О разрешимости периодической краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.929

c
⃝ Е. И. Бравый

О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ1

Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения с монотонными операторами.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, краевые задачи, периодическая задача, функция Грина.

Введение

Условиям разрешимости периодической краевой задачи для различных видов функционально-дифференциальных уравнений за последние годы было посвящено значительное число работ [1–12]. В частности, для функционально-дифференциальных уравнений первого [1, 3],
второго [5], третьего [11] порядков получены неулучшаемые условия однозначной разрешимости. Для уравнения n -го порядка на основе результата работы [7] были получены условия
разрешимости в терминах максимумов некоторых многочленов. Для этих максимумов при дополнительных предположениях, доказанных только при n ⩽ 7, справедливы рекуррентные
соотношения. Оптимальность полученных условий была доказана также только для n ⩽ 7.
В данной работе для уравнений произвольного порядка n получены оптимальные условия разрешимости периодической задачи в терминах функции Грина вспомогательной краевой
задачи и доказано рекуррентное соотношение для констант, определяющих условия разрешимости. Отметим, что для широкого класса резонансных краевых задач, который включает в
себя периодические задачи, задачу Неймана для уравнения второго порядка и многие другие
задачи, справедливы аналогичные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости [13].
Используются следующие обозначения:
R = (−∞, +∞); C — пространство непрерывных функций x : [0, ω] → R, ω > 0, c нормой
∥ x∥C = max
t∈[0,ω] |x(t)| ; L — пространство суммируемых функций z : [0, ω] → R c нормой ∥ z∥L =
ω

0
|z(t)| dt ; Wn, n ⩾ 1 — пространство функций x : [0, ω] → R с абсолютно непрерывной

(n − 1) -й производной, ∥ x∥Wn =
n−1
i=0
|x(i)(0)| +
ω

0
|x(n)(t)| dt. Все равенства и неравенства с

функциями из L понимаются как равенства и неравенства почти всюду на [0, ω].
Линейный оператор T : C → L называют положительным, если T отображает каждую
неотрицательную функцию из C в почти всюду неотрицательную. Норма положительного

оператора T определяется равенством ∥ T∥ = ∥ T∥C→L =
ω

0
(T1)(s) ds.

Рассмотрим уравнение с отклоняющимся аргументом

x(n)(t) =

k
i=1
pi(t)x(gi(t)) + f(t),
t ∈ R,
(0.1)

где pi,
i = 1, . . . , k,
f : R → R — ω -периодические локально суммируемые функции,
gi : R → R,
i = 1, . . . , k — ω -периодические измеримые функции. Задача о нахождении

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 06–01–00744 и 07–01–96060).