Эконометрика

ЭКОНОМЕТРИКА

УЧЕБНИК

Москва
ИНФРА-М
2017

В.А. КОЛЕМАЕВ

Допущено 
Министерством образования 
Российской Федерации в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 
«Математические методы в экономике»

УДК 330.115(075.8)
ББК 65в6я73
     К60

Р е ц е н з е н т ы:
д-р физ.-мат. наук, проф. С.А. Айвазян;
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Каштанов;
д-р экон. наук, проф. В.С. Мхитарян

Колемаев В.А.
Эконометрика : учебник / В.А. Колемаев. — М. : ИНФРА-М, 
2017. —  160 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).
ISBN 978-5-16-012763-7 (print)
ISBN 978-5-16-102228-3 (online)
Дано систематическое изложение основ эконометрики. Достаточно подробно описаны модели парной и множественной регрессии, трендовые модели, а также системы одновременных уравнений.
Включены примеры построения макроэконометрических моделей по реальным экономическим данным.
Приведены вопросы и задачи для самостоятельного решения.
Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических 
вузов, а также для научных работников, ведущих экономические 
исследования.

УДК 330.115(075.8) 
ББК 65в6я73

ISBN 978-5-16-012763-7 (print) 
 
ISBN 978-5-16-102228-3 (online) 
          © Колемаев В.А., 2004

К60

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 15.12.2016. 
Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 10,0.
ППТ30. Заказ № 00000
ТК 48650-768143-301003

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основу книги положен опыт преподавания дисциплины
«Эконометрика» в Государственном университете управления (ГУУ)
для студентов специальностей: 080105 «Финансы и кредит», 080109
«Бухгалтерский учет и аудит», 080102 «Мировая экономика», 080103
«Национальная экономика», 080600 «Статистика», 080116 «Математические методы в экономике» (в курсе «Теория вероятностей
и математическая статистика»).
Содержание учебника полностью соответствует государственному образовательному стандарту на дисциплину «Эконометрика»
по указанным специальностям. Согласно этому стандарту основа
дисциплины — это математические методы при работе с практическими эконометрическими моделями.
При написании книги автор стремился к максимально возможной доступности изложения, сохраняя при этом необходимый
уровень математической строгости.
В соответствии с образовательным стандартом книга состоит из
трех основных разделов:
1) множественная линейная регрессия (главы 1 и 2);
2) статистический анализ экономических временных рядов
(глава 3);
3) одновременные уравнения (главы 4–6).
Во введении на примере модели Клейна описаны основные
понятия эконометрической модели.
Первые три главы написаны в классическом стиле на основе
учебника автора (совместно с проф. В.Н. Калининой) «Теория
вероятностей и математическая статистика».
Третий раздел — это сердцевина книги, наиболее сложная ее
часть, в ней представлен математический аппарат для работы
с эконометрическими моделями. Теоретическая часть написана на
строгом математическом уровне, поэтому для первого чтения
рекомендуется сначала ознакомиться со сквозным примером,
приведенным в главах 4 и 5. В случае надобности следует снова
обратиться к введению, в котором описана конъюнктурная модель
Клейна.
В этом разделе установлены условия идентифицируемости
эконометрической модели, описаны методы ее идентификации,
а также показано, как можно прогнозировать с помощью идентифицированной эконометрической модели значения эндогенных
переменных.

Во всех разделах применяются матричные обозначения. Матрицы обозначаются большими буквами (при этом слева от матрицы
указывается ее размер), векторы — малыми без индексов, элементы
матриц и векторов — малыми с индексами. Окончательно единая
система обозначений переменных и коэффициентов эконометрических моделей еще не сложилась. Автор стремился использовать
наиболее удачные и применяемые большинством авторов обозначения.
Предполагается, что читатель знает основы экономической науки,
дифференциального и интегрального исчислений, теории вероятностей и математической статистики, матричного исчисления.
Формулы имеют трехступенчатую нумерацию: номер главы,
номер параграфа, номер формулы. Примеры, таблицы и рисунки —
двухступенчатую: номер главы, номер примера (таблицы, рисунка).
Для удобства читателей начало и конец выводов, доказательств
и рассуждений, приводящих к определенным результатам, отмечены соответственно пустым (незачерненным) и залитым квадратами (  и ), а начало и конец примеров — пустым и залитым
кружками (  и ).
В конце каждой главы имеются контрольные вопросы и задачи.
Автор выражает искреннюю признательность рецензентам:
д-ру физ.-мат. наук, проф., заслуженному деятелю науки России,
зам. директора ЦЭМИ РАН, зав. кафедрой эконометрики Московского международного института эконометрики, информации,
финансов и права С.А. Айвазяну, д-ру физ.-мат. наук, проф., декану
факультета прикладной математики, зав. кафедрой исследования
операций Московского государственного института электроники
и математики (технического университета) В.А. Каштанову,
д-ру экон. наук, проф., директору института статистики и эконометрики, зав. кафедрой эконометрики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ)
В.С. Мхитаряну, а также сотрудникам кафедры прикладной математики ГУУ, осуществившим компьютерный набор рукописи,
О.В. Сыщук, О.Н. Черных, Е.О. Спиваковой.

