Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии

513.73

22.151

71

.
.,
.
. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии.
.:
,
2004.
304
.
ISBN
5-9221-0442-X.

,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.

,
,
,
.

ISBN
5-9221-0442-X



,
2004



.
.
,
.
.
,
2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а 1. Введение в дифференциальную геометрию . . . . .
7
1.1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1. Мотивировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2. Декартовы и криволинейные координаты . . . . . . . . . . .
9
1.1.3. Простейшие примеры криволинейных систем координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2. Длина кривой в криволинейных координатах . . . . . . . . . . .
17
1.2.1. Длина кривой в евклидовых координатах . . . . . . . . . . .
17
1.2.2. Длина кривой в криволинейных координатах . . . . . . . .
19
1.2.3. Понятие римановой метрики в области евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.4. Индефинитные метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.3. Геометрия на сфере, плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . .
34

Г л а в а 2. Общая топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.1.1. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.1.2. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.1.3. Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.1.4. Фактортопология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.2. Связность. Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.2.1. Связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.2.2. Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.3. Компактные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.3.1. Компактные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.3.2. Свойства компактных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.3.3. Метрические компактные пространства. . . . . . . . . . . . .
62
2.3.4. Операции над компактными пространствами . . . . . . . .
62
2.4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы . . . . . .
63
2.4.1. Функциональная отделимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.4.2. Разбиение единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

Оглавление

Г л а в а 3. Гладкие многообразия (общая теория) . . . . . . . . .
68
3.1. Понятие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.1.1. Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.1.2. Функции замены координат. Определение гладкого
многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.1.3. Гладкие отображения. Диффеоморфизм . . . . . . . . . . . . .
77
3.2. Задание многообразий уравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.3. Касательные векторы. Касательное пространство . . . . . . .
85
3.3.1. Простейшие примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.3.2. Общее определение касательного вектора . . . . . . . . . . .
88
3.3.3. Касательное пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.3.4. Производная функции по направлению . . . . . . . . . . . . .
90
3.3.5. Касательное расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.4. Подмногообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.4.1. Дифференциал гладкого отображения . . . . . . . . . . . . . .
95
3.4.2. Локальные свойства отображений и дифференциал . . .
98
3.4.3. Вложение многообразий в евклидово пространство . . . 100
3.4.4. Риманова метрика на многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.5. Теорема Сарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Г л а в а 4. Гладкие многообразия (примеры) . . . . . . . . . . . . . 109
4.1. Теория кривых на плоскости и в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.1. Теория кривых на плоскости. Формулы Френе . . . . . . . 109
4.1.2. Теория пространственных кривых. Формулы Френе . . 114
4.2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы . . . . . 119
4.2.1. Первая квадратичная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.2. Вторая квадратичная форма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.3. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.4. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3. Группы преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.1. Простейшие примеры групп преобразований . . . . . . . . 140
4.3.2. Матричные группы преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3.3. Полная линейная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3.4. Специальная линейная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Оглавление
5

4.3.5. Ортогональная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.6. Унитарная группа и специальная унитарная группа . . . 154
4.3.7. Симплектическая некомпактная и симплектическая
компактная группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4. Динамические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.5. Классификация двумерных поверхностей . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5.1. Многообразия с краем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5.2. Ориентируемые многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.5.3. Классификация двумерных многообразий . . . . . . . . . . . 175
4.6. Двумерные многообразия как римановы поверхности алгебраических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Г л а в а 5. Тензорный анализ и риманова геометрия . . . . . . 197
5.1. Общее понятие тензорного поля на многообразии . . . . . . . 197
5.2. Простейшие примеры тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2.1. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2.2. Алгебраические операции над тензорами . . . . . . . . . . . 205
5.2.3. Кососимметричные тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.3. Связность и ковариантное дифференцирование . . . . . . . . . 215
5.3.1. Определение и свойства аффинной связности . . . . . . . 215
5.3.2. Римановы связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.4. Параллельный перенос. Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.4.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.4.2. Уравнение параллельного переноса . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.4.3. Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.5. Тензор кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.5.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.5.2. Координатное определение тензора кривизны . . . . . . . 238
5.5.3. Инвариантное определение тензора кривизны . . . . . . . 239
5.5.4. Алгебраические свойства тензора кривизны Римана . . 240
5.5.5. Некоторые приложения тензора кривизны Римана . . . . 243

Г л а в а 6. Теория гомологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.1. Исчисление внешних дифференциальных форм. Когомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.1.1. Дифференцирование
внешних
дифференциальных
форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Оглавление

