О численном моделировании трехмерной конвекции


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МЕХАНИКА



2009. Вып. 4

УДК 532.517.4:536.25


© И. Б. Палымский




                О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ТРЕХМЕРНОЙ КОНВЕКЦИИ¹




Рассмотрена задача о трехмерной конвекции жидкости в прямоугольном параллелепипеде со свободными от касательных напряжений изотермическими горизонтальными границами, при подогреве снизу. Предложен специальный спектрально-разностный численный метод расчета, второго порядка аппроксимации по пространству и первого по времени. Проведенный линейный анализ предлагаемого численного метода показал, что численный метод правильно (с хорошим количественным соответствием в длинноволновой части спектра и с качественным — в коротковолновой) передает спектральные характеристики дифференциальной задачи при реальных значениях шагов по времени, пространству и надкритичности. В качестве тестов проведены расчеты двумерной валиковой и турбулентной конвекции Рэлея-Бенара для надкритичности, равной, соответственно, 2.2 и 950 при числе Прандтля, равном 10.

Ключевые слова: моделирование, гидродинамика, конвекция, теплоперенос, турбулентность, стохастич-ность.




                Введение




   Классическая задача о конвекции Рэлея-Бенара в различных постановках решалась многими авторами [1-14]. Из-за очевидной связи с прямым численным моделированием турбулентности наибольший интерес вызывают исследования при высокой надкритичности r = Ra/Racᵣ , где Ra и Racᵣ — число Рэлея и его критическое значение, a Pr — число Прандтля.
   При численном моделировании различают две постановки задачи о конвекции в бесконечном горизонтальном слое— со свободными (от напряжений) и жесткими (с условием прилипания) горизонтальными границами как правило, решение предполагается периодическим в горизонтальных направлениях или удовлетворяющим специальным граничным условиям. Обе постановки задачи часто приводят к решениям, которые различаются лишь количественно, а не качественно [15]. Этим и относительной простотой решения задачи о конвекции со свободными граничными условиями и объясняется интерес к этой постановке. Конвекция со свободными границами реализована в эксперименте [16].
   Основные трудности при численном моделировании конвекции при высокой надкритичности связаны r наличием быстрорастущих линейных возмущений; так, при r = 950 и Pr = 10 существуют возмущения, растущие в линейном приближении как exp (198 • t) , что накладывает серьезные ограничения на численные методы. Между тем, число Рейнольдса Re является относительно медленно растущей функцией надкритичности в конвекции Рэлея-Бенара и Re = 44 пр и r = 950 ( Pr = 10) [17].
   Конечно-разностные численные методы использовались в работах [4-9], причем в [4-6] представлены результаты расчетов при высокой надкритичности.
   В задаче о конвекции Рэлея-Бенара со свободными горизонтальными границами собственные функции задачи линейной устойчивости выражаются через синусы и косинусы [18], и это обусловливает высокую эффективность применения спектральных методов. В данной трехмерной задаче спектральные методы примерно на два порядка эффективнее конечно-разностных, причем эта порядковая оценка отношения количества точек дискретизации к числу гармоник относительно слабо зависит от конкретных реализаций (в том числе и от порядка аппроксимации) конечно-разностного и спектрального методов, так как для любого конечно-разностного

   Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (№07-01-96070).