Теория вероятностей и математическая статистика

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 

СТАТИСТИКА

Учебное пособие

Ставропольский государственный аграрный университет

Т.А.Гулай    А.Ф. Долгополова     Д.Б. Литвин      С.В. Мелешко  

Теория вероятностей и математическая статистика

Учебное пособие

Издание второе дополненное

Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства 

образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для 

студентов вузов, обучающихся по направлению 080100 «Экономика» 

(квалификация-«бакалавр»)

г. Ставрополь

2013

УДК 519.2
ББК 22.171

Г 94

Гулай Т.А.

Г94
Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие, 

издание второе дополненное / Т.А. Гулай , А.Ф. Долгополова, Д.Б. Литвин, С.В. 
Мелешко. – Ставрополь : АГРУС, 2013.- 260 с.

Настоящее учебное пособие (издание второе дополненное) разработано в 

соответствии с учебной программой дисциплины « Теория вероятностей и 
математическая статистика» для студентов высшего профиля обучения 
экономических факультетов ВУЗов с учетом федеральных государственных 
образовательных стандартов высшего профессионального образования (ФГОС 
ВПО) по направлению 080100 Экономика (квалификация - «бакалавр»).
Учитывая прикладной характер многих приведенных в пособии задач, оно 
может быть также использовано при изучении аналогичных дисциплин в 
экономических и технических ВУЗах. Пособие может быть использовано как 
для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного 
изучения дисциплины.

УДК 519.2
ББК 22.171

Г 94

Содержание

ГЛАВА 1  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ........................ 7

1.1 Опыт и события теории вероятностей. Пространство исходов опыта........ 7
1.2 Операции над событиями................................................................................. 9
1.3 Частота и вероятность..................................................................................... 16
1.4  Вероятностные пространства .......................................................................18

1.4.1 Дискретные вероятностные пространства

1.5 Методы вычисления вероятностей............................................................... 20

1.5.1 Классическое определение вероятности................................................ 20
1.5.2 Статистическое определение вероятности............................................ 23
1.5.3 Геометрическая вероятность................................................................... 25

1.6 Применение формул комбинаторики для вычисления вероятностей 
событий................................................................................................................... 27

ГЛАВА 2 ОСНОВНЫЕ  ТЕОРЕМЫ  И  ФОРМУЛЫ  ТЕОРИИ  
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ..................................................................................................... 33

2.1 Аксиомы теории вероятностей ...................................................................... 33
2.2 Основные теоремы теории вероятностей ..................................................... 34
2.3  Формула полной вероятности....................................................................... 39
2.4  Формула Байеса.............................................................................................. 40
2.5  Последовательность независимых испытаний............................................ 43
Самостоятельная работа к главам 1, 2 ................................................................ 48

ГЛАВА3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ВЕКТОРЫ ........................................... 63

3.1 Случайные величины и векторы.................................................................... 63

3.1.1 Понятие случайной величины и случайного вектора .......................... 63
3.1.2 Закон распределения случайной величины и случайного вектора..... 64
3.1.3 Ряд распределения, многоугольник распределения ............................. 64

3.2 Формы закона распределения........................................................................ 66

3.2.1 Функция распределения и  её свойства ................................................. 66
3.2.2 Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности и её 
свойства.............................................................................................................. 68
3.2.3 Условные законы распределения, зависимые и независимые 
случайные величины......................................................................................... 70

3.3 Числовые характеристики.............................................................................. 71

3.3.1 Математическое  ожидание  случайной  величины  и  случайного 
вектора................................................................................................................ 71
3.3.2 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной 
величины и случайного вектора ...................................................................... 72
3.3.3 Начальные и центральные моменты ...................................................... 74
3.3.4 Корреляционный момент, коэффициент корреляции .......................... 75

Самостоятельная работа к главе 3....................................................................... 86

ГЛАВА 4 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И 
ВЕКТОРОВ. .............................................................................................................116

4.1 Биномиальное, полиномиальное распределения........................................116
4.2 Распределение Пуассона...............................................................................118
4.3 Равномерное распределение.........................................................................120
4.4 Показательное распределение......................................................................124
4.5 Нормальный закон распределения ..............................................................132
4.6 Распределение Релея.....................................................................................139

ГЛАВА 5  ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ................147

ГЛАВА 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ (ФСА)..........................155

Самостоятельная работа к главе 6 .....................................................................162

