Разностные схемы в задачах газовой динамики на неструктурированных сетках

УДК 532.529
ББК 22.253
Р 17

А в т о р с к и й к о л л е к т и в :
В о л к о в К. Н., Де рю г и н Ю. Н., Е м е л ь я н о в В. Н., Ко з е л к о в А. С.,
Те т е р и н а И. В.

Разностные схемы в задачах газовой динамики на неструктурированных сетках / Под ред. проф. В.Н. Емельянова, д.ф.-м.н. К.Н. Волкова. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. — 416 с. — ISBN 978-5-9221-1609-1.

Дается обзор и разрабатываются разностные схемы и численные методы, предназначенные для решения нестационарных задач газовой динамики
в областях сложной геометрической конфигурации на неструктурированных
сетках. Излагаются вопросы, связанные с построением разностных схем (схемы
TVD, ENO и WENO), и обсуждается проблема соотношения между точностью
расчетов и порядком аппроксимации разностных схем. Рассматриваются алгоритмические методы повышения точности расчетов, достоинства и недостатки
явных и неявных разностных схем, а также особенности их практического
применения. Приводится решение ряда задач газовой динамики на неструктурированных сетках.
Для научных работников, занимающихся исследованиями газовой динамики, а также преподавателей, аспирантов и студентов соответствующих специальностей высших учебных заведений.

ISBN 978-5-9221-1609-1

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2015

c⃝ Коллектив авторов, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Г л а в а 1.
Принципы построения и реализации разностных схем . .
17
1.1. Сеточные методы и разностные схемы. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.1. Сетки и сеточные функции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов . .
21
1.1.3. Методы построения разностных схем . .. . . . . . . . . . . . . .. .
22
1.1.4. Операторные методы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.1.5. Примеры разностных схем
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.2. Свойства разностных схем. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.2.1. Нормы и операторы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
31
1.2.2. Сходимость
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.2.3. Аппроксимация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.2.4. Устойчивость . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.2.5. Связь аппроксимации, устойчивости и сходимости . .. . . . . .
35
1.2.6. Другие свойства . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.3. Дифференциальное приближение разностной схемы . .. . . . . . . . .
40
1.3.1. Дифференциальное приближение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.2. Качественный анализ . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.3.3. Разностная схема для уравнения переноса . .. . . . . . . . . . . .
54
1.3.4. Ошибки численного решения
. .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
56
1.4. Устойчивость разностных схем. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
1.4.1. Некоторые математические понятия . .. . . . . . . . . . . . . . . .
57
1.4.2. Спектральный признак устойчивости
. .. . . . . . . . . . . . . . .
58
1.4.3. Уравнение диффузии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
1.4.4. Устойчивость по начальным данным . .. . . . . . .. . . . . . . . . .
61
1.4.5. Условие Куранта–Фридрихса–Леви
. .. . . . . . . . . . . . . . . .
64
1.4.6. Различные виды устойчивости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.5. Разностные схемы для гиперболических уравнений . .. . . . . . . . . .
67
1.5.1. Уравнение переноса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.5.2. Волновое уравнение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
73
1.5.3. Метод распада разрыва
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.6. Разностные схемы для параболических уравнений. .. . . . . . . . . . .
83
1.6.1. Особенности параболических задач
. .. . . . . . . . . . . . . . . .
83
1.6.2. Метод прогонки . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
1.6.3. Двумерные задачи . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
86
1.6.4. Метод дробных шагов и схемы расщепления . .. . . . . . . . . .
88
1.6.5. Трехмерные задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
1.6.6. Схемы факторизации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
1.7. Разностные схемы для эллиптических уравнений . .. . . . . . . . . . .
94
1.7.1. Уравнение Пуассона . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
94

Оглавление

1.7.2. Прямые методы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
1.7.3. Итерационные методы
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
1.7.4. Методы установления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
1.7.5. Аппроксимация граничных условий
. .. . . . . . . . . . . . . . . .
99

