Динамика заряженных частиц и интенсивных пучков в стационарных полях


Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




А.В. ИВАНОВ

ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ И ИНТЕНСИВНЫХ ПУЧКОВ В СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия








НОВОСИБИРСК
2011

УДК 537.8:621.384.6
     И 20

Рецензенты: Н.А. Винокуров, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры физики ускорителей НГУ, зав. лабораторией ИЯФ СО РАН;
Е.Б. Левичев, д-р физ.- мат. наук, проф., зам. директора ИЯФ СО РАН


     Иванов А.В.

И 20 Динамика заряженных частиц и интенсивных пучков в ста
      ционарных полях : учеб. пособие / А.В. Иванов. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011.-211 с.
         ISBN 978-5-7782-1635-8

          Предлагаемое учебное пособие по курсу «Электродинамика заряженных частиц», который автор читает студентам физико-технического факультета НГТУ, содержит- наиболее важные вопросы динамики заряженных частиц и интенсивных пучков в стационарных электромагнитных полях. В книге представлен необходимый математический аппарат, приведены основные уравнения электромагнитного поля, подробно рассмотрены аналитические и численные методы расчета электрических потенциалов и полей. Рассмотрено движение заряженных частиц в однородных и слабо неоднородных электрическом и магнитном полях, в полях с аксиальной симметрией. Построено матричное описание движения, рассмотрена динамика частиц в аксиально-симметричных электрических и магнитных линзах, в дуплетах и триплетах квадрупольных линз. Даны определения эмиттанса пучка и аксептанса канала, рассказано о проблемах построения огибающих потока и согласования потока с периодическим каналом. Описаны основные эффекты, возникающие из-за влияния пространственного заряда, в том числе образование виртуальных катодов. Рассмотрено начальное формирование электронных потоков электростатическим полем, описаны источники пучков заряженных частиц с плазменным эмиттером.
Предназначено для студентов ФТФ НГТУ третьего года обучения.


Работа подготовлена на кафедре ЭФУиУ






УДК 537.8:621.384.6

ISBN 978-5-7782-1635-8

                    ©Иванов А.В., 2011
© Новосибирский государственный

технический университет, 2011

        1. НЕОБХОДИМЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ



        1.1. Некоторые сведения из векторного анализа


   Если с каждой точкой области пространства, занимающей объем V и ограниченной поверхностью S, связать значение скалярной или векторной величины, то рассматриваемая часть пространства может быть названа полем этой величины. Поля могут быть стационарными или изменяться во времени.
   Пусть г есть радиус-вектор текущей точки поля, ф(г), ф(г), ... -скалярные, А(г), В(г), ... - векторные функции точки области. Вводятся следующие дифференциальные операции.
   Градиент скаляра:

     grad^^ )= lim —— cff^dS = lim —— <H( nₒ ф) dS = Vф , (1.1)
5 V>o' § v ii  § V>o' § v дд
§ S            § S


где § V - малый объем, содержащий точку г ; §S - замкнутая поверхность, окружающая § V; nₒ - единичный вектор внешней нормали к поверхности §S.
   Дивергенция вектора:


div А (г ) = lim —— cff( n₀ • А) dS = V- A .
V § ₈ ᵥ ^o § VilV °   ’
§ S


   Ротор вектора:

rot А (г )= lim—!— cff(nₒ x A) dS = Vx A .
1 § § V >oi § VilV o ⁷
§ S


(1.2)

(1.3)

3

   Последние выражения в вышеприведенных формулах дают запись операций через символический оператор набла V, который может быть представлен в независимом от системы координат виде:
V®(---) = lim — cff(n₀®—\dS ,
V 6 ₈ V >0> 6 V£ V ° ⁷
6 S


где ® надо заменить на знак соответствующей операции.
   Если ротор векторного поля равен нулю, то такое поле называют безвихревым. Если равна нулю дивергенция векторного поля, то такое поле называют соленоидальным. Справедливо следующее разложение Гельмгольца: если дивергенция и ротор векторного поля А определены в каждой точке конечной открытой области пространства V, то всюду в V поле А может быть представлено в виде суммы безвихревого и соленоидального полей:
А = А₁ + А ₂,

rot Aj = 0, div A₂ = 0.
   Любое соленоидальное векторное поле А (г) можно представить в виде ротора некоторого другого векторного поля В (г):
А = rot В.
   Поле В в этом случае называется векторным потенциалом поля А. Обратное также верно: если поле А есть ротор какого-либо другого поля, то А является соленоидальным.
   Векторное поле А (г) называют потенциальным, если существует такое скалярное поле ф( г), что
А = grad ф.
Если поле А - потенциальное, то
                      г2
JА• dl = ф(г2)-ф(ri).
                      г

4

   Отсюда, в частности, следует свойство консервативности потенциальных полей:
С А • d\. = 0.

