К постановке задач в динамике несвободного движения твердого тела и парадоксы Пэнлеве


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МЕХАНИКА



2009. Вып. 2

УДК 531.01

© Г. М. Розенблат




                К ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ В ДИНАМИКЕ НЕСВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ПАРАДОКСЫ ПЭНЛЕВЕ




В статье рассмотрены основные принципы постановок задач в механике твердого тела при наличии связей (с сухим трением и без). Основное внимание уделено предыстории начальных условий задачи, которая должна быть корректно определена таким образом, чтобы не требовалось введения дополнительных гипотез и допущений, выводящих исследование за рамки динамики твердого тела без ударов. Тогда динамика движения (и/или равновесия) твердых тел может быть описана однозначно и без каких-либо парадоксальных ситуаций (парадоксов Пэнлеве). Эта методика иллюстрируется на трех известных задачах механики: опирание твердого тела на одну точку при наличии сухого трения, движение стержня с ползунами в направляющих с сухим трением, опирание твердого тела на две точки с сухим трением («скамейка»).

Ключевые слова-, система со связями, сухое трение, парадоксы Пэнлеве

                                     «... Пэнлеве не прав, называя Кулоновы законы «logiquement inadmissibles» (логически недопустимыми), он однако, прав, утверждая, что эти законы в пределах механики твердого тела с чисто логической точки зрения нуждаются в дополнении».
Р. Мизес [1]




                § 1. Основные принципы




   Все системы материальных точек разделяются на два класса:
   а) системы свободных точек, взаимодействующих между собой и другими точками;
   б)   системы несвободных (связанных) точек, взаимодействующих между собой и другими точками (системы со связями).
   Для систем класса а) постановка задач динамики заключается в следующем: для произвольно заданных начальных условий при t = 0 (положений и скоростей точек) определить последующее движение, то есть положения и скорости точек при t > 0. Эта задача сводится к задаче Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и при «приемлемом» аналитическом описании сил взаимодействия имеет однозначное аналитическое решение. Здесь, однако, возможны затруднения, связанные с соударением точек (то есть совпадение координат каких-либо S (S ^ 2) точек). Эти затруднения снимаются соответствующими гипотезами и теоремами классической теории удара, которые, конечно, имеют ограниченную область применимости.
   Для систем класса б) затруднения появляются сразу и касаются они способа выбора начальных условий. Это вызвано тем, что связи в механике допускают двойственное толкование и определение. С одной стороны, они являются некоторыми функциональными зависимостями между координатами (и, возможно, временем и скоростями) точек. Это удобный формальноматематический метод, который приводит к понятию обобщенных координат и уравнениям Лагранжа (Гиббса-Аппеля и т.п. для неголономной механики).
   С другой стороны, по аксиоме связей последние реализуются соответствующими силами (силами реакций), которые призваны обеспечивать выполнение указанных функциональных зависимостей, и, кроме того, (и это самое важное!) эти силы реакций должны удовлетворять