Интегрируемый случай вращательного движения гиростата в гравитационном и магнитном полях Земли


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА



2009. Вып. 2

УДК 531.36

© А. А. Тихонов




                ИНТЕГРИРУЕМЫЙ СЛУЧАЙ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
                ГИРОСТАТА В ГРАВИТАЦИОННОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ ЗЕМЛИ




Рассматривается твердое тело-гиростат, движущееся по круговой кеплеровой околоземной орбите в плоскости геомагнитного экватора. Предполагается, что тело снабжено маховиком, обладает электростатическим зарядом и собственным магнитным моментом. Изучается вращательное движение гиростата относительно его центра масс под действием лоренцева и магнитного моментов. Показано, что при определенных предположениях о наличии некоторой динамической и электромагнитной симметрии гиростата решение задачи сводится к квадратурам путем построения четырех первых интегралов. Проведено исследование движения оси симметрии гиростата и дана его геометрическая интерпретация.

Ключевые слова: гиростат, вращательное движение, интегрируемый случай.





                Введение





   Объектом исследования является твердое тело-гиростат, движущееся по круговой кеплеровой околоземной орбите. Предполагается, что тело снабжено маховиком, обладает электростатическим зарядом и собственным магнитным моментом. Изучается вращательное движение

гиростата относительно его центра масс под действием лоренцева и магнитного моментов — соответственно Ml и Mм, обусловленных взаимодействием магнитного поля Земли (МПЗ) с зарядом гиростата и с его собственным магнитным моментом.

   Гравитационное поле Земли аппроксимируется ньютоновским центральным полем, а МПЗ — полем прямого центрального магнитного диполя [1] с магнитной индукцией B и магнитным моментом m = mmo, где mo — орт дипольного магнитного момента МПЗ, направленный по

оси суточного вращения Земли. Предполагается, что МПЗ однородно в части пространства, занимаемой гиростатом. Учитывается суточное вращение МПЗ вместе с Землей с угловой скоростью Ш'з = —Ш'зm₀. Орбита гиростата лежит в плоскости геомагнитного экватора.

   Предполагается, что эллипсоид инерции гиростата является сферой, а распределение заряда Q = la dV по объему V тела, характеризуемое плотностью а, обладает осевой симметри-Vv
ей. При этом центр масс C гиростата совпадает с центром заряда O, определяемым в общем случае [2] следующим радиус-вектором относительно центра масс: CO = Q-¹ / apdV, где р — v
радиус-вектор элемента dV относительно точки C. В дальнейшем для определенности счи
тается, что главные центральные оси инерции гиростата Cxyz (с ортами i, j, k) совпадают с соответствующими главными центральными осями заряда [3], причем ось электростатической симметрии гиростата совпадает с осью Cz, так, что для соответствующих элементов тензора заряда У = diag(a 1 ,a2,a3) (в осях Cxyz] выполняется равенство a 1 = a2, где

a 1

v

ax² dV,

a2 = I ay² dV, v

a3

az² dV.

v

Случай a 1 = a₂ охватывает широкий класс геометрических форм экранов электростатической защиты искусственных спутников Земли (ИСЗ), среди которых такая важная для практики форма, как цилиндрическая [4]. Согласно данным, приведенным в [4], для реальных ИСЗ емкость на единицу площади поверхности может оцениваться величиной c = 10⁻¹¹ Ф/м², а потенциал экрана электростатической защиты — величиной порядка U = 10⁶ В. Это означает, что при характерной площади поверхности экрана S = 100 м² заряд Q = cSU является весьма заметной величиной порядка 10⁻³ Кл.
   Собственный магнитный момент гиростата представим в виде суммы двух составляющих: постоянной (в системе Cxyz) составляющей Iₒ, направленной вдоль оси Cz, и составляющей наведенного магнитного момента Iн, обусловленного намагничиванием гиростата в МПЗ.