   Необходимое условие потенциальности векторного поля - равенство нулю ротора поля (т.е. всякое потенциальное поле является безвихревым), однако это условие не достаточно. Безвихревое поле является потенциальным только тогда, когда рассматриваемая область пространства односвязная, т.е. когда любые два пути между двумя любыми точками области пространства могут быть непрерывно преобразованы друг в друга.
   В векторном анализе важную роль играет теорема Остроградско-го-Гаусса, связывающая поток вектора через замкнутую поверхность с интегралом от дивергенции вектора по ограниченному этой поверхностью объему:
c£f А • dS = (g(n₀ • А) dS = fff div А dV.    (1.4)
              S         S             V
   Еще одна важная теорема векторного анализа, которая будет использоваться далее, - теорема Стокса. Она связывает циркуляцию вектора по замкнутому контуру L с интегралом от ротора вектора, взятого по опирающейся на этот контур поверхности Е:
С А • dL =Д rotA • r/L.               (1.5)
                      L        Е
   Формулы (1.1)-(1.3) дают выражения дифференциальных операций первого порядка. Их повторное применение приводит к операциям второго порядка. Одну из них задает символический оператор Лапласа (лапласиан), представляющий собой скалярное произведение двух операторов набла:
А = V-V = V².
   Лапласиан скаляра играет важную роль в математике и физике. Он эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции:
Аф = div grad ф .

5

   Уравнение
Дф = О
называется уравнением Лапласа. Удовлетворяющие ему функции называются гармоническими.
Другие соотношения, которыми связаны операции второго порядка: rot grad ф = О, div rot А ^ О,
rot rot А = grad div А - ДА.
   Рассмотрим скалярное поле ф = 1/г . Градиент этого поля равен Уф = - г/г³ . Используя теорему Остроградского-Гаусса, вычислим интеграл от лапласиана поля по какому-либо объему V, окруженному замкнутой поверхностью S:
jjjV² - dV = JJJdiv grad- dV = ggrad- • dS = -g.
       V r V                r s r s r
   Стоящий справа интеграл определяет полный телесный угол, под которым из точки начала координат видна внутренность замкнутой поверхности S. Его величина равна 4л, если начало координат находится внутри этой поверхности, и нулю - если нет.
   Для математического описания подобных ситуаций П.А.М. Дираком была введена специальная функция 5(г) (делъта-функция), обладающая следующими свойствами:
   1)5(г) = О,если г ^ О;
   2) jjjf (г) 5(г) dV = f (О), если точка г = О принадлежит объему V.
      V
   С помощью дельта-функции находим
jjjv²-rdV=-⁴я jjj⁵(r)dV ■
                  V               V
откуда получаем равенство
Д¹ = -4л5(г).                     (1.6)

6

   Функция 1/г является, таким образом, гармонической в любой области, не содержащей начало координат. В силу своей простоты она называется фундаментальным решением уравнения Лапласа.
   Все приведенные выше соотношения полностью определяются заданием точки поля и не зависят от системы координат. Однако при решении конкретных задач сами точки поля удобно задавать через координаты какой-либо координатной системы, соответственно необходимо уметь записывать дифференциальные операции в различных системах координат.
   В декартовой системе координат положение точки определяется пересечением трех взаимно перпендикулярных плоскостей
х — const, у — const, z — const.


   Эти три координатные плоскости пересекаются по трем координатным прямым. При изменении положения точки на любой из этих прямых изменяется лишь одна из координат, две другие остаются неизменными.
   Определим новые переменные величины х₁, х₂, х₃ при помощи соотношений, позволяющих взаимно однозначно переходить от тройки чисел х , у, z к числам х₁, х₂, х₃ и наоборот:
X1 — Xi (х, у, Z) , X2 — X2 (х, у, Z) , X3 — X3 (X, у, Z) .


   Теперь положение точки можно задавать как пересечение трех координатных поверхностей Xj — const, j = 1, 2, 3. На линии пересечения двух координатных поверхностей - координатной линии - две координаты постоянны и положение точки определяется лишь третьей координатой. Единичные векторы, касательные к координатным линиям и направленные в сторону возрастания меняющейся координаты, называются ортами и обозначаются еᵢ, i = 1, 2, 3. Наибольшее распространение получили ортогональные системы координат, в которых еᵢ • еу - 0 при i Ф j и еᵢ • еу -1 при i - j . Локальная система координат в каждой точке является при этом декартовой.
   Определим, как при малом изменении значений криволинейных координат изменяется радиус-вектор точки. Рассматривая г ( х₁, х₂, х₃) как функцию нескольких переменных, находим

       ,   5г ,    5г ,      5г , ТТ . тт . тт .
дг —----дх1 ч----дх2 Ч----дх3 — Н1е1 дх1 + Н2е2дх2 + Н₃е3дх3,
           5х₁     5х ₂      5х₃

7

поскольку из приведенных выше определений следует, что дг/дx; || е;. Коэффициенты Н; (x₁, x₂, x₃) называются коэффициентами Ламе. В ортогональной системе координат квадрат длины смещения точки представляется как

dг ² = Н2 dxl + Н 2 dx \ + Н32 dx'3.