ГЛАВА 7 МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ............................................177

7.1 Понятие случайного процесса......................................................................177
7.2 Стационарные процессы...............................................................................182

ГЛАВА 8 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ............................189

8.1 Генеральная совокупность, выборка, выборочный метод ........................189
8.2 Представление статистических данных и оценивание закона 
распределения генеральной совокупности.......................................................193
8.3 Эмпирическая функция распределения ......................................................198
8.4 Свойства оценок параметров распределения.............................................200
8.5 Точечные и интервальные оценки параметров распределения................203
8.6 Метод моментов ............................................................................................206
8.7 Функция правдоподобия. Метод  максимального правдоподобия..........209
8.8 Понятие  статистической  проверки  гипотез.............................................213
8.9 Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием..............214
8.10 Сравнение двух дисперсий.........................................................................218
8.11 Сравнение двух математических ожиданий.............................................221
8.12 Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона......................225

ОТВЕТЫ...................................................................................................................232

Приложение 1. Значения функции 

!

m

a
a
P
m
e
m




....................................242

Приложение 2. Значения функции  

2 2
1
2

x
x
e





....................................244

Приложение 3. Значения функции Лапласа   
 
dt
e
x

x
t







0

2

2

2
2

.....................245

Приложение 4. Значения приведённой функции Лапласа   

 



2 2

0

2
ˆ
2

x

t
x
x
e
dt


 









........................................................................247

Приложение 5. Значения чисел q в зависимости от объема выборки п и 
надежности γ для определения доверительного интервала среднего 
квадратичного отклонения σх............................................................................. 251
Приложение 6. Критические точки распределения 
2
 .................................... 252

Приложение 7. Критические точки распределения Фишера — Снедекора.. 253
Приложение 8. t-распределение (значение fkp, соответствующее 
Р(Т > fkp) =α) ....................................................................................................... 256
Литература ........................................................................................................... 257

Предисловие

Учебное пособие охватывает традиционный курс основ теории 

вероятностей и математической статистики, а также содержит достаточно 
большое количество задач прикладного характера. 

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» яв
ляется базовой дисциплиной математического цикла федеральных государственных 
образовательных 
стандартов 
высшего 
профессионального 

образования.

Книга включает восемь глав и список литературы. Каждая глава 

пособия начинается с необходимого теоретического минимума, включающего 
основные определения, теоремы и формулы. Далее приводится блок типовых 
задач по данной теме с полным анализом хода решения, а затем предлагается 
блок аналогичных задач для самостоятельного решения.

Для обеспечения практической направленности изучения основ 

теории вероятностей и математической статистики и успешного изучения в 
дальнейшем специальных дисциплин в пособии рассмотрены задачи, 
закладывающие
фундамент для понимания экономической статистики и 

являющиеся базовым теоретическим и практическим основанием для всех 
последующих 
математических 
и 
финансово-экономических 
дисциплин 

подготовки бакалавра экономики, использующих теоретико-вероятностные и 
статистические методы анализа. Условия этих задач сформулированы таким 
образом, что для их решения не требуются знания специальных терминов, 
понятий и математического аппарата этих дисциплин, достаточно лишь знаний 
основ теории вероятностей и математической статистики. Решение некоторых 
задач повышенной сложности требует комплексного подхода, то есть 
применения математического аппарата различных разделов и тем дисциплины. 
Числовые значения тех или иных параметров в условиях задач подобраны из 
условия получения в ходе их решения вероятностных характеристик, близких к 
существующим.

Такая практическая направленность данного учебного пособия 

должна способствовать осознанию студентами взаимосвязи изучаемых в ВУЗе 
дисциплин и, в частности, важности изучения основ теории вероятностей и 
математической статистики для дальнейшего обучения.

Учебное пособие с полностью подготовлено к изданию на кафедре 

«Математика» Ставропольского государственного аграрного университета.

Глава 1  Основные понятия теории вероятностей

1.1 Опыт и события теории вероятностей. Пространство исходов опыта

При изучении и описании окружающего мира часто приходится 

встречаться с явлениями особого типа, которые принято называть случайными. 
По 
сравнению 
с 
другими, 
для 
них 
характерна 
большая 
степень 

неопределённости, непредсказуемости.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном 

воспроизведении одного и того же опыта (испытания) протекает каждый раз 
несколько по-иному.

