Нелинейные волновые уравнения в оптике

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

И.И. Корель

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ

УРАВНЕНИЯ В ОПТИКЕ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 535.12 : 517.9(075.8)

К 663

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. Е.А. Титов,

д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Дмитриев

Работа выполнена на кафедре лазерных систем

Корель И.И.

К 663
Нелинейные волновые уравнения в оптике : учеб. пособие / 

И.И. Корель. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. – 40 с.

ISBN 978-5-7782-1334-0

Рассматриваются уравнения распространения оптических импуль
сов в резонансных и диспергирующих средах. Представлены численные методы их решения.

Предназначено для студентов физико-технического факультета.

УДК 535.12 : 517.9(075.8)

ISBN 978-5-7782-1334-0 
© Корель И.И., 2010
© Новосибирский государственный 

технический университет, 2010 

ВВЕДЕНИЕ

Нелинейные волновые уравнения в оптике описывают распростра
нение импульсов в средах различной физической природы, с различным типом взаимодействия в системе электромагнитное поле–среда. 
Частным решением подобного круга задач является образование солитонов и солитоноподобных волновых пакетов. В резонансной задаче 
примером образования солитонов служит эффект самоиндуцированной 
прозрачности (СИП), в слабодиспергирующих средах (оптических волокнах) существуют солитонные решения нелинейного уравнения 
Шрѐдингера. 

Пособие посвящено рассмотрению уравнений распространения 

импульсов в резонансной и диспергирующей средах и методам их решения. 

В главе 1 рассматривается взаимодействие оптического поля с 

двухуровневой резонансной средой в полуклассическом приближении, 
где атом имеет квантовую природу (т.е. дискретные уровни энергии), а 
поле описывается классически, с помощью уравнений Максвелла. 
Приводится решение самосогласованной системы Максвелла–Блоха, 
описывающее эффект самоиндуцированной прозрачности. Глава 2 посвящена задаче о распространении импульсов в оптических волокнах и 
нелинейному уравнению Шрѐдингера. Глава 3 содержит обзор численных методов решения дифференциальных уравнений с частными производными в нелинейной оптике.

Глава 1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА

В ДВУХУРОВНЕВОЙ СРЕДЕ

1.1. Оптические уравнения Блоха

Первоначально уравнения Блоха были получены применительно к 

изучению магнитного резонанса. Причина, по которой эти уравнения 
часто используют для описания процессов, связанных со взаимодействием оптических полей и резонансных сред, состоит в том, что существует прямая аналогия между двухуровневым атомом и частицей со 
спином 1/2 во внешнем магнитном поле.

Рассмотрим взаимодействие изолированного двухуровневого атома 

с внешним полем. Динамику атома можно описать в представлении 
Шрѐдингера или Гейзенберга. Воспользуемся операторным уравнением Гейзенберга, поскольку простота коммутационных соотношений 
матриц Паули значительно упрощает вывод динамических уравнений:

ˆ
ˆ
ˆ
,
.
i O
O H



Здесь ˆO – любой оператор, а ˆH – гамильтониан, который для атома, 
взаимодействующего с полем, можно записать следующим образом:

ˆ
ˆ
ˆ ˆ ( )
A
H
H
d E r .

Здесь ˆd – оператор дипольного момента атома; ˆ ( )
E r
– оператор элек
трического поля; 
A
H
– гамильтониан невозмущенной системы с дис
кретным спектром.

Оператор дипольного момента эрмитов:

ˆ
ˆ
0
i
ˆ
,
ˆ
ˆi
0

d
d
d

d
d

r
i

r
i

а значит, его можно представить с помощью матриц Паули следующим 
образом:

1
2
σ .
σ
d
d
d
r
i

Запишем гамильтониан невозмущенной системы.

2
1
2
1
3

2
.
1
σ
2
2

A
H
W
W I
W
W

Здесь 
2
W – энергия верхнего состояния; 
1
W – энергия нижнего состоя
ния; I – единичный оператор.

В результате с помощью уравнения Гейзенберга получим для мат
риц Паули следующую систему из трех дифференциальных уравнений:

0
2
3
1

2
,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
σ
σ
σ
d
E




i

0
1
3
2

2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
σ
σ
σ
r
d
E



,

1
2
3

2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
σ
σ
σ
r
d
E
d
E





i
.

Здесь 
2
1

0

W
W


.

Операторная природа полученных дифференциальных уравнений 

предполагает сложные динамические законы, поэтому имеет смысл 
перейти к уравнениям для средних значений, пренебрегая всеми возможными корреляциями:

ˆ ( )
i
i
s t
t
.

Уравнения для компонент вектора 
t
s
запишутся в виде

1
0 2
3

2
( )
( )
( )
s t
s t
s t
d
E




i
,

2
0 1
3

2
( )
( )
( )
s t
s t
s t
d
E




i
,

3
1
2

2
2
( )
( )
(t)
s t
s t
s
r
d
E
d
E





i
.

Вектор 
t
s
называют вектором псевдоспина, имея в виду анало
гию Фейнмана с прецессией спина при магнитном резонансе. Для его 
компонент выполняется закон сохранения:

2
2
2

1
2
3
1
s
t
s
t
s
t
.

Продолжая аналогию с теорией магнитного резонанса, можно 

представить прецессию твердого тела под действием некоторого вращающего момента. Тогда три уравнения для компонент 
t
s
окажутся 

эквивалентны векторному:

( )
d
t
dt s
s,

где 
– вращающий момент.

В свою очередь, вектор вращающего момента удобно представить 

в виде суммы трех вращающих моментов (рис. 1.1), один из которых 
направлен по оси 3, два других лежат строго в плоскости 1–2:

( )
( )
3 ,    
3

0
(0, 0,
) ,

( )
(
cos(
),
sin(
), 0)
R
t
R
t
,    
( )
(
cos(
),
sin(
), 0)
R
t
R
t
,

где 
2d
R
E

.

