Основы геометрической кристаллографии

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

 
 
 
 
 
 
 
К.Л. Новоселов 
 
 
 
 
 
 
 
ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ  
КРИСТАЛЛОГРАФИИ 
 
 
Рекомендовано в качестве учебного пособия  
Редакционно-издательским советом  
Томского политехнического университета 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Издательство 
Томского политехнического университета 
2015 

УДК 548.1(075.8) 
ББК  22.37я73   

Н76 

Новоселов К.Л. 

Н76  
Основы геометрической кристаллографии : учебное пособие / 

К.Л. Новоселов ; Томский политехнический университет. – Томск : 
Изд-во Томского политехнического университета, 2015. – 73 с. 
 
В пособии рассматриваются основные вопросы геометрической кристаллографии – внутреннее строение кристаллических тел и взаимосвязь его с внешней 
формой кристаллов, законы симметрии кристаллов, практические приёмы определения элементов симметрии. Теоретические разделы сопровождаются наглядными иллюстрациями и примерами реальных кристаллов минералов. Зарисовки 
простых форм сгруппированы по классам симметрии и сингониям. Приводятся 
примеры определения простых форм в комбинациях. Основные вопросы физикохимической кристаллографии включают возникновение и рост кристаллов в лабораторных и природных условиях, факторы, влияющие на форму кристаллов, и 
рассматриваются в контексте их связи с минералогией. 
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 
21.05.02 «Прикладная геология», и для студентов других геологических специальностей.  

УДК 548.1(075.8) 
ББК 22.37я73   

Рецензенты 

Кандидат геолого-минералогических наук 

заведующий сектором литологии  

лаборатории седиментологии ОАО «ТомскНИПИнефть» 

М.В. Шалдыбин  

Кандидат геолого-минералогических наук 

геолог 1 категории ОАО «Кузбассгипрошахт» 

А.В. Наставко  

 
© ФГАОУ ВО НИ ТПУ, 2015 
© Новоселов К.Л., 2015 
© Оформление. Издательство Томского  
политехнического университета, 2015 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ  ...................................................................................................  5 

1. АГРЕГАТНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА  ..........................................  6 

1.1. Аморфные тела  ..................................................................................  6 

1.2. Кристаллические тела и кристаллы  .................................................  6 
1.2.1. Пространственная решетка  ....................................................  6 
1.2.2. Определение кристалла. 
Связь внешней формы кристалла  
с его внутренним строением ...................................................  9 
1.2.3. Основные свойства кристаллов  ...........................................  10 

2. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ  .............................................................  11 

2.1. Элементы симметрии кристаллов  ..................................................  11 
2.1.1. Ось симметрии  .......................................................................  11 
2.1.2. Плоскость симметрии  ...........................................................  12 
2.1.3. Центр симметрии  ...................................................................  13 

3. КЛАССИФИКАЦИЯ КРИСТАЛЛОВ  ..................................................  15 

4. ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ  .......................................................................  16 

4.1. Номенклатура простых форм  .........................................................  19 

5. СИСТЕМЫ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ОСЕЙ  ...........................  20 

5.1. Закон целых чисел  ...........................................................................  22 

5.2. Символы граней  ...............................................................................  24 

6. СИСТЕМАТИКА КРИСТАЛЛОВ  ........................................................  25 

6.1. Кубическая сингония (4L3)  .............................................................  25 

6.2. Тетрагональная сингония (L4)  ........................................................  30 

6.3. Гексагональная сингония (L6)  ........................................................  32 

6.4. Тригональная сингония (L3)  ...........................................................  34 

6.5. Ромбическая сингония  ....................................................................  36 

6.6. Моноклинная сингония  ...................................................................  37 

6.7. Триклинная сингония  ......................................................................  38 

6.8. Порядок работы с моделями кристаллов  ......................................  38 

7. ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РОСТ КРИСТАЛЛОВ  ....................................  48 

7.1. Возникновение кристаллов  .............................................................  49 

