Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

МАТЕМАТИКА

УДК 517.929

c
⃝ Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, П. М. Симонов

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ1

Предлагается обзор современного состояния теории функционально-дифференциальных уравнений,
разработанной участниками Пермского семинара. Приводятся примеры новых подходов к ряду классических задач.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, краевые задачи, вариационные задачи, асимптотическое поведение решений.

Введение

В течение последних трех десятилетий участниками Пермского семинара [1] разрабатывалась единая теория широкого обобщения дифференциального уравнения. Проведенные исследования установили тесную связь между многочисленными задачами, изучавшимися ранее вне
связи друг с другом, и позволили предложить более совершенные методы их решения.
В настоящей работе предлагается обзор общей теории и приводятся примеры новых подходов к ряду классических задач, иллюстрирующие эффективность разработанной теории.

§ 1. Уравнения в пространстве абсолютно непрерывных функций

Во второй половине минувшего века назрела необходимость в общем подходе к многочисленным классам уравнений относительно дифференцируемых функций — дифференциальным,
интегро-дифференциальным, с отклоняющимся аргументом и их многочисленным «гибридам».
В монографии [2] была предложена теория уравнения

˙x = Fx,
(1)

обобщающего обыкновенное дифференциальное. Оператор F здесь действует из банахова пространства ACn абсолютно непрерывных функций x : [a, b] → Rn в пространство Ln суммируемых z : [a, b] → Rn. Здесь и ниже Rn — пространство векторов α = col{α1, . . . , αn} с
действительными компонентами. Обобщение состоит в замене очень специфического «локального» оператора Немыцкого (Nz)(t) = f(t, x(t)) на общий оператор F : ACn → Ln.
Теория уравнения (1) применима к широким классам уравнений относительно дифференцируемых функций, в том числе к уравнениям с отклоняющимся аргументом. Следует подчеркнуть, что многочисленные исследования уравнений с отклоняющимся аргументом опирались на
концепцию [3, 4, 5], исходящую из специального определения понятия решения как непрерывного продолжения «начальной функции» в силу уравнения. Требование «непрерывной стыковки»
было естественным в случае запаздывающего аргумента и при изучении вопросов, связанных

1Николай Викторович Азбелев (1922–2006) начал свою самостоятельную научную деятельность в Ижевском
механическом институте в 1954 году. За 12 лет пребывания в Ижевске Николай Викторович создал научную
школу, объединённую под названием Ижевский математический семинар. На протяжении всей жизни Николай
Викторович периодически навещал Ижевск и оставался идейным вдохновителем этого семинара. Здесь мы
публикуем последнюю статью Николая Викторовича, написанную им в 2006 г. совместно со своими учениками.
— Главный редактор «Вестника» Е. Л. Тонков.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Пермского края (гранты 06–01–00744-а,
07–01–96060-р-урал-а), программы Рособразования (РНП.2.1.3.7803) и ЗАО «ПРОГНОЗ».