Детерминированные сигналы

Детерминированные 
сигналы

А. И. Приходько

Москва
Горячая линия - Телеком
2013

Рекомендовано УМО по образованию в области
телекоммуникаций в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по направлению
подготовки дипломированных специалистов
210400 – «Телекоммуникации»

УДК 621.39 (075.8) 
ББК 32.88 я73 
     П77 
 
Р е ц е н з е н т ы :  кафедра «Вычислительной техники и автоматизированных систем 
управления» Кубанского государственного технологического университета 
(зав. кафедрой доктор техн. наук, профессор В. И. Ключко); доктор техн. наук, 
профессор В. И. Лойко 

Приходько А. И. 
П77          Детерминированные сигналы. Учебное пособие для вузов. – 
М.:Горячая линия–Телеком, 2013. – 326 c.: ил. 
ISBN 978-5-9912-0262-6. 
Рассмотрены основные характеристики, методы описания и преобразования детерминированных сигналов во временно́й и в частотной области. 
Даны определение и краткая классификация сигналов, рассмотрены основные характеристики и методы геометрического представления сигналов. 
Рассмотрены вопросы спектрального анализа периодических и непериодических сигналов, свойства и методы вычисления преобразования Фурье. 
Приведены основные модели испытательных сигналов и их спектры, дано 
определение и рассмотрены методы описания линейных стационарных 
систем во временно́й или в частотной области. Рассмотрены энергетические частотные характеристики и различные методы оценки эффективной 
ширины спектра сигналов, а также их авто- и взаимокорреляционные характеристики. Рассмотрены процессы дискретизации непрерывных видеосигналов во времени, их квантования по уровню и кодирования квантованных сигналов. Даны понятия комплексного узкополосного сигнала и 
его комплексной огибающей, определено преобразование Гильберта во 
временно́й и в частотной области, рассмотрены аналитический сигнал и 
его основные свойства и вопросы квадратурной дискретизации узкополосных сигналов. Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров, представляющих самостоятельный интерес. 
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 210400 – «Телекоммуникации», будет полезно специалистам. 
ББК 32.88 я73 

Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 

Учебное издание 

Приходько Андрей Иванович 
Детерминированные сигналы 
Учебное пособие для вузов 

 Обложка художника  В. Г. Ситникова 
 
Подписано в печать 03.08.2012. Формат 60x88/16. Гарнитура Times New Roman.  
Тираж  500 экз. (1-й завод 100 экз.) Уч.-изд. л. 20,38. Изд. № 120262. 
ISBN 978-5-9912-0262-6                                                © А. И. Приходько, 2013    
                                                 © Издательство «Горячая линия–Телеком», 2013 

 

Предисловие 
 
 
В предлагаемом издании рассмотрены методы представления и описания детерминированных сигналов, показана связь соответствующего математического аппарата и инженерных задач. 
Учебное пособие включает шесть глав и приложение. 
В главе 1 «Основные характеристики сигналов» приведены 
определение и краткая классификация сигналов, рассмотрены основные характеристики и методы геометрического представления 
сигналов. 
В главе 2 «Спектральный анализ сигналов» рассмотрены 
вопросы спектрального анализа периодических и непериодических сигналов, свойства и методы вычисления преобразования 
Фурье. 
В главе 3 «Испытательные сигналы и линейные стационарные системы» приведены основные модели испытательных сигналов и их спектры, дано определение и рассмотрены методы 
описания линейных стационарных систем во временно́й или в частотной области. 
В главе 4 «Энергетические частотные и корреляционные характеристики сигналов» рассмотрены энергетические частотные 
характеристики и различные методы оценки эффективной ширины спектра сигналов, а также их авто- и взаимокорреляционные 
характеристики. 
В главе 5 «Аналого-цифровое преобразование непрерывных 
сигналов» обсуждены процессы дискретизации непрерывных видеосигналов во времени, их квантования по уровню и кодирования квантованных сигналов. 
В главе 6 «Узкополосные сигналы» введены понятия комплексного узкополосного сигнала и его комплексной огибающей, 
определено преобразование Гильберта во временно́й и в частотной области, рассмотрены аналитический сигнал и его основные 
свойства, обсуждены вопросы квадратурной дискретизации узкополосных сигналов. 

Предисловие 

В приложении представлены справочные формулы и таблицы с краткими сведениями по свойствам преобразования Фурье, 
испытательных сигналов и преобразования Гильберта. 
Приведено большое количество примеров, иллюстрирующих теоретический материал. Некоторая часть примеров предназначена также для того, чтобы ввести дополнительные понятия и 
определения. Для разграничения примеров и основного текста 
они завершаются символом ■. 
В книге принята единая система обозначений: функции 
времени обозначены строчными латинскими буквами, а их спектры – соответствующими прописными буквами. 
При подборе учебного материала использованы источники, 
указанные в списке литературы. 
 