Теорией 
вероятностей 
называется 
математическая 
наука, 

изучающая закономерности в массовых случайных явлениях. Её предметом 
являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

Одними из основных понятий теории вероятностей являются опыт и 

событие.

Под 
опытом 
(экспериментом, 
испытанием) 
будем 
понимать 

некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то 
или другое явление, фиксируется тот или другой результат.

Если результат опыта изменяется при его повторении, то говорят об 

опыте со случайным исходом (элементарным исходом).

Случайным событием (просто событием) называется всякий факт, 

который в результате опыта может произойти или не произойти.

На 
множестве 
всех 
элементарных 
исходов 
можно 
выделить 

подмножество, которое обладает заданными свойствами и определяет новое 
событие. Например, на множестве элементарных исходов при бросании 
игральной кости можно выделить подмножество таких исходов, которые 
соответствуют четному числу очков.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его 

появление влечет за собой наступление такого события. В частности, 
появлению четного числа очков при бросании игральной кости соответствуют 
элементарные исходы с цифрами 2,4,6.

Количественной 
мерой 
возможности 
появления 
некоторого 

случайного события служит вероятность.

Пусть имеется некоторое испытание. Свяжем с ним определённую 

совокупность 
исходов, 
причём 
так, 
чтобы 
в 
результате 
испытания 

осуществлялся один и только один из этих исходов. Такое множество 
называется 
пространством 
элементарных 
событий,
связанных 
с 

рассматриваемым испытанием, а входящие в множество исходы (результаты 

испытания) – точками пространства или элементарными событиями.
Пространство элементарных событий будем обозначать , а его точки – .

Замечания
1. Для одного и того же испытания пространство элементарных 

событий можно вводить, вообще говоря, различными способами.

2. Пространство  может содержать конечное или бесконечное 

множество элементарных событий.

3. Если пространство состоит из конечного или счётного множества 

точек, то его называют дискретным.

Рассмотрим некоторое пространство элементарных событий . Из 

точек его можно сформировать различные множества.

Множество, 
состоящее 
из 
каких-то 
элементарных 
событий 

пространства , называют случайным событием. Если элементарное событие 

 принадлежит событию А, то пишут 
А

, если не принадлежит, то 
А

.

Под достоверным событием понимают событие, составленное из всех 

точек данного пространства . Другими словами достоверное событие это 
событие, которое происходит при каждом испытании.

Достоверное событие будем обозначать .
Под невозможным событием понимается событие, не содержащее ни 

одного элементарного события из данного пространства . Другими словами, 
невозможное событие – событие, которое не может произойти ни при каком 
исходе  испытания. Невозможное событие будем обозначать Ø.

Два случайных события  А и В, составленные из одних и тех же 

элементарных событий, называют равными и пишут А=В, или два равных 
события при одном и том же опыте либо оба проявляются, либо оба не 
проявляются. Используется так же термин «равновозможные» события. 
Допустим, что все элементарные события, принадлежащие событию А, 
принадлежат также и событию В. В этом случае говорят, что событие А влечёт 
за собой событие В, или что событие В есть следствие события А, пишут 
А
В

.Это означает, что, когда в результате опыта происходит событие А, 

происходит и событие В (обратное, вообще говоря, неверно).

Замечания
1. Пусть А
В

и В
А

, тогда А и В состоят из одних и тех же 

элементарных событий, следовательно А=В.

2. Если А
В

и В
С

, то А
С

.

3. Каким бы ни было случайное событие А, состоящее из точек 

данного пространства элементарных событий 
, всегда имеет место 

соотношение А  . С другой стороны принято считать, что невозможное 

событие влечёт за собой любое случайное событие А, т.е. 
А
 
. Поэтому 

А
 
 .

Два события, не содержащие общих элементарных событий, называют 

несовместными. Другими словами, события называются несовместными, 
если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном 
случае события называются совместными.

События 


1
2
,
,
,
2
п
А А
А
п 
называются попарно несовместными, 

если любые два из них несовместны.

1.2 Операции над событиями

1. Противоположное событие
Событие, состоящее в непоявлении некоторого события А, называют 

противоположным по отношению к событию А и обозначают А.

Геометрически

А

А


Пусть А – попадание брошенного точечного тела в 
область А. Тогда противоположное событие А попадание в дополнительную часть А в области 
.

Замечания 
1. Событие противоположное достоверному событию является 

невозможным.