7.2. Рост кристаллов  ...............................................................................  49 

7.3. Факторы, влияющие на форму кристаллов  ...................................  52 
7.3.1. Концентрационные потоки  ...................................................  52 
7.3.2. Концентрация и температура раствора  ...............................  53 
7.3.3. Примеси в растворе  ...............................................................  54 

8. ЗАКОН ПОСТОЯНСТВА ГРАННЫХ УГЛОВ  ...................................  55 

9. ФОРМЫ РЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛОВ  ................................................  57 

9.1. Сростки кристаллов  .........................................................................  59 

9.2. Двойники  ..........................................................................................  59 

9.3 Усложненные формы кристаллов  ...................................................  62 

9.4. Внутреннее строение кристаллов  ..................................................  65 

9.5. Включения в кристаллах  .................................................................  66 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ  ...........................................................................................  69 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ  ........................................................  70 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  ..........................................................................  72 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Цель предлагаемых методических материалов – помочь студенту 

в изучении основ кристаллографии, на знании которых базируются такие 
геологические дисциплины, как минералогия, петрография и геохимия. 
Отсутствие учебников по кристаллографии для бакалавров создает определенные трудности обучающимся при самостоятельном изучении отдельных разделов кристаллографии. В основу данного руководства положен многолетний опыт преподавания дисциплины на кафедре 
минералогии и петрографии ТПУ, методика которого была заложена 
профессором кафедры А.М. Кузьминым (1891−1980), внесшим большой 
вклад в развитие кристаллографии как науки. 

Кристаллография – наука о кристаллах. Кристаллом называется 

твердое тело, имеющее форму геометрически правильного многогранника. Элементы поверхности кристалла: грани (плоскости, ограничивающие кристалл), ребра (линии пересечения граней), вершины (точка 
пересечения ребер).  

Содержание кристаллографии определяется ее тесной связью с та
кими естественными науками, как химия, физика, математика, и включает следующие разделы: 
1. 
Геометрическая кристаллография – изучает внешнюю форму кристаллов и закономерности их внутреннего строения. 

2. 
Кристаллохимия – изучает связь между внутренним строением 
кристаллов и их химическим составом. 

3. 
Физико-химическая кристаллография – исследует закономерности 
образования и роста кристаллов. 

4. 
Физическая кристаллография (кристаллофизика) – занимается исследованием физических свойств кристаллов (механические, тепловые, электрические, магнитные, оптические). Оптические свойства кристаллов выделены в специальный раздел кристаллофизики, 
называемый кристаллооптикой. 
Наряду с указанными разделами, немаловажное значение имеет 

кристаллография как неразрывная часть минералогии – большинство 
минералов образуются в форме кристаллов, а для некоторых минералов 
облик кристаллов служит основным диагностическим признаком при 
макроскопическом определении. 

В данном руководстве рассматриваются вопросы, главным образом гео
метрической кристаллографии, знание которых составляет основу успешного 
изучения минералогии и петрографии. Кратко излагается теория возникновения и роста кристаллов, поскольку внешняя форма кристаллов несет большую 
информацию о физико-химических условиях среды кристаллизации. 

1. АГРЕГАТНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА 

В природе вещество находится в жидком, газообразном и твердом 

состояниях. Кристаллография изучает твердые тела. Среди твердых тел 
различают аморфные, кристаллические тела и кристаллы. 

1.1. Аморфные тела 

Аморфными называются твердые тела, в которых материальные 

частицы (атомы, ионы или молекулы) расположены беспорядочно. 
Примерами аморфных образований служат стекла, смолы, пластмассы, 
клей и др. Среди природных образований в земной коре в аморфном состоянии известны такие минералы, как опал SiO2·nH2O, хризоколла 
CuSiO3⋅nH2O и некоторые другие. Отличительное свойство аморфного 
тела – изотропность. Под изотропностью понимаются одинаковые свойства вещества (например, твердость, электро- и теплопроводность) 
в различных направлениях. Аморфное состояние неустойчиво, и со временем происходит раскристаллизация – переход вещества из аморфного 
состояния в кристаллическое. 

