Общая физика. Практикум

УДК 53(076.5)(075.8)
ББК 22.3я73
          О28

А в т о р ы:
В.А. 
Бондарь, 
И.С. 
Ташлыков, 
В.А. 
Яковенко,
В.И. Януть, С.А. Василевский, П.В. Жуковский, Г.А. Заборовский,
В.Н. Котло, Л.Н. Марголин, Ю.И. Миксюк, И.И. ТашлыковаБушкевич, Ч.М. Федорков, С.В. Яковенко

Р е ц е н з е н т ы: кафедра экспериментальной и теоретической физики Могилевского государственного университета имени А.А. Кулешова; профессор кафедры физики твердого тела Белорусского государственного 
университета, 
доктор 
физикоматематических 
наук
В.В. Шепелевич

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги
или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения
издательства.

ISBN 9789850612359
     © Издательство «Вышэйшая школа», 2008

ПРЕДИСЛОВИЕ

Лабораторный практикум по курсу общей физики в учреждениях, обеспечивающих получение высшего образования, является основой подготовки учителя физики, направленной на формирование умений и навыков работы с физическими приборами, овладение методами физических измерений и обработки их результатов, на более глубокое
понимание теоретического материала курса и прочное его
усвоение.
При написании данного пособия использованы основные
дидактические, методические и организационные составляющие системы такой подготовки, сформированной на физическом факультете Белорусского государственного педагогического университета имени Максима Танка в результате
коллективной многолетней работы его сотрудников. Среди
них необходимо особо отметить работавших в разное время
заведующими кафедрой общей физики профессоров В.И. Арабаджи, М.С. Цедрика и доцентов А.С. Микулича, Н.А. Юшкевича; доцентов Г.А. Заборовского, Г.П. Макееву; старших
преподавателей Г.А. Загуста, И.Ф. Савицкую; заведующего
лабораториями П.В. Грудинского и других сотрудников,
которые уделяли большое внимание  постановке лабораторных работ и усовершенствованию их содержания и
методического обеспечения. При подготовке некоторых
работ использованы материалы из различных практикумов и
руководств по физике.
Пособие охватывает все разделы курса общей физики. Его
содержание, тематика и последовательность лабораторных
работ соответствуют типовой учебной программе по физике
для высших учебных заведений, составленной в соответствии с образовательным стандартом высшего образования
специальности 101050400 «Физика». Постановка работ
ориентирована на использование типового (в том числе
школьного) учебнолабораторного оборудования. В некоторых работах используются самодельные приспособления и
установки, многие из которых могут быть воспроизведены
выпускниками при работе в школе. Особое внимание уделяется обработке результатов эксперимента и их анализу, освоению аппарата теории погрешностей. Для этого предусмотрен небольшой вводный практикум по теории погрешностей
и обработке результатов измерений (работы 1.1 – 1.3).

Для интенсификации учебного процесса и усиления его
обучающей функции при организации лабораторного практикума по курсу общей физики могут быть применены различные технические средства обучения, компьютерная и
иная вычислительная техника. Это в сочетании с фронтальным методом выполнения работ позволяет значительно сократить время обработки экспериментального материала, достигнуть более высокого уровня его усвоения.
Названия и обозначения единиц физических величин, используемых в пособии, соответствуют Международной системе единиц (СИ). Поэтому все приложения, приведенные в
конце книги, также соответствуют этой системе. Там же приведены основные и дополнительные единицы СИ с указанием
размерности и даны определения, а также некоторые общие
правила пользования и написания обозначений единиц.
Важная задача физического практикума – привить студентам навыки самостоятельного приобретения знаний по
изучаемому курсу. Для этого в пособии наряду с кратким содержанием лабораторных работ, методическими указаниями
по их выполнению, рекомендациями по обработке данных и
вычислению погрешностей включены контрольные вопросы
и задания. Ответы на эти вопросы требуют определенной проработки студентами литературных источников, список которых приведен в конце книги.
С целью выработки у студентов навыков научноисследовательской работы, творческого подхода к физическому
практикуму во многие лабораторные работы включены дополнительные задания, которые предусматривают самостоятельное выполнение студентами отдельных элементов учебноисследовательской работы (УИР).
Пособие предназначено для студентов физикоматематических специальностей учреждений, обеспечивающих получение высшего педагогического образования. Возможно также его использование студентами других специальностей.
Авторский коллектив благодарен рецензентам – коллективу кафедры экспериментальной и теоретической физики Могилевского государственного университета имени
А.А. Кулешова и профессору кафедры физики твердого тела
Белорусского государственного университета, доктору физикоматематических наук В.Г. Шепелевичу – за ценные замечания, способствовавшие улучшению пособия.
Все отзывы и пожелания просим направлять по адресу:
220048, Минск, проспект Победителей, 11, издательство
«Вышэйшая школа».

