Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2011, №73

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

1

УДК 51-71:541.13 
 
ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ 
ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ В 
ЭЛЕКТРОМЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ  
 
Узденова Аминат Магометовна 
аспирантка кафедры математического анализа 
Карачаево-Черкесского государственного 
университета, Карачаевск, Россия 
 
Коваленко Анна Владимировна 
к.э.н., доцент кафедры прикладной математики 
 
Уртенов Махамет Хусеевич 
д.ф.–м.н., профессор кафедры прикладной 
математики 
 
Никоненко Виктор Васильевич 
д.х.–м.н., профессор кафедры физической химии 
Кубанский государственный университет, 
Краснодар, Россия 
 
В статье анализируются возможные причины 
возникновения и развития электроконвекции в 
электромембранных системах. Выявлены основные 
закономерности возникновения и развития 
процесса электроконвекции в канале обессоливания 
электродиализного аппарата 
 
Ключевые слова: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИЯ, 
ЭЛЕКТРОДИАЛИЗНЫЙ АППАРАТ, 
ЭЛЕКТРОМЕМБРАННЫЕ СИСТЕМЫ 

UDC 51-71:541.13 
 
REASONS OF ELECTRO CONVECTION IN 
ELECTRO MEMBRANE SYSTEMS 
 
 
Uzdenova Aminat Machametovna 
Graduate of faculty of the mathematical analysis  
Karachaevo-Circassian state university, 
Karachaevsk, Russia 
 
Kovalenko Anna Vladimirovna 
Cand.Econ.Sci., assistant professor 
 
 
Urtenov Mahamet Khuseevich,  
Dr.Sci.Phys.-Math., professor 
 
Nikonenko Victor Vasilevich  
Dr.Sci.Сhem., professor 
Kuban State University, Krasnodar, Russia 
 
 
In the article, the reasons of occurrence and 
development of electro convection in electro 
membrane systems are analyzed. The basic rules of 
occurrence and development of process of electro 
convection in the channel desalination of  electro 
dialysis apparatus are revealed 
 
Keywords: MATHEMATICAL MODELING, 
ELECTRO CONVECTION, ELECTRO DIALYSIS 
APPARATUS, ELECTRO MEMBRANE 
SYSTEMS 
 

Данная 
статья 
посвящена 
теоретическому 
исследованию 

электроконвекции в электромембранных системах с использованием 

математического моделирования, а именно, анализируются возможные 

причины и основные закономерности возникновения и развития процесса 

электроконвекции в канале обессоливания электродиализного аппарата. 

 

1. Анализ возможных причин электроконвенкции 

 Имеется 
большое 
количество 
экспериментальных 
данных 
и 

теоретических 
соображений, 
позволяющих 
предположить, 
что 

сверхпредельный массоперенос в электромембранных системах связан с 

некоторым видом конвективного движения раствора, развивающегося в 

диффузионном слое. Были проведены эксперименты по обездвижению 

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

2

гелем 
диффузионного 
слоя, 
которые 
показали, 
что 
при 
этом 

сверхпредельный массоперенос исчезает.  

В ряде работ электроосмотическое скольжение была предложена как 

объяснение электроконвекция. Для электроосмотического скольжения у 

проводящей селективной границы авторы различают два разных режима.  

Теория 
электроосмоса 
первого 
рода 
или 
квазиравновесного 

электроосмоса у селективной границы была развита С.С. Духиным, Б.В. 

Дерягиным,  Н.А. Мищук [1, 5] и другими.  Существенной частью этой 

теории является учет поляризации двойного электрического слоя 

приложенным тангенциальным электрическим полем.  

Теория электроосмоса второго 
рода развита в 
работах 
И. 

Рубинштейна, Б. Зальцмана [4, 6-8] и др. В этих работах  предложена 

математическая 
модель 
электроконвекции, 
причем 
рассматривается 

раствор, заключенный между двумя мембранами, в условиях отсутствия 

вынужденной конвекции. Решаются уравнения Навье-Стокса совместно с 

уравнениями Нернста-Планка и условием электронейтральности. Для 

учета воздействия внешнего электрического поля на расширенный 

пространственный заряд, индуцируемый в обедненном растворе на 

границе с одной из мембран, используется специальное граничное условие 

(условие скольжения). 