1.2. Кристаллические тела и кристаллы 

Принципиальное отличие кристаллических тел от аморфных за
ключается в упорядоченности расположения материальных частиц. Современная теория внутреннего строения кристаллов получила развитие 
еще в начале XIX века, когда Волластоном была предложена идея 
о строении кристаллов по закону пространственной решетки. В начале 
XX века работами немецкого физика М. Лауэ удалось экспериментально подтвердить закономерное расположение частиц в структуре кристаллов, а в 1947 году были получены фотографии, непосредственно 
показывающие строение кристаллов. 

В кристаллических телах материальные частицы закономерно ориен
тированы в пространстве и образуют кристаллическую структуру (рис. 1). 

В качестве модели внутреннего строения кристаллических тел при
нята пространственная (кристаллическая) решетка. 

1.2.1. Пространственная решетка 

Пространственная решетка представляет собой совокупность 

материальных частиц, расположенных в соответствующих точках 
бесконечного множества параллелепипедов, которые нацело выполняют пространство, будучи равными, параллельно ориентированными 
и смежными по целым граням (рис. 2). 

1 
2 

Рис. 1. Структура поваренной соли NaCl (1) и алмаза С (2) 

Рис. 2. Пространственная решетка 

Рис. 3. Ряд пространственной  

решетки:  

а – промежуток ряда 

В строении пространственной решетки выделены следующие эле
менты: 

• узлы – материальные частицы, расположенные в определенных 

точках пространственной решетки (вершины, центры параллелепипедов или их граней); 

• ряды – совокупность узлов, расположенных вдоль прямой и повто
ряющихся через равные промежутки (рис. 3); 

• плоская сетка – совокупность узлов, расположенных в одной плос
кости и находящихся в вершинах параллелограммов (рис. 4); каждая плоская сетка разбивается двумя сериями параллельных рядов 
(А0Аn и А0Вn) на систему равных и параллельно ориентированных 
параллелограммов (на рис. 4 соответствующий параллелограмм 
заштрихован), в частных случаях параллелограммы представлены 
ромбами, прямоугольниками и квадратами. 

• элементарная ячейка – элементарный параллелепипед, закономер
ная повторяемость которого образует пространственную решетку (рис. 5). 

Рис. 4. Плоская сетка 
Рис. 5. Элементарная ячейка:  

углы α, β, γ, промежутки ряда a, b, c –  

параметры элементарной ячейки 

Элементарная ячейка характеризуется следующими параметрами: 

углы (α, β, γ) между направлениями, принятыми за координатные оси 
(Х, Y, Z) и отрезки (a, b, c) – промежутки ряда. 

Значения углов α, β, γ и отрезков a, b, c определяют конфигурацию 

элементарной ячейки. Но эти значения не могут быть произвольными, 
они подчиняются определенным закономерностям расположения материальных частиц, и если параметры ячейки определяют тип пространственной решетки, то таких типов должно быть конкретное количество. 
В 1848 году французский кристаллограф О. Бравэ (1811–1863) математическими расчетами доказал, что существует всего 14 типов пространственных решеток (рис. 6). Расчеты строились на том принципе, что узлы 
пространственной решетки располагаются симметрично, в результате 
были вычислены 14 возможных конфигураций элементарных ячеек. 

На рис. 6 приведены элементарные ячейки 14 типов решеток Бравэ. 

