Об одном методе расчета порогов протекания квадратной и алмазной решеток в перколяционной задаче узлов


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА



2009. Вып. 4

УДК 531.19, 519.24

© С. Р. Галлямов, С. А. Мельчуков


            ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАСЧЁТА ПОРОГОВ ПРОТЕКАНИЯ КВАДРАТНОЙ И АЛМАЗНОЙ РЕШЕТОК В ПЕРКОЛЯЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ УЗЛОВ


Предложен метод расчета порога протекания xc бесконечной решетки в d -мерном пространстве на основе среднего значения величины xcl решеток малых размеров L. Условие применимости метода ограничило круг рассматриваемых 2d и 3d решеток в задаче узлов до квадратной и алмазной. Величины XcL для этих решеток рассчитывались на основе вектора начального состояния решетки и матрицы смежности графа, соответствующего решетке с долей узлов x = 1. Вычислены пороги протекания квадратной решетки xc = 0,592744 и решеткx алмаза xc = 0,430308 .

Ключевые слова: перколяция, решетка, порог протекания, задача узлов, граф.


            Введение


   Как известно большинство работ в теории перколяции по определению порогов протекания xc решеток связаны с компьютерным моделированием. Общего метода расчета xc не существует даже в пределах одной размерности пространства d. Для теории и практики интерес представляют 2d и 3d решетки в задаче узлов. В 2d пространстве задача узлов для решеток, представляющих наибольший интерес (треугольная, квадратная и шестиугольная), решена для треугольной (xc = 0,5 [1, 2]) и остается нерешенной для квадратной и шестиугольной решеток. В 3d пространстве в задаче узлов (впрочем, как и в задаче связей) неизвестно ни одного точного решения.
   В § 1 данной работы предложен метод и условие применимости этого метода для расчета xc бесконечной решетки в d пространстве на основе двух известных величин x,.L. и xcL₂, соответствующих двум размерам L1 < L2 малых решеток.
   Первоначально планировалось изучить наиболее «популярные» 2d и 3d решетки (квадратная и шестиугольная, простая кубическая, объёмно-центрированная кубическая, гранецентрированная кубическая x алмазная), xc которых определены в основном компьютерным моделированием. Введённое в работе приближённое условие применимости метода исключило дальнейшее изучение всех 3d решеток кроме решетки алмаза.
   В §2 представлен алгоритм вычисления xcL решеток при размерностях пространства d > 1, после применения, которого шестиугольная решетка была также исключена из дальнейшего рассмотрения — этим объясняется выбор решеток в названии работы. Величины xcL для этих решеток рассчитывались на основе вектора начального состояния решетки и матрицы смежности графа, соответствующего решетке, в которой все узлы проводящие, то есть при x = 1.
   § 3 и § 4 посвящены расчету порогов протекания алмазной и квадратной решеток на основе алгоритма § 2.


            § 1. Метод расчета порога протекания xc бесконечной решетки на основе решеток малых размеров. Применимость метода


   В [3] для определения порога протекания бесконечной решетки xc через среднее значение xcL конечной решетки предложено линейное приближение для трехмерных решеток:


xcL — xc + , , L

(1-1)


где B — константа.