Г л а в а 2.
Методы расчета потоков и реконструкции функций . . .. .
102
2.1. Математическое моделирование в задачах газовой динамики . .. . .
103
2.2. Численные методы газовой динамики . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
2.3. Методы расчета разрывных решений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
2.3.1. Методы с выделением разрывов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
2.3.2. Методы сквозного счета . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
2.4. Решение задачи о распаде произвольного разрыва . .. . . . . . . . . . .
121
2.4.1. Формулировка задачи
. .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
2.4.2. Решение задачи
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
2.4.3. Выбор начального приближения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
2.4.4. Решения для различных конфигураций . .. . . . . . . . . . . . . .
129
2.4.5. Определение решения на разрыве
. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
131
2.4.6. Обобщенная задача Римана
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
2.4.7. Численные методы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
2.5. Методы, основанные на точном решении задачи Римана. .. . . . . . .
137
2.5.1. Задача Римана . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
2.5.2. Структурированная сетка . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
138
2.5.3. Неструктурированная сетка
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
2.5.4. Повышение порядка точности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
2.6. Методы, основанные на приближенных решениях задачи Римана. .
142
2.6.1. Методы расчета потоков . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
2.6.2. Метод HLL
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
144
2.6.3. Метод HLLC
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
2.6.4. Метод HLLE
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
2.6.5. Метод WAF . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
2.6.6. Метод Рое . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
2.6.7. Метод Ошера . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
2.7. Реконструкция функций и ограничители . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
150
2.7.1. TVD-схемы
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
150
2.7.2. Процедура реконструкции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
2.7.3. Ограничители наклона . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
2.7.4. Реконструкция в многомерном случае . .. . . . . . . . . . . . . . .
154
2.7.5. Особенности реализации
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
2.8. Диаграмма нормализованных переменных . .. . . . . .. . . . . . . . . . .
156
2.8.1. Разностный шаблон . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
2.8.2. Исходные переменные . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
2.8.3. Нормализованные переменные . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
2.8.4. Выбор формы записи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
159
2.8.5. Критерии качества . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
2.8.6. Линейные разностные схемы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
2.8.7. Нелинейные разностные схемы
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
2.8.8. Семейство kappa-схем
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177

Оглавление
7

2.9. Сетка с неравномерным шагом . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
2.9.1. Ограничители потока . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
2.9.2. Нормализованные переменные . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
2.9.3. Условие симметричности
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
2.9.4. Неоднородная сетка . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
2.9.5. Тестовая задача
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
2.10. Неструктурированная сетка . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
2.10.1. Метод обобщения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
2.10.2. Семейство Gamma-схем
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
2.11. Энтропийная коррекция . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194

Г л а в а 3.
Построение
и
реализация
разностных
схем
ENOи WENO-типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
3.1. Дискретизация уравнений газовой динамики . .. . . . . . . . . . . .. . .
198
3.1.1. Методы дискретизации
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
3.1.2. Конечно-разностные методы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
3.1.3. Конечно-объемные методы
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
3.1.4. Конечно-элементные методы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
3.1.5. Спектральные методы
. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
203
3.1.6. Связи между различными подходами . .. . . . . . . . . . . . . . .
206
3.1.7. Стоимость реализации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
3.1.8. Построение сетки . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
3.2. Монотонизированные разностные схемы . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
209
3.3. Схемы ENO и WENO. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
3.3.1. Схемы высокого порядка точности . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
216
3.3.2. Схемы ENO . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
3.3.3. Схемы WENO
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
219
3.4. Конечно-разностные и конечно-объемные ENO- и WENO-схемы на
структурированных сетках . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
3.4.1. Подход к реализации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
3.4.2. Обзор разностных схем
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
3.4.3. Реконструкция и аппроксимация в одномерном случае . .. . . .
224
3.4.4. ENO-аппроксимация в одномерном случае . .. . . . . . . . . . . .
229
3.4.5. WENO-аппроксимация в одномерном случае . .. .. . . . . . . . .
233
3.4.6. Скалярные уравнения
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
3.4.7. Системы уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
3.4.8. Реконструкция и аппроксимация в многомерном случае . .. . .
243
3.4.9. ENO- и WENO-аппроксимации в многомерном случае . .. . . .
245
3.4.10. ENO- и WENO-схемы в многомерном случае . .. . . . . . . . .
245
3.4.11. Сравнение конечно-разностной и конечно-объемной дискретизации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
246
3.5. Дискретизация по времени . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
3.5.1. Методы Рунге–Кутты
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
3.5.2. Многошаговые методы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
3.5.3. Неявные схемы . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
250
3.5.4. Методы ускорения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
3.5.5. Многосеточные методы
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252