Рис. 1.1. Движение вектора псевдоспина

s

Оказывается, что можно пренебречь компонентой 
( ) и в соответ
ствующих уравнениях движения 
заменить на сумму оставшихся 

компонент. Этот метод называется приближением вращающейся волны, он значительно упрощает вид уравнений движения. 

Другой упрощающий уравнения метод, которым стоит воспользо
ваться при переходе с помощью соответствующей матрицы поворота 
от вектора 
t
s
к другому (квазистационарному) вектору 
с компо
нентами (u, v, w) во вращающейся системе координат:

1

2

3

cos(
)
sin(
)
0

sin(
)
cos(
)
0

0
0
1

u
t
t
s

v
t
t
s

w
s

.

Уравнения движения для компонент псевдоспина станут очень 

простыми:

0
,
u
v


0
,
v
u
Rw


.
w
Rv


Мы получили так называемые оптические уравнения Блоха, опи
сывающие динамику диполя и населенности верхнего энергетического 
уровня во внешнем поле. Физический смысл величин u, v, w следующий: u – синфазная с полем, v – квадратурная компоненты атомного 
дипольного момента в единицах дипольного момента d, w – разность 
населенностей, т. е. вероятность нахождения атома в верхнем энергетическом состоянии, ее часто называют инверсией.

1.2. Система уравнений Максвелла–Блоха

В предыдущем параграфе были рассмотрены оптические уравнения 

Блоха, описывающие динамику двухуровневого атома в стационарном 
внешнем поле. Для описания взаимодействия поля с резонансной 
двухуровневой средой нужно учесть влияние среды на поле и возможную переменность самого поля. Решение подобных задач часто осуществляется в так называемом полуклассическом приближении, где динамика поля описывается классическим уравнением Максвелла, через 

поляризацию связанным с нелинейными оптическими уравнениями 
Блоха, имеющими квантовую природу.

Прежде всего рассмотрим волновое уравнение Максвелла:

2
2

2

2
2
2
2

0

1
1
( , )
( , )
ε

t
t
c
t
c
t

P r
E r
.

Полагая поле линейно-поляризованным и распространяющимся 

вдоль оси z, можно избавиться от векторов и упростить уравнение, 
сведя его к одномерному случаю: 

2
2
2

2
2
2
2
2

0

1
1
( , )
( , )
ε

P z t
E z t
z
c
t
c
t
.

Следующим упрощением будет переход к приближению медленно 

меняющихся амплитуд (ПММА). Суть этого метода состоит в представлении поля и поляризации произведением огибающей и быстро 
осциллирующего на частоте оптической волны члена: 

,
,
к.с.,

i
t kz
E z t
z t e


,
,
к.с.

i
t kz
P z t
z t e


Для огибающей 
,z t

верны следующие соотношения:

2

2

2

,
,
,
,
z t
z t
k
z t
k
z
z










2

2

2

,
,
,
.
z t
z t
z t
t
t










Те же соотношения справедливы и для 
,z t

. Опуская промежу
точные выкладки, можно получить следующие соотношения: 

2
2

2
2
2

1
1
2
к.с.

i
t kz
E
ik
e
z
c
t
z
c
t





,

2

2

2
,
к.с.

i
t kz
P
z t e
t


Далее, сокращая быстро осциллирующие члены, понизим порядок 

и приведем уравнение Максвелла к упрощенному виду:

0

1

2
ik

z
c t


 .

Теперь из огибающей поля выделим фазовый член:

( , )
( , )
( , )
i
z t
z t
z t e


,

( )
( , )
t
z t

.

Представим поляризацию через плотность атомов N:

( , )
1
,
(
)
2

i
z t
z t
Nd u
iv e

.

Запишем окончательную систему уравнений Максвелла, которая в сочетании с оптическими уравнениями Блоха образует самосогласованную систему уравнений, описывающую распространение резонансного 
поля в среде двухуровневых атомов:

1

2
R
v
z
c t
,

1

2
R
u
z
c t
,

u
v


,

v
u
Rw


,

v
w
R

.

В уравнениях Блоха учтена динамическая фаза ( , )
z t , которая вле
чет за собой расстройку частоты  . В системе использовались коэф
фициенты: 

2

0

2
,
Nd
d
R
c


 , 
0
Δ
.

1.3. Распространение импульса. Теорема площадей

Описание взаимодействия двухуровневого атома со средой, вообще 

говоря, требует введения в уравнения Блоха феноменологических постоянных затухания, связанных с продольной и поперечной релаксацией атома. Эти постоянные определяют время затухания инверсии и дипольного момента. Для простоты мы и впредь не будем их учитывать. 
Это приближение оправдано для ультракоротких импульсов, длительность которых существенно меньше характерных времен релаксации, 
т. е. если длительность импульса лежит в интервале от 
8
10
до 
13
10
с. 

В этом интервале приближение медленно меняющихся амплитуд законно, а времена релаксации малы.

Рассмотрим уравнения Блоха для прохождения импульса при точ
ном резонансе (
0 ):

v
Rw

,

w
Rv

.

Эта система имеет следующее решение:

,
sinΘ( , )
v t z
t z ,

,
cosΘ( , )
w t z
t z .

Здесь через интеграл поля по времени введем понятие площади импульса:

Θ ,
,

t

t z
R t z dt .

Теперь рассмотрим случай, когда 
0 . Предположим, что нере
зонансные диполи реагируют на поле так же, как и резонансные, но с 
меньшей амплитудой. Это предположение обеспечит законность следующей факторизации:

, , Δ
, , 0
(Δ)
v t z
v t z
F
.