Авторы

РАЗДЕЛ                                                              1

МЕХАНИКА

Работа 1.1

ИЗМЕРЕНИЕ  ВРЕМЕНИ  СОУДАРЕНИЯ  ШАРОВ.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ  МЕТОД  ОЦЕНКИ
СЛУЧАЙНЫХ  ПОГРЕШНОСТЕЙ

Оборудование: штатив, шары, электронный счетчиксекундомер.

Введение

Измерить физическую величину – значит сравнить ее с
однородной физической величиной, принятой за единицу
измерения. Измерения, при которых искомая физическая
величина определяется непосредственным сравнением,
называют прямыми, а измерения, при которых искомая
величина рассчитывается по результатам измерения других величин, связанных с ней определенной функциональной зависимостью, – косвенными.
Вследствие несовершенства органов чувств человека и
измерительной аппаратуры при любых измерениях получаются лишь приближенные значения измеряемых величин. Требуется найти по результатам опытов  наиболее
близкое к истинному значение измеряемой величины и
оценить допустимую погрешность.
За приближенное значение принимается среднее арифметическое результатов 
 прямых измерений 
, 
,
, …, 
:

.

В соответствии с теорией вероятностей 
 является математическим ожиданием измеряемой величины.
Отклонение результата измерения 
 от истинного значения 
 называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения 
, а отношение абсолютной погрешности к истинному значению – относительной погрешностью 
 (иногда выражается в процентах).

n
x1
x2

x3
xn

x
n
xi
i

n
=
=∑
1

1

x

xi

x

Δx
x
x
i
i
=
−

δ = Δx
x
i /

По характеру повторяемости погрешности измерений
делятся на систематические и случайные. Погрешности,
связанные с методом измерений, называют методическими (они могут быть как случайными, так и систематическими).
Систематическими называют погрешности, которые
сохраняют или закономерно изменяют свой знак и величину от опыта к опыту. Они вызваны постоянными причинами: неправильной установкой или неисправностью
прибора, неправильным отсчетом показаний, неудачно
выбранным методом измерений. Систематические погрешности мы допускаем, например, при взвешивании на
неравноплечных весах, при определении плотности вещества пористого тела по его массе и линейным размерам.
Такие погрешности не могут быть обнаружены или уменьшены при увеличении числа измерений. Они обнаруживаются только при сравнении результатов с заведомо более
точными и устраняются поверкой измерительных приборов или выбором более точного метода измерений.
Случайными называются погрешности, которые непредсказуемым образом меняют свой знак и величину от
опыта к опыту. Они появляются вследствие несовершенства органов чувств (например, быстроты реакции), плохой повторяемости показаний приборов и многих других
причин, которые не всегда можно учесть (движение окружающего воздуха, изменение температуры и т.п.). Увеличение числа измерений ведет к повышению точности результатов. Полностью устранить случайные погрешности
невозможно, однако их можно оценить методами теории
вероятностей, так как они подчиняются статистическим
закономерностям.
Существует несколько способов оценки случайных погрешностей.
1. В простейшем случае указывается предельная абсолютная погрешность 
 – наибольшее отклонение результатов измерений от среднего арифметического. Например, если при измерении диаметра стержня получены
значения: 5,2 мм, 5,8 мм, 6,0 мм, 5,1 мм, 5,4 мм, то среднее 
значение 
диаметра 
мм, 
а 
погрешность
мм (рис. 1.1). В результате 
мм с
вероятностью 
 (т.е. все измеренные значения попали

Δxпр

x = 5 5
,

Δxпр = 0 5
,
x =
±
( ,
, )
5 5
0 5

α =1

в интервал ]
[ ). Эта оценка является завышенной, так как показывает только границы области
значений полученных ошибок, однако вследствие простоты часто применяется (например, для оценки погрешности отсчета электроизмерительных приборов).

2. Иногда находят среднее арифметическое модулей
погрешностей отдельных измерений:

.