ВВЕДЕНИЕ

Эконометрические модели отражают статистические закономерности, устанавливаемые экономической наукой. Эконометрическая
модель — это система одновременных линейных алгебраических
уравнений, часть которых содержит случайные составляющие.
Последние можно трактовать как результат совокупного влияния
факторов, воздействие каждого из которых незначительно и поэтому
не может быть учтено напрямую в модели.
Эконометрические модели могут применяться как на макро-,
так и на микроуровне. Цель их применения — количественный
анализ взаимного влияния показателей, описывающих данный
экономический объект (или явление), и прогнозирование значений одних переменных (показателей) по известным значениям
других переменных.
Различают эндогенные, в том числе лаговые эндогенные, экзогенные и предопределенные переменные.
Эндогенными (выходными) называются переменные, которые
в каждый текущий момент времени t могут быть определены
с помощью модели.
Эндогенные лаговые — это такие эндогенные переменные, некоторые прошлые значения которых влияют на их текущие значения.
Экзогенные — это переменные, которые задаются извне модели.
Предопределенными (входными) называются переменные, по значениям которых определяются значения эндогенных в каждый
момент времени t.
Все уравнения, не содержащие случайную составляющую, называются балансовыми.
При построении эконометрической модели выделяются три
основных взаимосвязанных этапа: спецификация, проверка условий
идентифицируемости, идентификация. Затем конкретная модель
используется для анализа и прогноза.
Спецификация модели — выбор эндогенных и экзогенных переменных и связей между ними.
Идентифицируемость модели — возможность оценки коэффициентов модели по выборочным данным.
Идентификация модели — оценка по выборочным данным ее
коэффициентов.

В основе спецификации — глубокое качественное изучение моделируемого объекта (явления, процесса), а также возможностей
получения необходимых данных. Если на этапе проверки идентифицируемости модели устанавливается невозможность оценки всех
ее коэффициентов, то некоторыми связями между переменными
пренебрегают, уточняют состав переменных, т. е. снова возвращаются к этапу спецификации. Если в итоге модель оказывается
идентифицируемой, то переходят к ее идентификации.
Наиболее часто в экономических исследованиях применяется
конъюнктурная модель Клейна, разработанная в начале 50-х гг. ХХ в.
для США. Проиллюстрируем все вышесказанное на этой модели.

Конъюнктурная модель Клейна

      

C
c
c P
c P
c W
W
M
D

I
i
i P
i P
i K
M
D

W
w
w Y
w Y
w t

t
t
t
t
P
t
G
t
t
t

t
t
t
t
t
t
t

t
P
t
t

=
+
+
+
+
(
) +
=
=

=
+
+
+
+
=
=

=
+
+
+

−

−
−

−

0
1
2
1
3
1
1
1
1
2

0
1
2
1
3
1
1
2
2
2
2

0
1
2
1
3

0

0

ε
ε
ε
σ

ε
ε
ε
σ

,
,
,

,
,
,

+
=
=

=
+
+

=
−
−

=
+
=

⎧

⎨

⎪
⎪
⎪⎪

⎩

⎪
⎪
⎪
⎪
−

ε
ε
ε
σ
t
t
t

t
t
t
t

t
t
t
t
P

t
t
t

M
D

Y
C
I
G

P
Y
T
W

K
K
I
t
n

3
3
3
3
2

1

0

1

,
,
,

,

,

,
,
,
,
K

где
Ct — потребление;
It — чистые инвестиции;

  Wt
P — заработная плата в частном секторе;

  Wt
G — заработная плата в государственном секторе;

Yt — валовой внутренний продукт (без чистого экспорта
и прироста запасов);
Pt — общая прибыль;
Kt — капитал;
Gt — государственные расходы;
Tt — общий сбор налогов.

