Послекритические и докритические бифуркации бегущих волн модифицированного уравнения Гинзбурга-Ландау


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА



2009. Вып. 4

УДК 517.917

© А. Н. Куликов, Д. А. Куликов




                ПОСЛЕКРИТИЧЕСКИЕ И ДОКРИТИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИИ БЕГУЩИХ ВОЛН МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ ¹




Для обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау, содержащего как кубическую нелинейность, так и нелинейность более высокой степени, рассмотрена периодическая краевая задача. Показано, что для такого обобщения уравнения Гинзбурга-Ландау может быть реализован вариант докритической жесткой бифуркации двумерных инвариантных торов бегущих волн.

Ключевые слова: устойчивость, жесткая и мягкая бифуркации, инвариантные торы.




                Введение




   В работе будет рассмотрено уравнение

                    uₜ = u — ai(1 + ic₁)u|u|² — а₂(1 + ic₂)u|u|⁴ — ibuₓₓ,         (1)

где b > 0, а₁, а₂, c₁, c₂ Е R, а₂ > 0, u = u(t, x) = u₁(t, x) + iu₂(t, x) . Уравнение (1) будем рассматривать вместе с периодическими краевыми условиями

u(t, x + 2п) = u(t, x).                          (2)

   При a₂ = 0, О1 = 1 получаем слабодиссипативный вариант известного уравнения Гинзбурга-Ландау. Он возникает во многих задачах нелинейной оптики и гидродинамике [1,2]. Рассматривался и другой частный случай, О1 = 0, 02 = 1, как пример уравнения, у которого возможно появление решений с «обострением» [3]. Такие решения часто ассоциируют с «жесткой турбулентностью» [1,3,4].
   Более общий вариант (уравнение (1)) все чаще стал появляться в литературе (см., например, [4]), а также приведенную в этой статье обширную библиографию), который призван, быть может, на феноменологическом уровне моделировать нелинейные эффекты в ряде задач гидродинамики. В монографии [3] вопросы, связанные с возникновением «режимов с обострением», рассматривались на основании численного анализа. В данной работе эти вопросы изучены аналитически.
   Итак, рассмотрим краевую задачу (1), (2). Она должна быть дополнена начальными условиями

u(0, x) = f (x).                              (3)

Смешанная задача (1), (2), (3) локально корректно разрешима, если f (x) Е H.j > пространству Соболева периодических функций с периодом 2п , у которых существуют обобщенные производные до второго порядка включительно принадлежат Ь₂(—п, п) . Уместно, быть может, напомнить, что в силу теорем вложения f (x) Е C¹ — пространству непрерывно дифференцируемых функций, имеющих период 2п . Фазовым пространством решений (1), (2), (3) целесообразно выбрать Н% , и устойчивость решений далее будем понимать в смысле нормы этого пространства: если f(x) Е Н2, то

||f ||H₂² = ||f lll,2(-n,n) + ||f/||L2(-n,n) + ||f //||L2(-n,n).

   Работа выполнена в рамках тематики, поддержанной государственным контрактом №02.552.11.7068.