Можно считать, что в работах С.С. Духина, Н.А. Мищук, И. 

Рубинштейна и Б. Зальцмана и др. [1, 4-8] заложены основы теории 

электроконвекции, 
однако 
в 
этих 
работах 
при 
математическом 

моделировании электроконвекции накладываются некоторые ограничения:  

1) Отсутствует вынужденная конвекция, т.е. рассматривается модель 

электроконвекции в непроточной ячейке; 

2) Уравнение Пуассона используется лишь для одномерного случая, 

а 
в 
двумерном 
случае 
вместо 
него 
используется 
условие 

электронейтральности в сочетании с условием скольжения на межфазной 

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

3

границе. Теоретический анализ устойчивости в этом случае дает большие 

погрешности;  

3) В качестве граничных условий для концентрации используется 

условия периодичности, поскольку канал предполагается бесконечным. 

Условия периодичности не позволяет учесть обессоливание раствора вниз 

по потоку; 

4) Для решения краевых задач используется метод конечных 

разностей, и при этом для нелинейного анализа устойчивости используется 

введение в разностные схемы периодических возмущений. Необходимо 

отметить, что ошибки неизбежные при численном решении, в принципе 

делают ненужным периодические возмущения, вносящие дополнительные 

искажения в решение. 

Ниже предлагается математическая модель электроконвекции в 

канале обессоливания электродиализного аппарата свободная от этих 

ограничений. 

 

2. Математическая модель электроконвекции, вызванной действием 

силы электрического поля на пространственный заряд  

Механизм возникновения электроконвекции в электромембранных 

системах является аналогичным «электрическому ветру» в газах и 

объясняется неоднородностью электрического поля, которая вызывает 

появление 
объемной 
электрической 
(кулоновской) 
силы 
вблизи 

поверхности мембраны с плотностью выражающей формулой: 

(
)E
C
z
C
z
f
2
2
1
1

r
r

+
=
.                                                                                (1) 

Эта электрическая сила воздействует на пространственный заряд, 

локализованный вблизи межфазной границы раствор/мембрана. Если при 

этом 
0
f
rot
=

r

, т.е. f

r

 потенциальное (безвихревое) векторное поле, то оно 

вызывает равномерное изменения давления, и, поэтому, вихревое 

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

4

движение в растворе не возникает. В этом можно убедиться, переходя в 

уравнениях Навье-Стокса к переменным «функция тока и вихрь». Поэтому 

предположим, что плотность электрической силы имеет ненулевой ротор, 

т.е. является непотенциальным (вихревым) векторным полем.  

В результате воздействия вихревой электрической силы возникает 

неравномерное избыточное давление, выталкивающее раствор. При своем 

движении 
выдавленная 
часть 
раствора 
встречает 
инерционное 

сопротивление 
невозмущенных 
слоев 
электролита 
и 
поверхности 

мембраны, что вызывает изменение направления движения жидкости, а 

именно удаление ее от поверхности мембраны, вследствие чего 

образуются вихри. Эти вихри облегчают доставку ионов соли к межфазной 

границе и частично разрушают диффузионный слой, что приводит к 

уменьшению величины электрической силы. 

Это, в свою очередь, вызывает уменьшение величины вихрей и, 

соответственно, влияния электроконвекции. Таким образом, нижняя 

граница возникновения электроконвекция по току из-за диссипации 

энергии должна быть больше предельного предельной плотности тока. 

Исходя из этих рассуждений, получаем, что необходимым условием 

возникновения электроконвекции является: 

 а) 
 Непотенциальность силы электрического поля, т.е. 
0
F
rot
≠

r

. 

Это может быть обусловлено как неоднородной структурой распределения 

пространственного 
заряда, 
так 
неоднородной 
электропроводностью 

поверхности мембраны. Наши расчеты для системы двумерных уравнений 

Нернста-Планка и Пуассона показывают, что сила электрического поля 

имеет вихревой характер. 