Оглавление

3.6. Построение реконструкции высокого порядка точности . .. . . . . . .
253
3.6.1. Реконструкция решения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
3.6.2. Полиномиальная интерполяция . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
3.6.3. Построение шаблона . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
3.6.4. Выбор весовых множителей
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
3.6.5. Интерполяция высокого порядка точности . .. . . .. . . . . . . . .
262
3.7. Реализация конечно-объемной WENO-схемы на треугольной сетке
263
3.7.1. Метод конечных объемов и реконструкция решения . .. . . . .
263
3.7.2. Линейная схема 3-го порядка
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
3.7.3. Линейная схема 4-го порядка
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
3.7.4. Схема WENO . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268
3.7.5. Индикаторы гладкости и нелинейные весовые множители
. .
269
3.7.6. Особенности реализации
. .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
270
3.7.7. Выбор весовых множителей . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
3.7.8. Вычислительные затраты
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
3.7.9. Частный случай
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273

Г л а в а 4.
Применение неявных разностных схем . . . . . . . . . . . . .
277
4.1. Особенности дискретизации . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
4.2. Применение неявных разностных схем и решение системы разностных уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
4.2.1. Дискретизация по времени . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
4.2.2. Реализация неявных схем . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
4.2.3. Ускорение сходимости . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
4.2.4. Шаг по времени . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
4.2.5. Параллелизация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
4.3. Неявные схемы приближенной факторизации . .. . . . . . . . . . . . . .
301
4.3.1. Особенности реализации
. .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
4.3.2. Схема с линеаризацией по времени
. .. . . . . . . . . . . . . . . .
302
4.3.3. Безытерационные схемы приближенной факторизации . .. . . .
303
4.3.4. Безытерационные схемы приближенной факторизации, использующие характеристические переменные . .. . . . . . . . . .
306
4.3.5. Итерационные схемы приближенной факторизации . .. . . . . .
307
4.3.6. Расчет производных от вектора потока . .. . . . . . . . . . . . . .
311
4.3.7. Определения операторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312

Г л а в а 5.
Результаты численных расчетов . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
314
5.1. Сходимость и порядок точности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315
5.2. Решение модельных уравнений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316
5.2.1. Уравнение конвективного переноса . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
317
5.2.2. Уравнение Бюргерса
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
5.3. Одномерные задачи газовой динамики. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
5.3.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
5.3.2. Обзор задач . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
5.3.3. Решения тестовых задач . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
337
5.4. Течение в ударной трубе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
5.5. Течение в канале с сужением. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346

Оглавление
9

5.6. Сверхзвуковое течение в канале со ступенькой . .. . . . . . . . . . . . .
349
5.6.1. Обзор задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350
5.6.2. Геометрия и сетка . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
351
5.6.3. Решение задачи
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353
5.7. Отражение ударной волны от стенки. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
5.7.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
5.7.2. Регулярное отражение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
358
5.7.3. Маховское отражение
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
361
5.8. Взаимодействие отраженной ударной волны с пограничным слоем
367
5.8.1. Обзор задачи . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
367
5.8.2. Геометрия и сетка . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
368
5.8.3. Решение задачи
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369
5.9. Течение в сопле Лаваля . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
374
5.9.1. Режимы течения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375
5.9.2. Метод предобусловливания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375
5.9.3. Схемы расчета потоков . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
5.10. Сравнение времени счета . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
380
5.11. Соотношение между точностью расчетов и порядком аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
381