(1.7)

   Коэффициенты Ламе позволяют записывать дифференциальные операции в ортогональных системах координат:

div А (г) =

grad ф(г)=

ei дф ! е2 дф ₊ ез дф Нi дxi Н 2 дx2 Нз дx3 ’

1
Н1Н2 Нз

э д ,
( А2 Н1Н3 ) + “—( А3 Н1Н 2 ) дx3

у-( Ai Н2 Нз )+А дxi       дx 2

rotA (г) =

Нiei Н2е2 д / дx₁ д / дx₂ А1Н1 А2 Н2

Н3е3 д / дx₃ , А3 Н3

(1.8)

1
Нi Н2 Н3

А ф(г) =--ⁱ--V ⁷ НiН2Н3


д (Н₂Н₃   дф i ₊ д (Н₁Н₃ дф i ₊ д (Н₁Н₂ дф'
дxi ^ Нi  дxi J дx2 ^ Н2 дx 2 J дx3 ^ Н3 дx3 ?


(i.9)

   В дальнейшем часто будет использоваться цилиндрическая система координат, в которой точка задается числами (г, a, z). Коэффициенты Ламе этой системы Нг -1, Нₐ = г ,       -1. В декартовой системе
координат Нл - Ну - Н — 1.
   Пусть по области пространства, в которой определено скалярное поле ф, проходит кривая линия. Эту кривую можно описать при помощи естественной параметризации: г (s) — {x(s), у (s), z(s)j, где s -расстояние вдоль кривой, отсчитываемое от некоторой фиксированной

8

ее точки. При естественной параметризации орт s₀ , направленный вдоль касательной к кривой, выражается следующим образом:
dг    dx     dy    dz , , л
s0 - — - еx ~ + еy ~ + еz   s0 ⁻ 1                  ds    ds     ds    ds
Определим производную скалярного поля вдоль кривой:
dф       ф(s +Ss)⁻ф(s) бф dx бф dy бф dz            , ч
— - lim —----------— = —-— + —+ i-—-s₀ -Уф = (s₀ •У)ф.
ds бs^0      бs         бx ds бy ds бz ds

Производная векторного поля находится аналогично: dА /                              . .
—⁻(S0-V) А .
ds
   Пусть рассматриваемая кривая является траекторией частицы, летящей сквозь поле со скоростью v (s (t)). Вычислим, как быстро будет изменяться поле, действующее на частицу (т.е. на его полную производную по времени):
         d ф бф бф ds бф z , бф ,                          ...
         7Г⁻^Т ⁺ т4;⁻^Г ⁺ ( (s0-у)ф)’v ⁻^Т ⁺ (v-у)ф,     (¹⁻¹⁰)
         dt  б t бs dt б t               б t

dА dt

= — + (v-V)A, б t      ’

(1-11)

где учтено равенство v - s₀ - v . Первые слагаемые в этих выражениях называются временными, а вторые - конвективными членами.
   Более подробное изложение основ векторного анализа можно найти во многих учебниках, (например, в [1]).



        1.2. Основные уравнения электромагнитного поля

   Электромагнитное поле характеризуется четырьмя векторными величинами:
   Е - напряженность электрического поля [В/м];
   D - индукция электрического поля [Кл/м²];


9

   H - напряженность магнитного поля [А/м];
   В - индукция магнитного поля [Тл = В-с/м²].
   Векторы поля подчиняются уравнениям Максвелла
тт . 3D      „     ЗВ
rot H = i -I-, rot Е =---,
31           31

(1-12)

div D = p, div В = 0 .

(1-13)

Здесь p [Кл/м³] - плотность свободных зарядов; j [А/м²] - плотность тока проводимости. Кроме того, векторы поля связаны между собой и с вектором j материальными уравнениями, в которых учитываются индивидуальные свойства среды. В линейной изотропной среде эти уравнения принимают следующий вид:
D = s₀ s Е, В = p₀ p H, j = о Е,            (1.14)

где р₀ = 4л-10⁻⁷ Гн/м и s₀ = 10⁻⁹/36л ® 8,854-10⁻¹² Ф/м - магнитная и электрическая постоянные; pus- магнитная и диэлектрическая проницаемости среды; о [1/(0м-м)] - проводимость среды (для меди, например, о = 5,8-10⁷ 1/(0м-м)). Если параметры среды p, s, о не зависят от векторов поля, то имеет место весьма важный принцип суперпозиции: поле, образованное совместным действием нескольких источников, есть сумма полей, созданных каждым источником, действующим отдельно в тех же условиях.
    Далее везде рассматривается движение частиц в вакууме, при этом магнитная и диэлектрическая проницаемости равны единице.
    Для стационарных полей 3/31 = 0, и соотношения (1.12) и (1.13) представляются в виде
rotE = 0, div D = p,                  (1.15)

rot H = j, div В = 0.

(1.16)

   Из задачи нахождения стационарных электрического и магнитного полей можно отдельно выделить два важных частных случая - задачу нахождения электростатического поля неподвижных зарядов, которое полностью описывается выражениями (1.15), и задачу нахождения магнитного поля заданного постоянного тока, описываемого уравнениями (1.16).

10