б) 
Наличием пространственного заряда, локализованного на 

некотором расстоянии от межфазной границы. Наши расчеты для системы 

двумерных уравнений Нернста-Планка и Пуассона показывают наличие 

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

5

пространственного заряда, локализованного на некотором расстоянии от 

межфазной границы. 

в) 
Величина электрической силы должна быть достаточно 

большой, чтобы преодолеть вязкое сопротивление раствора. Наши расчеты 

для 
системы 
двумерных 
уравнений 
Нернста-Планка 
и 
Пуассона 

показывают, что величина электрической силы является достаточно 

большой. 

г) 
Можно ожидать, что электроконвекция вызывает уменьшение 

эффективной толщины диффузионного слоя, что в свою очередь приводит 

к уменьшению величины электрической силы и соответственно влияние 

электроконвекции. Очевидно, что в отсутствие вынужденной конвекции и 

замкнутом канале для невязкой жидкости этот процесс может завершиться 

полным перемешиванием раствора и уничтожением диффузионного слоя. 

Однако для вязкой жидкости, тем более, в условиях вынужденной 

конвекции, влияние электроконвекции на течение раствора практически 

прекратится, как только ротор электрической силы станет достаточно 

малым, еще до того как будет "размыт" диффузионный слой, из-за 

диссипации 
энергии 
за 
счет 
вязкости. 
Следовательно, 
имеется 

возможность некоторого равновесия между электрической силой и 

порождаемой ею электроконвекцией.  

Для обоснования предложенного выше механизма возникновения 

электроконвекции, нами была разработана математическая модель 

нестационарного переноса бинарного электролита в камере обессоливания 

электродиализного 
аппарата, 
заключенной 
между 
гомогенными 

катионообменной и анионообменной мембранами. 

Пусть 
H  и 
L  – ширина и длина камеры обессоливания, 

соответственно, 
0
V  – средняя скорость прокачивания раствора, 
0
x =   

соответствует 
условной 
межфазной 
границе 
катионообменная 

мембрана/раствор, 
H
x =
 соответствует условной межфазной границе 

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

6

анионообменная мембрана/раствор, 
0
y =
 – входу, а 
L
y =
– выходу из 

камеры обессоливания. 

Для моделирования электроконвекции в данных условиях будем 

использовать связанную систему электродиффузионных уравнений [2] и 

уравнений Навье-Стокса [3] в приближении Буссинеска, с учетом 

пространственной силы. Векторная запись этой системы для бинарного 

электролита, в случае отсутствия химических реакций, имеет вид: 

2,1
i
,
V
C
C
grad
D
E
C
D
z
RT
F
j
i
i
i
i
i
i
i
=
+
−
=

r
r

 
                                 (2) 

2,1
i
,
j
div
t
C

i

i
=
−
=
v

∂
∂
  
                                                                (3) 

(
)
2
2
1
1
C
z
C
z
F
+
−
=
ϕ
∆
ε
                                            
  
   (4) 

(
)
2
2
1
1
j
z
j
z
F
I
r
r
r

+
=
 
 
            
                                 (5) 

f
1
V
P
1
V
)
V
(
t
V

0
0

r
r
r
r
r

ρ
∆
ν
ρ
+
+
∇
−
=
∇
+
∂
∂
, 
 
 
                       (6) 

0
)
V
div(
=

r

.  
 
 
 
                                                      (7) 

Здесь ∇  – градиент, ∆  – оператор Лапласа,  V

r

 – скорость течения 

раствора, 
0
ρ  – характерная плотность раствора, P  – давление, 
2
1 C
,
C
– 

концентрации катионов и анионов в растворе, соответственно, 
2
1 z
,
z
 – 

зарядовые числа катионов и анионов, 
2
1 D
,
D
 – коэффициенты диффузии 

катионов и анионов, соответственно, ϕ  – потенциал электрического поля, 

ε  – диэлектрическая проницаемость электролита, F  – постоянная 

Фарадея, R  – газовая постоянная, T  – абсолютная температура, t  – время,  

ν  – коэффициенты кинематической вязкости 
(
) ϕ
∇
+
−
=
2
2
1
1
C
z
C
z
F
f
r

 – 

плотность силы электрического поля. В данной задаче 
,
P  
,
V
r

,
ϕ
2
1 C
,
C
 – 

неизвестные функции, зависящие от времени t  и координат x , y . В 

системе (2)-(7) уравнения (2)-(5) описывают поля концентраций и 

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

7

потенциала, а уравнения Навье-Стокса (6), (7) − поле скоростей, 

формируемое под действием вынужденного течения и пространственной 

электрической силы в приближении Буссинеска.  