Как видим, в модели девять переменных и шесть уравнений.

В число эндогенных переменных входят Ct, It,   Wt
P, Yt, Pt, Kt, всего
их шесть, т. е. ровно столько, сколько уравнений! Три из этих
шести переменных Yt, Pt, Kt являются лаговыми эндогенными, поскольку в текущий момент t в уравнениях принимают участие
также прошлые значения этих переменных Yt–1, Pt–1, Kt–1.

Экзогенными переменными являются   Wt
G, Gt, Tt, t. Эти переменные вместе с прошлыми значениями лаговых эндогенных пере
менных Yt–1, Pt–1, Kt–1 образуют набор   Wt
G, Gt, Tt, t, Yt–1, Pt–1, Kt–1
предопределенных переменных.

Первые три уравнения содержат случайные составляющие     εt
1,

    ε
ε
t
t
2
3
,
, последние три таких составляющих не содержат, поэтому
являются балансовыми.
Модель Клейна, идентифицированная по данным Канады за
1955–1975 гг., имеет следующий вид* (все стоимостные показатели
указаны в млрд долл. в ценах 1975 г.):

    

C
P
P
W
W

I
P
P
K
W
Y
Y
t

t
t
t
t
P
t
G
t

t
t
t
t
t

t
P
t
t
t

=
+
+
+
+
(
) +
=

=
+
+
−
+
=
=
+
−
+
+

−

−
−

−

1 407
0 694
0 1
0 855
1 7

2 215
0 433
0 947
0 34
3 85
11 624
0 779
0 159
0 698

1
1
1

1
1
2
2

1
3

,
,
,
,
,
, ,

– ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

ε
σ

ε
σ
ε ,
,
,
,
,
.

σ3

1

1 87
=
=
+
+
=
−
−
=
+

⎧

⎨

⎪
⎪
⎪⎪

⎩

⎪
⎪
⎪⎪
−

Y
C
I
G
P
Y
T
W
K
K
I

t
t
t
t

t
t
t
t
P

t
t
t

Из модели, в частности, видно, что увеличение текущей прибыли на 1 млрд долл. приводит к среднему увеличению потребления
на 694 млн долл., а такое же увеличение фонда заработной платы
в частном и государственном секторах — к среднему росту потребления на 855 млн долл. На рост инвестиций наибольшее влияние
оказывает прибыль прошлого года, а на рост фонда заработной
платы в частном секторе — ВВП текущего года, кроме того, имеется тенденция среднегодового роста этого фонда на 698 млн долл.
Таким образом, характерной чертой эконометрической модели
является наличие в системе ее уравнений хотя бы одного уравнения со случайной составляющей. В частности, вся система может
состоять только из одного уравнения со случайной составляющей,
тогда имеем дело с множественной линейной регрессией.
Другой особенностью эконометрической модели является то,
что она идентифицируется по временной выборке, при этом в некоторых из переменных может присутствовать временной тренд.

* Расчеты по модели выполнила в 2002 г. студентка Оттавского университета
и заочной формы обучения (экстернат) ГУУ по специальности «Финансовый
менеджмент» А.Н. Князева. Данные предоставлены статистическим институтом
Канады — STATS CANADA (Federal Covernment).

Поэтому другим частным случаем эконометрической модели служит
модель временного ряда с трендом.
И модель множественной линейной регрессии, и модель временного ряда с трендом — это хорошо изученные объекты. Изучение
проводилось в рамках математической статистики с использованием простого и обобщенного методов наименьших квадратов.
Новые проблемы возникли при работе с моделями, в которых
содержится более одного уравнения со случайными составляющими.
По мере преодоления этих проблем выяснилось, что после определенных преобразований задача идентификации такой модели
сводится к решению нескольких задач множественной регрессии.
Итак, с одной стороны, модель множественной регрессии —
это частный случай эконометрической модели, с другой — фундамент
для изучения общей эконометрической модели.
Дальнейшее изложение построено следующим образом: сначала
детально излагаются методы работы с моделями множественной
регрессии и временного ряда с трендом, затем подробно изучаются
системы одновременных уравнений. Именно такая последовательность предусмотрена государственным образовательным стандартом
по дисциплине «Эконометрика».