6.1.2. Когомологии гладкого многообразия (когомологии де
Рама) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.1.3. Гомотопические свойства групп когомологий . . . . . . . . 255
6.2. Интегрирование внешних форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2.1. Интеграл дифференциальной формы по многообразию 260
6.2.2. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.3. Степень отображения и ее приложения . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.3.1. Степень отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.3.2. Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.3.3. Интегрирование форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.3.4. Гауссово отображение гиперповерхности . . . . . . . . . . . 269

Г л а в а 7. Простейшие вариационные задачи римановой
геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.1. Понятие функционала. Экстремальные функции. Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.2. Экстремальность геодезических . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.3. Минимальные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.4. Вариационное исчисление и симплектическая геометрия . 284

Г л а в а 1

Введение
в дифференциальную геометрию

1.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ

1.1.1. Мотивировка

Рассмотрим евклидово пространство размерности
, которое мы
в дальнейшем будем обозначать через
. Будем считать, что в нем
заданы декартовы координаты
относительно выбранного
и фиксированного ортонормированного базиса
. Напомним, что с декартовыми координатами тесно связано понятие
евклидова скалярного произведения — билинейной формы, сопоставляющей каждой паре векторов
вещественное число
, причем эта операция является симметричной, линейной
по каждому аргументу, а сама форма — положительно определенной. В декартовых координатах

Однако декартовых координат недостаточно для удобной аналитической записи многих конкретных задач. Конечно, когда мы
имеем дело с довольно простыми кривыми, например с окружностью или эллипсом, то их аналитическое выражение в декартовых
координатах является весьма простым. Но весьма часто, например в физических задачах, встречаются, скажем, траектории движения материальных точек в поле каких-либо сил, явное выражение которых в декартовых координатах затруднительно. Например,
следующее уравнение определяет в декартовых координатах спираль:

(рис. 1.1). Конечно, эта запись
не слишком сложна, но тем не менее эта кривая запишется значительно проще в другой, так называемой полярной системе координат
, связанных с декартовыми

8
Гл. 1. Введение в дифференциальную геометрию

(рис. 1.2). В этих координатах уравнение спирали принимает вид

, что позволяет сразу оценить характер движения точки по
траектории.

O
Рис. 1.1
Рис. 1.2

Укажем еще на одну задачу, где полярные координаты являются
полезными. Рассмотрим движение материальной точки на плоскости в центральном поле сил. Пусть центр находится в точке
,
—

Рис. 1.3

радиус-вектор движущейся точки,
—
его длина. Тогда координаты
и
будут какими-то функциями времени
.
Рассмотрим в точке
, имеющей полярные координаты
,
, два единичных ортогональных вектора: вектор
,
направленный по радиус-вектору точки,
и вектор
, ортогональный вектору
и направленный в сторону увеличения
угла
(рис. 1.3). Точкой будем обозначать дифференцирование по времени
.
Тогда, как известно из механики, движение материальной точки массы
в центральном поле сил на плоскости определяется следующим дифференциальным уравнением:
, где
— некоторая гладкая
функция от
.
Движение материальной точки задается двумя функциями:
,
. Легко убедиться в том, что при этом сохраняется
величина
. Это есть один из законов Кеплера, открытый при
изучении движения планет в Солнечной системе. Этой сохраняющейся величине можно придать прозрачный смысл. Кеплер ввел
удобное понятие: он назвал секториальной скоростью
скорость

1.1. Криволинейные системы координат
9

изменения площади
, заметаемой радиус-вектором
, т. е.
.

Тогда закон Кеплера формулируется так: в равные времена радиус-вектор заметает равные площади, иными словами, секториаль
ная скорость постоянна:

.
Аналогичным образом при решении задач механики и физики возникли и другие криволинейные координаты — цилиндрические, сферические и т. д. Изучая подобные способы задания точек
пространства набором вещественных чисел, можно заметить, что в
основе лежит общая идея, которую мы сейчас и опишем.

1.1.2. Декартовы и криволинейные координаты

Рассмотрим произвольную область в
. Напомним, что мы называем областью произвольное множество
в евклидовом пространстве, каждая точка
которого входит в
вместе с некоторым
шаром достаточно малого радиуса, имеющим точку
своим центром.
Рассмотрим второй экземпляр евклидова пространства, который
обозначим через
. Задать координаты точки
в области
—
значит сопоставить ей набор чисел, точку в
. Ясно, что соответствие должно удовлетворять естественным требованиям. В первую
очередь, нужно, чтобы различным точкам отвечали различные наборы координат.
Сопоставляя каждой точке
области
набор
вещественных
чисел, мы получаем
функций
, имеющих областью определения область
; здесь
— координаты в пространстве
. Обычно требуют, чтобы эти функции были непрерывны и даже гладки.
Итак, рассмотрим два экземпляра евклидова пространства:
с декартовыми координатами
и
с декартовыми координатами
; пусть
— область в
.
Определение 1. Непрерывной системой координат в области
евклидова пространства
называется набор функций
, задающих взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение области
на некоторую
область
в евклидовом пространстве
. Иными словами, этот
набор функций задает гомеоморфизм области
на область
.
Функции
будем называть координатами точки
относительно координатного отображения
.