 

Глава  1 
Основные характеристики сигналов 

Раздел формул 1 
 
1.1. Определение и классификация детерминированных 
сигналов 
 
Сигнал (лат. signum – знак) – это физический процесс, однозначно отображающий передаваемое сообщение. 
Детерминированный сигнал задается детерминированной 
(неслучайной) функцией времени ( )
u t , мгновенные значения которой являются неслучайными величинами. 
Сигнал как физический процесс всегда описывается действительной функцией времени ( )
u t . Поэтому в дальнейшем по 
умолчанию предполагается, что сигналы ( )
u t  – действительные. 
Случаи, когда для описания сигналов 
( )
u t  используется комплексное представление, будут оговариваться особо. 
Непрерывный (аналоговый) сигнал – это сигнал ( )
u t , который в произвольные моменты времени может принимать любые 
значения в некотором интервале. 
Дискретный сигнал – это сигнал ( )
u t , который в дискретные 
моменты времени может принимать конечное число значений на 
некотором интервале. 
Сигнал с интегрируемым квадратом (сигнал с ограниченной 
энергией, энергетический сигнал) – это сигнал ( )
u t , для которого 
выполняется соотношение 

 
2( )
u
t dt

¥

-¥

< ¥
ò
. 
(1.1) 

Импульсный сигнал – это сигнал с конечной энергией, существенно отличный от нуля в течение ограниченного интервала 
времени. 
Финитный сигнал – это сигнал 
( )
u t , имеющий конечную 
длительность. Он отличен от нуля только на ограниченном промежутке времени – длительности сигнала T. 

Гла в а  1 

Видеосигнал (сигнал звуковой частоты, низкочастотный 
сигнал) – это сигнал ( )
u t , основные спектральные составляющие 
которого сосредоточены вблизи нулевой частоты. Происхождение термина «видеосигнал» связано с тем, что впервые такие импульсы начали применяться для описания сигналов в телевидении. Применительно к системам электрической связи видеосигналы также называют первичными сигналами, используемыми в 
качестве модулирующих сигналов. 
На рис. 1.1, а представлен прямоугольный видеоимпульс 

 
0 при 0
,
( )
0
при 
0, 
,

U
t
T
u t
t
t
T

£ £
ì
= í
<
>
î
 
(1.2) 

где 
0
U , T – амплитуда и длительность импульса соответственно, 
являющийся примером дискретного финитного видеосигнала с 
ограниченной энергией. Часто вместо «несимметричного» прямоугольного импульса в теоретических исследованиях рассматривают прямоугольный «симметричный» импульс, являющийся 
четной функцией времени (рис. 1.1, б) 

 

0 при 
 
 
,

( )
0
при  

/ 2

/ .2

U
t
u t
t

T

T

ì
£
ï
= í
>
ïî
 
(1.3) 

Цифровой сигнал – это дискретный сигнал, представляющие параметры которого выражены в цифровой форме. На 
рис. 1.2 показаны цифровое сообщение и отвечающая ему последовательность прямоугольных импульсов (1.2). Здесь представ
 
 
а 
 
 
 
        б 
Рис. 1.1. Прямоугольные видеоимпульсы: 
а – несимметричный: б – симметричный 

0
U

0
t
T

( )
u t
( )
u t

0
U

0
/ 2
T
/ 2
T
t

Основные характеристики сигналов  
7 

 

ляющим параметром цифрового сигнала является амплитуда импульса: двоичному символу «1» соответствует наличие импульса, 
а символу «0» – его отсутствие. 

Техническая скорость передачи V  – это число элементов 
(символов) дискретного сообщения (сигнала), передаваемых в 
единицу времени. Поскольку (рис. 1.2) за время NT  передается 
N  символов, величина V  определяется выражением 

 
1
N
V
NT
T
=
=
. 
(1.4) 

Величину V  называют также скоростью модуляции (телеграфирования) или скоростью передачи символов и измеряют в бодах. 
1 Бод – это скорость, при которой за одну секунду передается 
один символ. 
Непрерывные сигналы также могут быть представлены в 
цифровой форме. Для этого они подвергаются аналого-цифровому преобразованию (АЦП), которое включает в себя дискретизацию во времени, квантование по уровню и кодирование получаемых отсчетов сигнала. 
На рис. 1.3 представлены графики энергетических сигналов, 
которые не являются финитными – экспоненциальный видеоимпульс (рис. 1.3, а) 

 
0
при 
0,
( )
0
при 
0

t
U e
t
u t
t

-a
ì
³
ï
= í
<
ïî
 
(1.5) 

и колоколообразный (колокольный, гауссовский) видеоимпульс 
(рис 1.3, б) 

Рис. 1.2. Последовательность из N прямоугольных 
импульсов 

( )
u t

0
U

t
0
T
2T
3T
4T
NT
(
1)
N
T
 . . . 

1
0
1
1
1

Гла в а  1 

2
(
)

0
( )
t
u t
U e- a
=
 при 
t
-¥ < < ¥, 
(1.6) 

где a  – положительный параметр, имеющий размерность, обратную размерности времени (штриховой линией на рис 1.3, б обозначены абсциссы и ордината точек перегиба функции). 