Ячейки 1, 2, 3, 4, 12 называются примитивными (или пустыми), поскольку 
узлы расположены только в их вершинах, форма самих ячеек зависит 
от соотношения параметров a, b, c и углов α, β, γ. Данные параметры изменяются от варианта a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90° (триклинная решетка, рис. 6, 1) 
с последующими изменениями: a ≠ b ≠ c, β ≠ α = γ = 90° (моноклинная решетка, рис. 6, 2), a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90° (ромбическая решетка, рис. 6, 3), 
a = b ≠ c, α = β = γ = 90° (тетрагональная решетка, рис. 6, 4), a = b = c, 
α = β = γ = 90° (кубическая решетка, рис. 6, 12). Кроме пяти примитивных 
ячеек с узлами в вершинах, возможны варианты с сохранением симметрии, но с дополнительными узлами, например, в центре ячейки 
(рис. 6, 6, 11, 13). Такие ячейки называются объемно-центрированными. 
Если узлы располагаются в серединах всех граней ячейки (рис. 6, 7, 14), 
они носят название гранецентрированных. Ячейки 3 и 5 – базоцентрированные. Кроме 12 разобранных пространственных решеток имеются еще 
две (рис. 6, 8, 9) – ромбоэдрическая и гексагональная. 

Представителями кристаллических тел являются кристаллы, внутрен
няя структура которых построена по законам пространственной решетки. 

Рис. 6. Четырнадцать типов пространственных решеток 

1.2.2. Определение кристалла.  

Связь внешней формы кристалла с его внутренним строением 

Кристаллом называется твердое тело в форме геометрически 

правильного многогранника, в котором материальные частицы расположены закономерно в виде пространственной решетки. 

Геометрически правильная форма многогранника обусловлена эле
ментами ограничения кристалла – плоскими гранями, ребрами (линии пересечения граней), вершинами (точки пересечения ребер). Количество граней, 
ребер, вершин кристалла связано между собой формулой Эйлера–Декарта: 

Грани + Вершины = Ребра + 2. 

Между внутренним строением кристалла и его внешней формой 

существует вполне определенная связь: грани кристалла соответствуют 
плоским сеткам, ребра – рядам пространственной решетки, имеющим 
наибольшую ретикулярную плотность. Под ретикулярной плотностью 
понимается число узлов, приходящихся на единицу площади плоской 
сетки или единицу длины ряда пространственной решетки. 

1.2.3. Основные свойства кристаллов 

Закономерное внутреннее строение кристаллов в виде пространст
венной решетки обусловливает три важнейших их свойства: однородность, анизотропность, способность самоограняться. 

Под однородностью понимаются 

одинаковые свойства кристалла в параллельных направлениях (рис. 7). Анизотропность проявляется в различных 
свойствах кристалла в непараллельных 
направлениях (рис. 8). 

У природных кристаллов однород
ность обычно нарушается различными 
включениями или дефектами кристаллов. 
Свойство анизотропности кристаллов наблюдается постоянно. Одним из ярких 
примеров анизотропности служит минерал дистен Al2[SiO4]O, кристаллы которого имеют резко различную твердость по 
разным направлениям (рис. 9): острие иглы или лезвие ножа оставляют царапину 
вдоль удлинения кристалла (направление 
АВ), в перпендикулярном к нему направлении CD царапины не остается. Другой 
пример анизотропности – кристаллы слюды: кристалл легко расщепляется на отдельные пластинки по плоскостям, параллельным грани а (рис. 10), в поперечном 
направлении расщепить пластины слюды 
значительно сложнее. 
Следует заметить, отдельные свойства кристаллов могут быть изотропными. 
Таковыми, например, являются оптические, тепловые свойства у кристаллов кубической сингонии. 

Способность самоограняться за
ключается в том, что при благоприятных 
условиях роста кристалл образует форму 
правильного многогранника. 

Рис. 7. Одинаковые свойства 

кристалла в направлениях, 

параллельных АВ и ВС 

Рис. 8. Различные свойства 
кристалла в направлениях  

BD, BC и AB 

Рис. 9. Кристалл дистена 
с различной твердостью 
в направлениях АВ и CD 

Рис. 10. Кристалл слюды легко 
расщепляется в направлении, 

параллельном грани а 

2. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 

Слово «симметрия» в переводе с греческого языка означает со
размерность. Явление симметрии широко развито в царстве живой 
природы (лепестки и листья различных цветов и растений, крылья бабочек и птиц, наконец, человек). В неживой природе яркими представителями симметричных тел являются кристаллические многогранники, которые, по выражению величайшего русского кристаллографа 
Е.С. Федорова, «блещут своей симметрией». В отличие от симметричных тел живой природы, симметрия кристаллов обязана их внутренней 
структуре, в которой материальные частицы закономерно ориентированы. Внутренняя симметрия кристаллов, следовательно, проявляется 
на их внешней форме. 