В этой работе мы будем рассматривать потенциостатический режим, 

которому соответствует условие: 

const
d
)
t,y
,
0
(
)
t,y
,
H
(
=
=
−
ϕ
ϕ
ϕ
, 
 
                                         (8) 

означающее, что величина падения потенциала в камере обессоливания 

постоянна.  

После ряда преобразований уравнения (2)-(7) запишутся в виде 

(
) ϕ
ρ
∆
ν
ρ
∇
+
−
+
∇
−
=
∇
+
∂
∂

2
2
1
1

0
0
C
z
C
z
F
1
V
P
1
V
)
V
(
t
V
r
r
r
r

,   
             (9) 

0
)
V
div(
=

r

,  
 
 
 
 
 
               
 
 (10) 

+
∇
−
∇
−
−
=
∂
∂
V
C
C
D
C
D
z
RT
F
div
t
C

1
1
1
1
1
1
1
r
ϕ
, 
 
 
           (11) 

+
∇
−
∇
−
−
=
∂
∂
V
C
C
D
C
D
z
RT
F
div
t
C

2
2
2
2
2
2
2
r
ϕ
, 
 
 
           (12) 

)
C
z
C
z
(
F

2
2
1
1
+
−
=
ε
ϕ
∆
.  
 
 
 
 
 
           (13) 

Наряду с условием (8) будем использовать следующие граничные 

условия: 

1) На поверхности катионобменной мембраны 
0
t
],
L
,0
[
y,0
x
≥
∈
=
 

будем 
считать 
граничную 
концентрацию 
катионов 
равной 

фиксированному заряду внутри мембраны: 

km
1
С
)
t,y
,
0
(
С
=
 
 
 
 
 
   
 
  
 
 (14) 

Кроме того, предположим катионообменную мембрану идеально 

селективной, т.е. непроницаемой для анионов:  

.0
)
t,y
,
0
(
x
C
z
RT
F
x
C

2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
 
 
 
 
  
 
 (15) 

Для скорости используем условие прилипания: 

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

8

.0
)
t,y
,
0
(
V
,
0
)
t,y
,
0
(
V
y
x
=
=
 
 
 
 
 
  
 
 (16) 

2) На поверхности анионобменной мембраны 
0
t
],
L
,0
[
y,
H
x
≥
∈
=
 

будем считать граничную концентрацию анионов равной фиксированному 

заряду внутри мембраны: 

am
2
С
)
t,y
,
H
(
С
=
  
 
 
 
   
 
 
 
 (17) 

Кроме того, предположим анионообменную мембрану идеально 

селективной, то есть непроницаемой для катионов:  

.0
)
t,y
,
H
(
x
C
z
RT
F
x
C

1
1
1
=
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
 
 
               
 
 
 (18) 

Для скорости используем условие прилипания: 

.0
)
t,y
,
H
(
V
,
0
)
t,y
,
H
(
V
y
x
=
=
  
 
 
 
  
 
 (19) 

3) На входе в рассматриваемую область 
0
t
],
H
,0
[
x,0
y
≥
∈
=
 будем 

считать, что скорость течения раствора имеет форму параболы Пуазейля: 

.
H
x
1
H
x
6
V
)
t,
0,x
(
V
,
0
)
t,
0,x
(
V

,
H
x
1
d
)
t,
0,x
(

,2,1
i
,
C
)
t,
0,x
(
C

0
y
x

0
i

−
=
=

−
=

=
=

ϕ
ϕ
 
 
  
 
 (20) 

Для 
потенциала 
используется 
и 
альтернативное 
условие 

0
y
)
t,
0,x
(
=
∂

∂ϕ
. 