Заключение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
384

Список литературы . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386

Введение

Для
многих
практических
приложений
характерны
течения
со сложной разномасштабной структурой потока (ударные волны, контактные разрывы, волны разрежения, взаимодействие скачков уплотнения, мелкомасштабная турбулентность, отрывные зоны, когерентные структуры), что требуется учитывать при разработке соответствующих вычислительных методов для надлежащего разрешения
мелкомасштабных особенностей потока.
Попытки достичь заданной точности численного решения только
за счет увеличения числа узлов или ячеек сетки приводят к таким
затратам времени счета и компьютерной памяти, которые оказываются
предельными для самых мощных из современных компьютеров. Проблема уменьшения требований к компьютерным ресурсам (процессорное время и машинная память) и ускорения газодинамических расчетов
остается одной из основных задач вычислительной газовой динамики
(Computational Fluid Dynamics, CFD), не теряя своей актуальности
с совершенствованием вычислительной техники, поскольку потребности практики опережают рост возможностей компьютеров.
Эффективность, экономичность и масштабируемость вычислительных алгоритмов, предназначенных для численного решения уравнений
газовой динамики, в существенной степени зависят от типа конечноразностных схем (явная или неявная), порядка аппроксимации (низкий
или высокий), шаблона разностной схемы (фиксированный или нет)
и других факторов.

Разностные схемы в газовой динамике
Одна из особенностей задач газовой динамики связана с возможностью образования разрывов решения (образование разрывов возможно
даже в том случае, когда начальные данные представляют собой гладкие функции), что накладывает на используемые разностные схемы
специфические требования. Эффективность того или иного численного
метода зависит от того, каким образом организуется расчет скачков
уплотнения и волн разрежения.
Численное решение уравнений Эйлера и Навье–Стокса при высоких
скоростях потока сопряжено со значительными трудностями, связанными с наличием в потоке сильных ударных волн и других газодинамических разрывов. Применение к расчету таких течений классических центрально-разностных методов неизбежно приводит к появлению осцилляций решения вблизи фронта ударной волны, которые
в дальнейшем распространяются по всей расчетной области и приводят
к неустойчивости численного решения задачи. Такие дефекты сходимо

Введение
11

сти хорошо известны в математике как явление Гиббса, возникающее
при разложении в ряд Фурье разрывной функции. Данная проблема
связана с вычислением конвективных членов уравнений Навье–Стокса
при достаточно высоких числах Рейнольдса, когда невозможно разрешение внутренней структуры ударной волны (получение гладкого
решения, которое определяется физической вязкостью).
Для преодоления недостатков разностных схем с искусственной
вязкостью (сильное размазывание зоны перехода, немонотонность численного решения) используются разностные схемы высокого порядка
аппроксимации. Классические схемы 2-го порядка, например, схема
Лакса–Вендроффа, приводят к немонотонным решениям в зонах скачков газодинамических переменных и требуют подбора диссипативных
членов для подавления нефизических осцилляций. Среди схем высокого порядка аппроксимации широкое распространение получили схемы
с многоточечными шаблонами, компактные разностные схемы, схемы,
полученные с использованием различных форм дифференциальных
уравнений и их следствий.
Схемы TVD (Total Variation Diminishing), в основу которых положен принцип невозрастания полной вариации решения, лишены этого
недостатка. Для обеспечения принципа невозрастания полной вариации решения применяются нелинейные функции-ограничители потоков. Способ получения схем высокого порядка аппроксимации состоит
во введении антидиффузионных потоков, обеспечивающих выполнение
условия TVD. Схемы TVD не приводят к образованию нефизических
осцилляций решения в областях разрывов искомых функций. При
этом повышенный порядок аппроксимации достигается на гладких
функциях, а на газодинамических разрывах порядок аппроксимации
снижается до первого.
Появление ENO (Essentially Non-Oscillatory) и WENO (Weighted
ENO) разностных схем привело к значительному улучшению качества
численных решений по сравнению с классическими разностными методами фиксированного порядка точности.
Для численного интегрирования уравнений газовой динамики применяются явные и неявные конечно-разностные схемы, которые являются равноправными элементами вычислительного алгоритма, а выбор
той или иной схемы входит в задачу оптимизации вычислительного
алгоритма.
Достоинства явных методов состоят в простоте их программной реализации, в том числе, в простоте распараллеливания вычислительной
процедуры. Практическое использование явных разностных схем ограничивается существенными затратами процессорного времени, необходимого для расчета течений в протяженных пространственно-временн ´ых областях. Условие устойчивости явной схемы требует выполнения условия Куранта во всех ячейках сетки, поэтому шаг интегрирования по времени определяется размером самой мелкой ячейки.