При этом считается, что все ошибки имеют одинаковые
знаки, что маловероятно. Данный способ также дает завышенную погрешность и не позволяет определить надежность результата (вероятность попадания 
 в интервал

]
[ ). Так, для рассмотренного примера 

мм, но, как видно из рис. 1.1, не все результаты попали в этот интервал. Вследствие своей простоты данный
способ иногда применяется на практике.
3. Наиболее полную оценку случайных погрешностей
дают статистические методы, основанные на законах
распределения случайных величин.
Если случайная величина 
 принимает непрерывный
ряд значений, одинаковые отклонения 
 данной величины от некоторого среднего значения 
 как в одну, так и
в другую сторону повторяются одинаково часто (равновероятны) и с увеличением отклонения 
 частота (вероятность) его появления уменьшается, то эта величина подx
x
x
x
−
+
Δ
Δ
пр
пр
;

                     Р и с. 1.1

Δx
n
x
xi
i

n
=
−
=∑
1

1

xi

x
x x
x
−
+
Δ
Δ
,
Δx =

= 0 32
,

x

Δx

x

Δx

чиняется нормальному закону распределения Гаусса
(рис. 1.2). При большом числе опытов случайные погрешности часто удовлетворяют такому закону.

Плотность распределения 
 случайной величины

 выражает вероятность 
 ее попадания в бесконечно
малый интервал 
:

.

Вероятность 
 попадания результата измерения 
 в

интервал 
 (а ошибки измерения 
 – соответственно в интервал 
) равна площади фигуры, ограниченной кривой 
:

.

Эта вероятность называется доверительной вероятностью 
(или 
надежностью) 
результата, 
интервал
 – доверительным интервалом, а его полуширина 
 – доверительной погрешностью для данной вероятности  
.
Возможный разброс значений среднего арифметического около истинного значения характеризуется его
стандартным отклонением:

                                                    
                      Р и с. 1.2

ϕ( )
x

x
dα

x x
dx
;
+
]
[

d
x dx
α
ϕ
=
( )

α
xi

x
x x
x
−
+
]
[
Δ
Δ
;
Δxi

−
+
]
[
Δ
Δ
x
x
;

ϕ( )
x

α
ϕ
=

−

+
∫
( )
x dx

x
x

x
x

Δ

Δ

x
x x
x
−
+
]
[
Δ
Δ
;

Δx

α

.

При большом числе измерений в качестве доверительной погрешности 
 берут 
, при этом доверительная вероятность 
. С расширением интервала вероятность возрастает (
 при 
 и 
 при
).
Следует помнить, что распределение Гаусса справедливо только для большого числа измерений; при небольшом
числе опытов 
 необходимо пользоваться распределением Стьюдента. В этом случае доверительная погрешность находится по формуле

,

где 
 – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа
измерений 
 и доверительной вероятности 
 (прил. 32).
Окончательный результат записывается в виде 
с вероятностью 
.
В нашем примере

При невысокой надежности (
) коэффициент
 
и 
интервал 
неширокий 
(
мм), поэтому большинство результатов не укладывается в него. Для повышения надежности результатов
необходимо расширять интервал: 
мм при 
,
 при 
. В последнем случае все результаты попадают в этот интервал (вероятность 0,98
означает, что 98 результатов из 100 должны попасть в
указанный интервал).
При большом числе измерений (
) распределение
Стьюдента переходит в распределение Гаусса (при 
коэффициент 
 для вероятности 
). Предельная оценка погрешности является частным случаем вероятностной при 
.
При наличии случайных погрешностей с увеличением
числа измерений точность возрастает, так как для данной
надежности 
 коэффициент Стьюдента 
 и, следовательно, доверительная погрешность убывают.

σ =
−
(
)
−
(
)
=∑
1
1

2

1
n n
x
xi
i

n

Δx
σ

α ≈ 0 68
,

α = 0 95
,
Δx = 2σ
α = 0 997
,

Δx = 3σ

(
)
3
20
≤
≤
n

Δx
t n
= α σ

t n
α

n
α

x
x
=
±

x
± Δ
α

σ =
⋅
+
+
+
+
≈
1
5 4 0 3
0 3
0 5
0 4
0 1
0 17
2
2
2
2
2
( ,
,
,
,
,
)
,
.

α = 0 5
,

t n
α
= 0 74
,
Δx =
⋅
≈
0 74 0 17
,
,

≈ 0 13
,

Δx = 0 36
,
α =

= 0 9
,
Δx = 0 63
,
α = 0 98
,

n ≥ 20

n → ∞

t n
α
→1
α ≈ 0 68
,

α =1

α
t n
α