4) На выходе из рассматриваемой области 
0
t
],
H
,0
[
x,
L
y
≥
∈
=
 будем 

использовать «мягкие» условия на концентрации и потенциал: 

.
H
x
1
H
x
6
V
)
t,
L
,x
(
V
,
0
)
t,
L
,x
(
V

,
0
y
)
t,
L
,x
(

,
2,1
i,
0
y
)
t,
L
,x
(
C

0
y
x

i

−
=
=

=
∂
∂

=
=
∂

∂

ϕ
  
 
 
           (21) 

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

9

5) Начальные условия при 
0
=
t
 примем согласованными, по 

возможности, с остальными граничными условиями: 

.
H
x
1
H
x
6
V
)
0,y
,x
(
V
,
0
)
0,y
,x
(
V

,
H
x
1
d
)
0,y
,x
(

,
2,1
i,
C
)
0,y
,x
(
C

0
y
x

0
i

−
=
=

−
=

=
=

ϕ
ϕ
    
 
 
  
 (22) 

Для потенциала в качестве начального условия берется либо 

постоянная, либо условие  

−
=
H
x
1
d
)
0,y
,x
(
ϕ
ϕ
.  
 
 
 
 
 
           (23) 

Для 
решения 
задачи 
(9)-(23) 
применяется 
метод 
конечных 

элементов. 

Нами были проведены численные эксперименты для раствора NaCl в 

широком спектре таких параметров, как начальная концентрация, скорость 

вынужденного течения раствора, межмембранное расстояние, длина 

канала, скачок электрического потенциала, и определены основные 

закономерности 
распределения 
электрохимических 
(концентрация, 

напряженность 
и 
потенциал 
электрического 
поля, 
и 
т.д.) 
и 

гидродинамических  полей. Ниже представлены некоторые результаты 

численных экспериментов при следующих входных параметрах: ширина 

канала обессоливания 
5.0
H =
 мм, длина канала 
4
L =
мм, средняя 

скорость вынужденного течения раствора а)
6

0
10
2
V
−
⋅
=
м/с, б)
5

0
10
V
−
=
м/с, 

в)
4

0
10
V
−
=
м/с, г)
3

0
10
V
−
=
м/с, д)
2

0
10
V
−
=
м/с,  начальная концентрация 

раствора 
10
C0 =
моль/м3, температура раствора 
293
T =
K, начальная 

плотность раствора 
5.
1002
0 =
ρ
кг/м3, коэффициент кинематической 

вязкости 
9
10
1006

−
⋅
=
ν
м2/с, коэффициент диффузии катиона и аниона, 

соответственно, 
9

1
10
33
.1
D
−
⋅
=
м2/с 
и 
9

2
10
05
.2
D
−
⋅
=
м2/с, 
падение 

электрического потенциала в диффузионном слое: а) 
1.0
d
−
=
ϕ
В ,  

б) 
3.0
d
−
=
ϕ
В, в) 
5.0
d
−
=
ϕ
В. 

Научный журнал КубГАУ, №73(09), 2011 года 

http://ej.kubagro.ru/2011/09/pdf/33.pdf

10

3. 
Основные 
закономерности 
возникновения 
и 
развития 

электроконвекции  

Электроконвекция возникает при некотором соотношении между 

скоростью прокачки раствора и падением потенциала, причем, чем больше 

скорость прокачки, тем больше требуется падение потенциала для 

возникновения электроконвекции (рис. 1) при некотором фиксированном 

моменте времени.  

Пороговые значения падения потенциалов на рис.1 определены 

визуально по численному решению и поэтому на зависимость пороговой 

разности потенциалов от скорости прокачивания раствора на рис.1 нужно 

смотреть как на качественную характеристику, которая показывает 

монотонно 
рост 
 
пороговой 
разности 
потенциалов 
от 
скорости 

прокачивания раствора. В нестационарном случае пороговые значения 

падения потенциалов должны зависит как от скорости прокачивания 

раствора, так и от времени возникновения электроконвекции. 

 

Рисунок 1. Зависимость пороговой разности потенциалов 
B
,
dϕ
 от 
скорости прокачивания раствора 
0
V , м /с 
 

Расчеты в канале без учета электрических сил и с учетом при 

одинаковых остальных параметрах (рис. 2) приводят к существенно 

различающимся течениям раствора.