Введение

Применение неявных разностных схем позволяет преодолеть ограничения на число Куранта, существующие для явных методов. При
этом выбор шага по времени не ограничивается числом Куранта, а расчеты на мелких сетках становятся возможными с достаточно крупным
шагом по времени. Недостатки неявных методов заключаются в необходимости решения систем нелинейных алгебраических уравнений,
что порождает ряд дополнительных проблем, связанных, например,
с необходимостью хранения матриц большого размера. Дополнительные трудности возникают при распараллеливании вычислительных алгоритмов, основанных на применении неявных разностных схем. При
решении некоторых задач (например, при решении нестационарных задач для быстропротекающих процессов) требование точности приводит
к более жесткому ограничению на шаг по времени, чем условие Куранта. В таких ситуациях применение явных разностных схем оказывается
предпочтительным. Выбранный метод линеаризации системы разностных уравнений (метод запаздывающих коэффициентов, метод итерационной замены коэффициентов, линеаризация по Ньютону, метод экстраполяции коэффициентов), полученных в результате дискретизации
уравнений Эйлера или Навье–Стокса, оказывает влияние на свойства
матрицы коэффициентов системы разностных уравнений и способ ее
решения.
Для повышения эффективности вычислительного алгоритма находят применение различные способы организации вычислений, в частности, многосеточные методы, различные способы факторизации матрицы
системы линейных уравнений, методы предобусловливания, локальный
шаг по времени.

Структура и содержание

Тема численного решения задач газовой динамики является необъятной, а поток литературы по данной теме громадный, и полный обзор
работ по этой теме представляется практически невозможным. Без
особых усилий можно назвать больше десятка зарубежных научных
журналов, каждый номер которых содержит не одну статью, посвященную численным методам газовой динамики. К наиболее авторитетным журналам такого рода относится Journal of Computational Physics
(Elsevier Inc).
Обзоры по данной проблеме (существуют даже обзоры обзорных
работ) и монографии включают ссылки на многие сотни оригинальных
работ, что не позволяет провести здесь даже их беглый анализ. Обзор
публикаций ограничивается лишь анализом наиболее значимых идей,
предложенных при разработках различных численных методов и подходов, отсылая читателя за более детальным описанием, например,
к монографиям Рождественского и Яненко 1), Магомедова и Холодо
1) Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений.
М.: Наука, 1978.