2. Сумма событий
Суммой нескольких событий 
1
2
,
,
,
п
А А
А
называется событие, 

появление которого состоит в появлении хотя бы одного из событий 

1
2
,
,
,
п
А А
А . Обозначается 
1
2

1

,
,
,

n

п
i

i

А А
А
А



 
.

Если А и В - совместные события, то их сумма А+В обозначает 

наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А
и В - несовместные события, то их сумма А+В обозначает наступление или 
события А, или события В.

Геометрически: Суммой нескольких событий 
1
2
,
,
,
п
А А
А называется

объединение множеств 
1
2
п
А
А
А



.

1
А

2
А



2
1
А
А


Пусть 
(
1,2)
iA i 
попадание в область 
iA .

В таком случае сумма 
1
2
А
А

- попадание в 

область, составленную из всех тех точек, 
которые принадлежат хотя бы одной из 
областей 
iA (область заштрихована).

Замечания

1
А
2
А


2
1
А
А


1. Для любого случайного события А 

А
А
А


и  А
А

  .

2. Если А
В

, то А
В
В


. В частности, 

А   

3. Произведение событий
Произведением нескольких событий 
1
2
,
,
,
п
А А
А называется событие, 

появление которого состоит в появлении всех событий 
1
2
,
,
,
п
А А
А . 

Обозначается 
1
2

1

n

п
i

i

А А
А
А




.

Если А,В,С – совместные события, то их произведение АВС означает 

наступление и события А, и события В, и события С.

Геометрически: Произведением нескольких событий 
1
2
,
,
,
п
А А
А

называется пересечение множеств 
1
2
1

n

п
i
i
А
А
А
А





 
.

i
А

2
А


2
1 А
А

Пусть 
(
1,2)
iA i 
попадание в область 
iA . Тогда 

1А
2
А
попадание  в область, составленную из точек 

принадлежащих как области 
1А , так и области 
2
А

(область заштрихована).

Замечания

1
А
2
А


1. Произведение 
двух 
несовместных 

событий 
1А и 
2
А есть событие невозможное, т.к. 

не имеет общих элементарных событий, т.е. 

1А
2
А =.

2. Для любого случайного события А

А А
А


и  АА  .

3.
Если А
B

, то АВ
А

. В частности 

А
А
 
.

4. Разность событий

Разностью двух событий 
1А и 
2
А называется событие, которое состоит в том, 

что событие 
1А ,  состоящее из элементарных событий, которые входят в 
1А , но 

не  входят в 
2
А . Обозначается 
1
2
А
А

или 
1
2
\
А
А .

Геометрически

1
А
2
А

Событие 
1
2
А
А

состоит 
из 

элементарных событий, принадлежащих только 
событию 
1А (область заштрихована).

5. Полная группа (полная система) событий
Говорят, что события 
1
2
,
,
,
п
А А
А образуют полную группу (полную 

систему), если при любом исходе опыта происходит одно и только одно из этих 
событий.

Замечания 

1. Из определения следует, что 
1
2
,
,
,
п
А А
А   ,


i
j
А А
i
j
 


2. События А и А образуют полную систему событий.

Решение типовых примеров

1.1 Пусть А, В, С - произвольные события.

Что означает следующие события:

а)  АВС ;

б) АВС ;

в)  А
В
С


;

г) АВС
АВС
АВС


.

Решение

а) По определению АВС - произведение трех событий ,
,
,
А В С которые 

происходят одновременно, причем  B – событие противоположное событию B,
т.е. АВС означает, что событие B не произошло, а события A и С произошли.

б) Тогда АВС - произошло только событие В.

в) А
В
С


- Произошло либо событие А, либо B, либо С, т.е. хотя бы одно из 

событий произошло.

г)  АВС
АВС
АВС


- произошло ровно два из трех событий

1.2 Опыт состоит в бросании игральной кости.

События

Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – выпадение i очков; 

А – выпадение четного числа очков;

В – выпадение нечетного числа очков;

С – выпадение числа очков, кратного трем; 

D – выпадение числа очков, большего трех;

Выразите события А, В, С и D через  Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Решение

Событие А – выпадение четного числа очков наступает тогда и только 

тогда, когда выпадает 2, 4 или 6 очков, т.е. когда наступает А2, или А4, или А6.

Это означает, что А = А2 + А4 + А6.

Рассуждая аналогично, имеем:

В = А1 + А3 + А5, С = А3 + А6 и  D = А4 + А5 + А6.