Под симметрией кристаллов понимается закономерная повто
ряемость одинаковых граней, ребер и вершин относительно некоторых вспомогательных геометрических образов (прямая линия, плоскость, точка). Вспомогательные геометрические образы, с помощью 
которых обнаруживается симметрия кристалла, называются элементами симметрии. 

2.1. Элементы симметрии кристаллов 

К элементам симметрии кристалла относятся ось симметрии, плос
кость симметрии, центр симметрии. В современной кристаллографической литературе приняты следующие символы для их обозначения: ось 
симметрии – L, плоскость симметрии – Р, центр симметрии – С. 

2.1.1. Ось симметрии 

Осью симметрии (L) называется прямая линия, при повороте во
круг которой на 360° кристалл несколько раз совмещается со своим исходным положением. 

Угол, при повороте на который происходит совмещение кристалла 

с исходным положением, называется элементарным углом поворота. 
Он имеет вполне определенное значение: 180°, 120°, 90°, 60°. Следовательно, число повторений одинаковых элементов ограничения кристалла при вращении его на 360° может быть равным 2, 3, 4, 6. 

Число совмещений кристалла со своим исходным положением при 

вращении на 360° называется порядком оси симметрии. В кристалле 
возможны оси симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Порядок осей симметрии обозначается следующими символами: 
L2, L3, L4, L6. Количество осей одного и того же порядка указывается ко

эффициентом перед символом оси симметрии. Например, 3L4 – читается: три оси симметрии четвертого порядка. 

Таким образом, подчеркнем, в кристаллах оси симметрии пятого 

порядка и выше шестого не существуют. Оси первого порядка не отмечаются, так как они имеются в любом многограннике. Возможное количество осей симметрии одного и того же порядка следующее: L2 – 0, 
1, 2, 3, 4, 6; L3 – 0, 1, 4; L4 – 0, 1, 3; L6 – 0, 1. 

Оси симметрии могут выходить в центре граней, в середине ребер 

и в вершинах многогранных углов (рис. 11). 

1 
2 
3 

Рис. 11. Выход осей симметрии в кубе:  

3L4 – в центре противоположных граней (1); 4L3 – в противоположных  

вершинах трехгранных углов (2); 6L2 – в середине противоположных ребер (3) 

2.1.2. Плоскость симметрии 

Плоскостью симметрии (Р) называется такая плоскость, которая 

делит кристалл на две зеркально-равные части. Плоскость симметрии 
представляется как двухстороннее зеркало, в котором одна половина 
кристалла путем отражения совмещается со второй. 

Для того чтобы произвести отражение, необходимо из каждой точки 

грани, например из точки А и В (рис. 12), опустить на плоскость симметрии (Р) перпендикуляры (Аа, Вb) и продолжить эти перпендикуляры на 
равные расстояния. Таким образом, точка А совместится с точкой А1 и 
точка В – с точкой В1; отражение прямой АВ совместится с прямой А1В1. 
На рис. 13 изображена грань кристалла в виде прямоугольника ABCD, который рассечен плоскостями симметрии Р1 и Р2, проходящими параллельно его сторонам. Диагональ АС (рис. 14) делит прямоугольник на два равных треугольника, но не является плоскостью симметрии, т. к. 
треугольники АDС и АВС не имеют зеркального равенства. 

Плоскости симметрии проходят перпендикулярно к граням 

и ребрам (через их середины) и вдоль ребер. В кристаллах они могут