Введение
13

ва 1), Самарского и Попова 2), Куликовского, Погорелова и Семенова 3)
и многочисленным оригинальным работам, ссылки на которые в них
приведены.
С одной стороны, наличие большого числа публикаций, связанных
с численным решений уравнений газовой динамики, является свидетельством важности данного класса задач, а с другой стороны, говорит
об отсутствии универсального и удовлетворяющего всем предъявляемым пользователями требованиям метода.
В данной монографии рассматривается лишь несколько направлений, связанных с численным решением задач газовой динамики.
Монография состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на разделы и подразделы. Формулы, рисунки
и таблицы нумеруются внутри каждой главы (указывается номер главы
и порядковый номер).
В главе 1 рассматриваются общие вопросы теории разностных схем,
методы построения разностных схем и способы повышения порядка
аппроксимации. Приводятся основные свойства разностных схем (сходимость, аппроксимация, устойчивость, консервативность, экономичность) и связи между ними, а также дается представление о некоторых
методах исследования устойчивости и сходимости. На основе дифференциальных приближений разностных схем проводится качественный
анализ ряда модельных уравнений, играющих важную роль в численных методах газовой динамики. Формулируются общие принципы построения разностных схем заданного качества для решения уравнений
различного класса. Основные положения теории, а также особенности
построения и реализации разностных схем иллюстрируются на задачах
для дифференциальных уравнений гиперболического, параболического
и эллиптического типа.
В главе 2 обобщаются данные по линейным и нелинейным разностным схемам в исходных и нормализованных переменных, а также
приводится структура ограничителей потока для ряда разностных схем
на неравномерной сетке. Формулируются основные критерии, предъявляемые к таким разностных схемам, и исследуются их свойства
на основе диаграммы нормализованных переменных и разностного
шаблона, зависящего от локального направления потока на грани
контрольного объема. Выделяются разностные схемы, удовлетворяющие условию TVD, а также критериям конвективной ограниченности
и универсального ограничителя потока. Предлагается подход, позволя
1) Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные
методы. М.: Наука, 1988.
2) Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой
динамики. М.: Наука, 1992.
3) Куликовский А.Г., Погорелов
Н.В., Семенов А.Ю. Математические
вопросы
численного
решения
гиперболических
систем
уравнений.
М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2001.

Введение

ющий записать разностные схемы на неструктурированной сетке с использованием диаграммы нормализованных переменных. Обсуждается
ряд вопросов, связанных с дискретизацией производных по времени,
построением и реализацией разностных схем расчета потоков повышенной разрешающей способности, методы решения задачи о распаде
произвольного разрыва.
В главе 3 описываются численные методы решения нестационарных задач газовой динамики, основанные на использовании ENOи WENO-схем высокого порядка точности. Рассматриваются вопросы
построения схем высокой разрешающей способности, проблема соотношения между точностью расчетов и порядком аппроксимации разностных схем, алгоритмические методы повышения точности расчетов.
Обсуждаются вычислительные особенности, а также преимущества
и недостатки ENO- и WENO-методов по сравнению с другими подходами к дискретизации уравнений Эйлера и Навье–Стокса.
В главе 4 излагаются достоинства и недостатки различных неявных
разностных схем и особенности их эффективной реализации. Рассматриваются методы линеаризации уравнений Эйлера и Навье–Стокса,
и обсуждаются методы решения систем разностных уравнений. К наиболее популярным разностным схемам относятся методы переменных
направлений, методы LU-разложения и итерационные методы типа
Гаусса–Зейделя. При построении данных методов для нелинейных
уравнений газовой динамики применяются линеаризация якобиана,
приближенная факторизация и диагонализация неявного оператора,
а также приближенные методы неявной реализации граничных условий. Разрабатываются итерационные разностные схемы на основе концепции псевдо-времени при помощи добавления в исходные нестационарные уравнения дополнительного члена, аналогичного производной
по времени от вектора консервативных переменных, и выполнения
на каждом шаге по физическому времени итераций по фиктивному
времени.
В главе 5 проводится решение уравнений математической физики,
допускающих разрывные решения, и широкого круга задач газовой
динамики, связанных с моделированием сверхзвуковых течений идеального и вязкого сжимаемого газа. Полученные численные решения
сравниваются с экспериментальными данными и документированными
численными решениями, что позволяет дать оценку точности используемых разностных схем. Монотонизирующая коррекция производных
обеспечивает монотонность численного решения в окрестности разрыва. С одной стороны, она предотвращает образование новых экстремумов, обеспечивая свойство монотонности, а с другой, приводит
к сглаживанию существующих минимумов и максимумов и потере точности. Обсуждается проблема соотношения между точностью расчетов
и порядком аппроксимации разностных схем.
В заключении формулируются основные выводы, даются рекомендации по практическому применению разработанных разностных схем

Введение
15

и численных методов, а также обсуждаются некоторые направления
дальнейших исследований.
Список литературы дается в конце книги в алфавитном порядке
и содержит 486 источников.

