Об одном классе почти периодических по Вейлю сечений многозначных отображений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.518.6

c
⃝ Л. И. Данилов

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВЕЙЛЮ
СЕЧЕНИЙ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 1

Рассмотрен класс почти периодических по Вейлю функций, для которых множество ε -почти периодов,
определяемых с помощью псевдометрики Вейля, относительно плотно при всех ε > 0. Для этого класса
функций при некоторых дополнительных ограничениях доказано существование почти периодических
сечений многозначных почти периодических отображений.

Ключевые слова: почти периодическая функция, сечение, многозначное отображение.

Введение

В [1, 2] в связи с исследованием почти периодических (п. п.) дифференциальных включений был поставлен вопрос о существовании п. п. по Вейлю и п. п. по Безиковичу сечений
многозначных отображений R ∋ t → F(t) ⊆ H с замкнутыми образами в банаховом пространстве H. Известно, что п. п. по Бору многозначные отображения могут не иметь п. п. по Бору
сечений [3, 4]. С другой стороны, у п. п. по Степанову многозначных отображений всегда существуют п. п. по Степанову сечения. Впервые это было доказано в [5] на основе результатов
Фришковского [6]. Другое доказательство, использующее равномерную аппроксимацию п. п.
по Степанову функций элементарными п. п. по Степанову функциями, приведено в [4]. В [7]
предложен также вариант доказательства, в котором используются «овыпукливание» задачи и
теорема Майкла. Существование п. п. по Вейлю и п. п. по Безиковичу сечений у многозначных
п. п. (соответственно по Вейлю и по Безиковичу) отображений было доказано в [8] и [9]. П. п. по
Степанову и п. п. по Вейлю сечения имеются также у многозначных отображений, которые являются носителями п. п. мерозначных функций (но сами могут не быть почти периодическими)
[10, 11]. В настоящей работе (при некоторых дополнительных ограничениях) дается положительный ответ на вопрос (см. [2]) о существовании п. п. по Вейлю сечений многозначных п. п.
по Вейлю отображений, когда рассматривается другой класс п. п. функций, определяемый не с
помощью замыкания в псевдометрике Вейля множества тригонометрических многочленов (или
множества п. п. по Степанову функций), а как класс функций, для которых ε -почти периоды
в псевдометрике Вейля для всех ε > 0 относительно плотны.
В § 1 приведены определения и некоторые утверждения о п. п. функциях, которые используются в дальнейшем. Большинство утверждений о п. п. функциях можно найти в [12, 13].
Многие свойства п. п. по Вейлю функций приведены также в [14]. Разные классы п. п. по Вейлю
функций и соотношения между ними подробно рассмотрены в [15]. Основным результатом
работы является теорема 2, сформулированная в § 1. Доказательство этой теоремы приведено
в § 4. В § 2 собраны вспомогательные результаты. В § 3 доказывается теорема 7 из § 2.

§ 1. Определения, обозначения и основное утверждение

Пусть (U, ρ) — полное метрическое пространство, meas — мера Лебега на R. Функция
f : R → U называется элементарной, если существуют точки xj ∈ U и попарно непересекающиеся измеримые по Лебегу множества Tj ⊆ R, j ∈ N, такие, что meas R \ j
Tj = 0 и

f(t) = xj при t ∈ Tj . Обозначим такую функцию через f(·) = F({xj}, {Tj}; ·). Для произвольных функций fj : R → U, j ∈ N, пусть F({fj}, {Tj}; ·) — функция, совпадающая с fj(·)

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09–01–00403).