Гл. 1. Введение в дифференциальную геометрию

Например, в качестве отображения
можно взять тождественное отображение:
.
Иногда будем записывать точку
с ее координатами
в виде
, предполагая, что уже задано координатное отображение
.
Среди всех непрерывных координатных отображений выделены
такие, которые задают гладкое отображение области
на область
,
т. е. все функции
являются гладкими функциями. Мы сразу перейдем к определению координат, у
которых гладкими являются оба отображения: как
, так и
. Напомним понятие матрицы Якоби гладкого отображения.
Пусть
— гладкое отображение, задаваемое функциями
.
Определение 2. Матрицей Якоби отображения
называется
функциональная матрица

...

составленная из частных производных от координат. Ее определитель будем обозначать через
и называть якобианом отображения
.
ЗАМЕЧАНИЕ. Обозначение
для матрицы Якоби не вызовет путаницы с дифференциалом функции
, поскольку дифференциал
гладкой функции соответствует матрице Якоби в этом частном случае. Матрица Якоби является переменной матрицей, т. е. зависит от
точки
из области
.
Определение 3. Регулярной системой координат в области
пространства
называется набор гладких функций
, задающих взаимно однозначное отображение области
на некоторую область
в пространстве
,
причем якобиан отображения
отличен от нуля во всех точках
области
.
Отличие от нуля якобиана отображения
 во всех точках области
означает, что отображение
, обратное к
, является гладким. Это следует из теоремы о системе неявных функций. Итак,
регулярная система координат задается двумя гладкими, взаимно обратными отображениями, устанавливающими гомеоморфизм
между областями
и
.

1.1. Криволинейные системы координат
11

Можно было бы считать, что с самого начала в области
пространства
были введены декартовы координаты с помощью тождественного отображения
на
при естественном отождествлении обоих пространств
и
. Тогда введение в области
еще
одной системы координат, задаваемой регулярным отображением
,
можно рассматривать как замену координат: мы перешли от декартовых координат к новым координатам в той же области.
Определение 4. Регулярную систему координат общего вида в
области
будем называть также криволинейными координатами
в области
.
Рассмотрим теперь в области
две произвольные криволинейные системы координат:
и
. Это
означает, что заданы два регулярных отображения:

т. е. отображения
и
устанавливают взаимно однозначные и гладкие в обе стороны соответствия между областями
,
и
,
соответственно. Иными словами, каждой точке
из области
сопоставлены два набора ее криволинейных координат,
и

. Следовательно, можно сопоставить координатам
точки
ее координаты
, что определяет отображение

, т. е.
,
.
Отображение
называется заменой координат в области
.
При этом точка
получает вместо исходных координат
новые координаты
.
Лемма 1. Отображение
является взаимно однозначным,
гладким в обе стороны отображением области
на область
с
ненулевым якобианом.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Взаимная однозначность отображения

сразу следует из определения
. Гладкость отображения
следует из того, что композиция двух гладких отображений является
гладким отображением. Осталось проверить, что отображение
имеет ненулевой (в каждой точке области
) якобиан.
В самом деле, отображение
распадается в композицию двух
отображений:
Æ
(рис. 1.4). Матрица Якоби отображения
распадается в произведение матриц Якоби отображения

и отображения
.
В самом деле, так как

где функции
задают гладкое отображение
12
Гл. 1. Введение в дифференциальную геометрию

Æ
Рис. 1.4

, то по формуле дифференцирования сложной функции по
лучаем

, что и означает, что матрица Якоби
распалась в произведение двух матриц,
и
. Осталось выяснить, как связаны матрицы Якоби
и
. Так как композиция

Æ
является тождественным отображением области
на себя,
то получаем, что
Æ
Æ
, где
— единичная
матрица, т. е. окончательно,
. Тем самым,
, т. е.
, и так как оба якобиана
и

отличны от нуля, то и якобиан
отличен от нуля.
Пусть на области
задан набор гладких функций
,
. Как узнать, задает ли он регулярную систему координат?
Лемма 2. Пусть гладкие функции
,
, таковы,
что соответствующий якобиан
,
, отличен от
нуля в области
. Тогда для каждой точки
из области
существует такая открытая окрестность, что в ней функции
задают регулярные координаты.
Такие функции можно назвать локальной системой координат.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
В условии леммы не было предположено, что функции
определяют взаимно однозначное отображение области
на область
пространства
. Однако по теореме о неявных функциях из отличия от нуля якобиана вытекает
существование (по крайней мере локально) обратного гладкого отображения. Лемма доказана.
Отметим, что функции, удовлетворяющие условию леммы 2,
не обязательно определяют регулярную систему координат сразу
во всей области
, т. е. гладкое отображение
области
на

