машин, краеугольный камень инженерного образования. Она учит будущих инженеров так рассчитывать машины и сооружения, чтобы они были прочны, надежны и экономичны. 
У студентов, изучающих курс «Сопротивление материалов», наибольшие трудности обычно возникают при решении задач. Настоящее 
пособие облегчит процесс изучения данного курса, поможет овладеть 
методикой решения задач и получить необходимый навык в их решении. 
В учебное пособие включены основные положения теории, необходимые методические указания, примеры решения задач. 
Предполагается, что студенты прежде всего должны ознакомиться с 
теоретическими положениями, методическими указаниями и решениями примеров по рассматриваемому разделу. Это позволит им восстановить в памяти, лучше понять и усвоить необходимые основы теории, 
осмыслить методику решения задач данного типа и приобрести сведения, достаточные для самостоятельного их решения. 
Пособие не предусматривает детального ознакомления со всеми типами задач и способами их решения.  
Цель пособия — оказать помощь студентам в освоении методов решения задач различной степени трудности. 
Получили известное развитие в сборнике такие разделы, как расчеты при растяжении (сжатии), сдвиге, кручении, изгибе и др. При подборе материала авторы стремились располагать задачи в порядке нарастающей трудности, ориентируясь на наиболее целесообразные для 
проведения практических занятий и при выполнении самостоятельной 
домашней работы студентов. Некоторые задачи даны с расчетом использования их для контрольных и индивидуальных домашних заданий. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1 
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ–СЖАТИЕ 

1.1. Основные расчетные формулы и определения 

При центральном растяжении–сжатии внешние усилия приложены 
вдоль продольной оси стержня. При этом в поперечных сечениях 
стержня возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила N , представляющая собой равнодействующую внутренних нормальных сил, численно равную алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е. 
по одну

сторону
zi
N
F .


 

Принято продольную силу считать положительной, если она вызывает растяжение стержня, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, 
если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению. 
В тех случаях, когда продольная сила изменяется при переходе от 
одного сечения к другому, строят график изменения значения продольной силы N  по длине стержня. Такой график называется эпюрой продольных сил. 
Внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади сечения, называется напряжением, выражается в паскалях (Па = Н/м2) или мегапаскалях (МПа = 106 Па = Н/мм2). 
В поперечных сечениях стержня при центральном растяжении–
сжатии возникают только нормальные напряжения  . 
Задача определения нормальных напряжений решается на основе 
гипотезы плоских сечений или гипотезы Я. Бернулли (поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси бруса и после деформации). 
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня определяются 
по формуле 

N ,
A
 
 

где A — площадь поперечного сечения. 
Нормальные напряжения в разных поперечных сечениях могут изменяться в зависимости от величины продольных сил N  или из-за изменения площади поперечного сечения. В этом случае строят эпюру 
нормальных напряжений (эпюру  ). 
 

Условия прочности при центральном растяжении–сжатии записываются в зависимости от метода расчета. 
По методу допускаемых напряжений 

adm
N
,
A
 
 
 

где 
 
adm

   — допускаемое нормальное напряжение, составляющее часть от предельного напряжения 

 
 

пред ,
n



 
 

где  
adm
n
n

 — допускаемый коэффициент запаса прочности. 
По методу предельных состояний 

N
R,
A
 

 

где R  — расчетное сопротивление материала, равное 

н

м

R
R
.
 
 

Величина 
н
R  является нормативным сопротивлением, устанавливается СНиПом с учетом контроля и статистической изменчивости механических свойств материала. 
Коэффициент надежности по материалу м
1

  отражает статистическую изменчивость свойств материала и их отличие от свойств отдельно 
испытанных 
образцов. 
Например, 
для 
металла 

м
1 025
115
,
,


…
; для бетона м
1 3
1 5
,
,


…
. 
При центральном растяжении–сжатии нормальные напряжения   
распределены равномерно по сечению. 
Материал конструкции работает упруго с соблюдением закона Гука: 

E
  
, 
где E  — модуль упругости материала (например, для стали Ст3 



5
2
2 1 10
E
,

…
 МПа); 
l
l

 
 — относительная продольная дефор
мация. 
Абсолютное удлинение стержня при растяжении–сжатии: 
– в общем случае для стержня длиной l  при произвольном законе 
изменения продольной силы 
z
N  и площади поперечного сечения A  по 
длине стержня 

0

l
z
N dz
l
;
EA
  
 

– для одного участка стержня длиной l  при 
const
N 
 и 
const
EA 
 

Nl
l
;
EA
 
 

– для n  участков при 
const
i
EA 
 и произвольном законе изменения продольной силы 
zi
N
 по длине стержня 

1
1
0

i
i
l
n
n
N
i

i
i
i
i

N dz
l
;
EA
EA




 




 

где 
i
N

 — площадь эпюры N  на i-том участке. 

При решении задачи о растяжении (сжатии) стержня с учетом собственного веса продольную силу, растягивающую стержень в сечении 
z , определяют по формуле: 

 
N z
F
A z,

  
 

где   — объемный вес материала стержня; 
 
A z
G z
 

 — вес отсеченной части стержня. 
Нормальные напряжения в произвольном сечении  

 
 
N z
F
z
z.
A
A



 
 

Удлинение (укорочение) стержня с учетом собственного веса составляет 

1
2
F
G l
l
.
EA








 
 

Можно запроектировать равнопрочный стержень переменного сечения. Нормальные напряжения во всех поперечных сечениях стержня 
одинаковы и равны допускаемому. 
Площадь поперечного сечения равнопрочного стержня (бруса равного сопротивления): 

 
 
 
0

z

A z
A
e
,





 

где e  — основание натурального логарифма; 
 
 

0
F
A
 

 — площадь 

поперечного сечения бруса при
0
z 
. 

1.2. 1–5. ,
1. , . 1, , , I–I, F  = 10 , q  = 2 ,

= 2 , b  = 3 , = 30 2,
4
1 10
E .

 ,
,
. 1

.
I:
1
0
z
a
(. 2, )
1
N :

0
z
;
1
1
0
F
qz
N
;
1
1
N
F
qz ,
1
qz  — .

0:
z 1
10
N
F
;

2
z :
1
10
2 2
14
N .

II:
2
a
z
a
b
(. 2, )

0:
z 2
3
0
F
q a
F
N
;
2
3
10
2 2
30
16
N
F
q a
F
.

F

q

1
1

z

z1

N1

)

. 2

10 14 , , 16 . (. 1, ).
.
I:

3

1
1
4
1

1
1
10
2
10

30 10

z
N
F
qz
;
A
A

z = 0

3

4
1
10 10
3 33

30 10

,

;

z = 2 3

4
1
10
2 2
10
4 67

30 10

,

.

II:

3
2
4
2
2
16 10
2 67

60 10

N
,
A

.

. 1, .
I–I.

I-I
a
b
l
l ,
a
b
l , l
— .