Г л а в а  1

ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Модель парной линейной регрессии имеет вид

    y
y x
x
=
+
=
+
+
˜( )
,
ε
α
α
ε
0
1

где
у — зависимая переменная (предиктор);
х — независимая переменная (регрессор);

    ˜( )
y x
x
=
+
α
α
0
1
— детерминированная составляющая;
ε — случайная составляющая (случайный остаток),
Mε = 0, Dε = σ2;
α0, α1 — параметры регрессии, которые должны быть
определены по выборочным данным.

Параметр α1 показывает, на сколько единиц в среднем изменится зависимая переменная (например, выпуск продукции в стоимостном выражении), если независимая переменная (например,
число занятых) увеличится на единицу.
Независимая переменная x — неслучайная величина, a зависимая переменная y — случайная величина, поскольку в нее входит
случайная составляющая ε.
Поскольку изменение только одной независимой переменной x,
вообще говоря, не может вобрать в себя все источники вариации
зависимой переменной y, то случайная составляющая ε отражает
совокупное влияние на зависимую переменную всех других (кроме x)
факторов.

1.1. Идентификация модели

Оценка параметров регрессии (идентификация) проводится либо
по пространственной (yj, xj), j = 1, ..., n, либо по временно´й выборке
(yt, xt), t = 1, ..., n. В первом случае носителями информации
выступают разные (но в определенном смысле однотипные) экономические объекты, рассматриваемые в один и тот же момент
времени. Во втором случае носителем информации служит один
и тот же объект в разные моменты времени. Реже используется
пространственно-временная выборка.
Итак, пусть для определенности имеется конкретная пространственная выборка объема n: (yj, xj), j = 1, ..., n, тогда в случае

справедливости модели парной регрессии имеют место следующие
n соотношений (выборочных уравнений):

      y
x
j
n
j
j
j
=
+
+
=
α
α
ε
0
1
1
,
,
, .
K
(1.1.1)

Эти соотношения трактуются по-разному для конкретной
и случайной выборок. В п е р в о м  случае каждое выборочное
наблюдение (yj, xj) — это просто пара чисел или точка в двумерном
пространстве, поэтому в соотношениях (1.1.1) ej = yj – (α0 + α1xj) —
конкретные числа, являющиеся реализациями случайных величин εj.
Во в т о р о м  случае εj — настоящие случайные величины, поэтому
и yj также являются случайными величинами. Потребность во
второй трактовке возникает тогда, когда необходимо проверить
качество полученных оценок, а это можно сделать лишь путем
перебора всех возможных ситуаций, т. е. по случайной выборке.
В последнем случае обычно делается предположение о  некоррелированности  разных значений εj  и   ′ε j , т. е.

cov (εj,   ′ε j ) = 0 при j j ′.

Для получения оценок   ˆ , ˆ
α
α
0
1 применяется метод наименьших
квадратов (МНК): подбираются такие значения параметров, при
которых сумма квадратов отклонений фактических значений от
выравненных была бы минимальной, т. е.

    
Q
y
x
j
j

n

j
(
,
)
(
)
min.
α
α
α
α
0
1
1
0
1
2
=
−
−
→
=∑
(1.1.2)

Под выравненным значением зависимой переменной для j-го
наблюдения понимается значение

    ˆ
ˆ
ˆ
,
y
x
j
j
=
+
α
α
0
1
(1.1.3)

лежащее на прямой     y
x
=
+
ˆ
ˆ
α
α
0
1 , параметры которой выбраны
по МНК.
С геометрической точки
зрения минимизация суммы
квадратов отклонений (1.1.2)
означает 
выбор 
прямой
(из всех прямых с параметрами α0, α1), которая ближе
всего «прилегает» по ординатам к системе выборочных точек (yj, xj), j = 1, ..., n,
что показано на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Геометрическая интерпретация
метода наименьших квадратов

МНК-прямая
y

yj

xj
x

  ˆy j