Эти сигналы имеют бесконечную длительность и поэтому 
могут быть реализованы лишь приближенно. 
Периодический сигнал 
0( )
u t  – это сигнал, повторяющийся 
во времени через некоторый период 
0
T  и при k = 0, 1, … удовлетворяющий условию 

 
0
0
0
( )
(
)
u t
u t
kT
=
±
. 
(1.7) 

Наиболее известным примером периодического сигнала является гармонический (монохроматический) сигнал (рис. 1.4, а) 

 
0
0
0
0
( )
cos(
)
u t
U
t
=
w
+ j
 при 
t
-¥ < < ¥, 
(1.8) 

где 
0
U , 
0
w , 
0
j  – амплитуда, круговая частота и начальная фаза 
соответственно. Круговая частота сигнала 
0
w  связана с циклической частотой 
0
0
1/
f
T
=
 соотношением 
0
0
2 f
w = p . Циклическая 
частота 
0f  – это число колебаний в единицу времени и имеет 
размерность 1/c = Гц. Следовательно, 
0
w  есть число колебаний за 
отрезок времени длительностью 2p секунд и имеет размерность 

 
 
 
а 
 
 
 
 
б 
Рис. 1.3. Видеоимпульсы, не являющиеся финитными: 
а – экспоненциальный; б – колоколообразный 

0
U

0
t

( )
u t

1/a

0
U

0
t

( )
u t

1

2a


0
U

e

1

2a

1/ a
1
2


a

1
2a

Основные характеристики сигналов  
9 

 

радиан в секунду. В свою очередь фаза 
0
j  измеряется в радианах 
(рад). 

Применяя формулу Эйлера (П.1), приведенную в приложении, сигнал (1.8) можно представить в комплексной показательной форме 

 

0
0

0
0
0

(
)
0
0

0
0

( )
Re

Re
Re
,

j
t

j
j
t
j
t

u t
U e

U e
e
U e

w
+j

j
w
w

é
ù
=
=
ë
û

é
ù
é
ù
=
=
ë
û
ë
û
&
 
(1.9) 

где 
1
j =
-  – мнимая единица; 
0
0
0

j
U
U e j
=
&
 –  комплексная амплитуда гармонического колебания. При этом комплексный гармонический сигнал 

 

0
0
0
(
)
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

( )

cos(
)
sin(
)
( )
( )

j
t
j
t
z t
U e
U e

U
t
jU
t
u t
ju t

w
w
+j
=
=
=

=
w
+ j
+
w
+ j
=
+

&
&

%

 (1.10) 

изображается на комплексной плоскости в виде вращающегося с 
частотой 
0
w  вектора (рис. 1.4, б). Здесь модуль вектора составля
ет 
0( )
z t
&
 = 
2
2

0
0
0
( )
( )
u
t
u
t
U
+
=
%
, а проекции на действительную и 
мнимую ось равны 
0
0
0
0
( )
cos(
)
u t
U
t
=
w
+ j
 и 
0
0
0
0
( )
sin(
)
u t
U
t
=
w
+ j
%
 
соответственно. Таким образом, при переходе от действительного 
гармонического сигнала к комплексной экспоненте исходный 

 
 
а 
 
 
 
 
б 
Рис. 1.4. Гармонический сигнал: а – временна́я 
диаграмма; б – комплексное представление 

0 ( )
u t

0
U

0
U

t
0

0 ( )
u t
%

Re
0
0 ( )
u t

Im

0
w

0
0
t
w
j
+

0( )
z t
&

0
w

0
0
t
w + j

Гла в а  1 

сигнал (1.8) дополняется мнимой частью 
0( )
u t
%
, смещенной по фазе на 
/ 2
-p
. 
Для представления периодического сигнала 
0( )
u t  импульсной структуры удобно использовать соотношение (рис. 1.5) 

 
0
0
( )
(
)

k

u t
u t
kT

¥

=-¥
=
å
, 
(1.11) 

где ( )
u t  – некоторый финитный сигнал длительностью 
0
T
T
£
, который иногда называют «представительным» сигналом последовательности. Величина 
0 /
q
T
T
=
 называется скважностью импульсной последовательности (1.11). У гармонического сигнала 
(1.8), очевидно, q = 1, а у сигнала, представленного на рис. 1.5, 
величина q примерно равна двум. В некоторых случаях используется величина, обратная скважности, называемая коэффициентом 
заполнения. 

Периодические сигналы имеют бесконечную длительность 
и, следовательно, нереализуемы. 
Радиосигнал (радиочастотный сигнал) – это сигнал ( )
u t , основные спектральные составляющие которого сосредоточены в 
области высоких частот (радиочастот). Применительно к системам связи радиосигналы также называют вторичными, или модулированными, сигналами. 
Простейшим примером радиочастотного сигнала длительностью T является прямоугольный радиоимпульс (рис. 1.6) 

 
0
0
0
cos(
) при 0
,
( )
0
при 
,
 ,

U
t
t
T
u t
t
T t
T

w
+ j
£ £
ì
= í
<
>
î
 
(1.12) 

0 ( )
u t

0
T
0
T
0
2T
0T
0
2T

( )
u t
0
(
)
u t
T
0
(
2
)
u t
T
0
(
)
u t
T
+
0
(
2
)
u t
T
+

t

Рис. 1.5. Периодический сигнал