1.1. Криволинейные системы координат
13

область
может и не существовать. Действительно, рассмотрим
простой пример. Возьмем в качестве области
двумерную плоскость, из которой «выколота» одна точка — начало координат
, и
рассмотрим гладкое отображение

т. е. если положить
,
(где
— мнимая единица), то
. Это отображение переводит комплексное число
в
его квадрат. В полярных координатах
отображение запишется

Рис. 1.5

так:
(рис. 1.5). Матрица Якоби
имеет вид

Мы видим, что якобиан положителен во всех точках области
(так как
начало координат «выколото»). Следовательно, по лемме 2 отображение устанавливает локальные регулярные координаты в некоторой открытой
окрестности каждой точки из области
. В то же время отображение
не имеет обратного отображения
, поскольку
не взаимно
однозначно.
Дело в том, что каждая точка
, не являющаяся началом координат, всегда имеет ровно два прообраза при отображении
, это — точки
и
.
В приведенном примере якобиан системы функций стремится к
нулю, когда точка
приближается к выколотой точке. В геометрии
давно обсуждается вопрос: будет ли взаимно однозначным такое
гладкое отображение
евклидова пространства на себя, при котором на якобиан наложено условие
? Здесь

и
— постоянные. Мы не будем здесь заниматься этой проблемой.
Каждая система криволинейных координат в области определяет так называемые координатные линии. А именно:
-я координатная линия задается уравнением

где все
— постоянные, а
— непрерывный параметр. С измене

Гл. 1. Введение в дифференциальную геометрию

нием
точка
прочерчивает гладкую траекторию в области. Таким
образом, из каждой точки
области
выходит
гладких тра
Рис. 1.6

екторий, которые и называются координатными линиями данной системы координат
(в точке
). Для другой точки
будут другие координатные линии, причем они гладко деформируются при изменении точки
. Если координаты — декартовы, то координатные линии являются прямыми. При наглядном изображении криволинейных координат полезно изображать координатные линии. На рис. 1.6 показана гладкая замена координат, «превращающая» жирафа в бегемота.

1.1.3. Простейшие примеры
криволинейных систем координат

Для начала отметим, что полярные координаты
на плоскости не задают регулярные координаты на всей плоскости
.
В самом деле, переход от полярной системы к декартовой задается функциями:
,
. Найдем якобиан замены.
Прямое вычисление дает
.
Таким образом, якобиан равен нулю в начале координат. Следовательно, полярные координаты не являются регулярными на всей
плоскости. Более того, они не задают взаимно однозначного отображения всей двумерной плоскости на себя, так как точки вида
и
переходят в одну и ту же точку.
Выделим ту область
, где полярные координаты регулярны.
Рассмотрим плоскость
, где
,
. В качестве
области
возьмем бесконечную полосу, определяемую неравенствами
,
. Тогда в качестве области
в плоскости
следует взять всю плоскость, за исключением луча

,
. Отображение
задается формулами

,
. На рис. 1.7 показано, что происходит с координатными линиями при отображении
. Прямоугольная сетка
превращается в полярную сетку. Взаимная однозначность и регулярность отображения очевидны.
Рассмотрим теперь трехмерное евклидово пространство и изучим цилиндрическую систему координат. Формулы замены следу

1.1. Криволинейные системы координат
15

Рис. 1.7

ющие:
,
,
. Рассмотрим
,
где
,
,
, и в качестве
возьмем область
,

,
. Приведенные выше формулы определяют гладкое отображение
, где область

получается из
выбрасыванием полуплоскости
,

(рис. 1.8). Матрица Якоби имеет следующий вид:

Якобиан замены равен
. Таким образом, в области
цилиндрические координаты регулярны. Дело в том, что якобиан равен
нулю только в точках оси
, но полуплоскость, проходящая через
эту ось, исключена для обеспечения взаимной однозначности.

Рис. 1.8

Гл. 1. Введение в дифференциальную геометрию

Теперь рассмотрим
-мерное евклидово пространство и введем
в нем сферическую систему координат. Формулы замены таковы:

ЗАМЕЧАНИЕ. Структура формул ясна: удобно считать, что все
строки имеют одно и то же происхождение, но только параметры
,
начиная с номера
, равны нулю. Предоставляем читателю вычисление матрицы Якоби и якобиана.
Для трехмерного пространства сферические координаты обычно обозначаются через
. Тогда формулы замены приобретают вид (с точностью до перенумерации)

В этих координатах
.
Области
и
показаны на рис. 1.9. Якобиан равен нулю только в точках оси
. Полуплоскость
,
, удалена для
обеспечения взаимной однозначности координатной системы. При
фиксированном
координатные линии параметров
показаны

Рис. 1.9