Практическое применение

Разработки и результаты, приведенные в монографии, были получены авторами в Балтийском государственном техническом университете
«Военмех» им. Д.Ф. Устинова (БГТУ, Санкт-Петербург) и в институте
теоретической и математической физики Российского федерального
ядерного центра (ФГУП «РФЯЦ–ВНИИЭФ» ИТМФ, Саров).
В ходе выполнения ряда проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований, были получены и обобщены результаты моделирования турбулентных течений вязкого сжимаемого
газа в различных технических и технологических приложениях, а также разработаны современные вычислительные технологии, основанные
на применении неструктурированных сеток и параллельных систем
обработки данных.
Часть результатов, представленных в книге, получена в ходе реализации в ФГУП «РФЯЦ–ВНИИЭФ» проекта «Развитие суперкомпьютеров и грид-технологий». Этот проект был принят к реализации
в период с 2010 по 2012 годы по результатам обсуждения на заседании
Комиссии при Президенте Российской Федерации по модернизации и
технологическому развитию экономики, состоявшемся на базе ФГУП
«РФЯЦ–ВНИИЭФ» в городе Саров 22 июля 2009 года.
Проект «Развитие суперкомпьютеров и грид-технологий» направлен
на решение стратегически важных и сложных задач создания отечественных суперкомпьютерных технологий имитационного моделирования на современных суперкомпьютерах с массовым параллелизмом
и доведения этих технологий до уровня массового внедрения в высокотехнологичные отрасли промышленности.
В рамках данного проекта был разработан отечественный пакет
программ ЛОГОС, предназначенный для решения сопряженных трехмерных задач конвективного тепломассопереноса, аэродинамики, гидродинамики и прочности на параллельных компьютерах. Пакет программ ЛОГОС активно используется при решении важных практических задач в ведущих высокотехнологичных отраслях промышленности, в таких как авиастроение, атомная энергетика, автомобилестроение и ракетно-космическая отрасль.
Пакет программ ЛОГОС позволяет проводить расчеты с использованием до 100000 процессоров со средней эффективностью распараллеливания вычислений около 75 % (поддерживаются возможности
использования как массивно-параллельных компьютеров, так и графических процессоров общего назначения). Это в несколько сотен раз
ускоряет время проведения отдельного расчета и расширяет возможности проведения многовариантных расчетов. Пакет программ ЛОГОС

Введение

не имеет отечественных аналогов, и его создание направлено на поэтапное замещение в высокотехнологичных отраслях промышленности
зарубежных программ имитационного моделирования.
Идеи, методы и результаты, изложенные в монографии, нашли отражение при реализации в пакете программ ЛОГОС методов расчета вычислительной гидро- и аэродинамики повышенной разрешающей способности с использованием многосеточных технологий и графических
процессоров. Реализация в рамках пакета программ ЛОГОС методов,
представленных в данной книге, позволила увеличить скорость газодинамических расчетов в трехмерных областях сложной геометрической
конфигурации на произвольных неструктурированных сетках.
Другая часть результатов, представленных в книге, получена в рамках реализации в ФГУП «РФЯЦ–ВНИИЭФ» и БГТУ совместного проекта «Исследование потенциала суперкомпьютеров для масштабируемого численного моделирования задач газо- и гидродинамики в индустриальных приложениях», поддержанного РФФИ (проект
13-07-12079). В рамках проекта разрабатываются эффективные средства расчета отрывных турбулентных течений, основанные на использовании современных подходов к описанию турбулентности, таких как
моделирование крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES), моделирование отсоединенных вихрей (Detached Eddy Simulation, DES) и прямое численное моделирование (Direct Numerical Simulation, DNS). Реализация численных методов осуществляется на неструктурированных
сетках, состоящих из многогранников произвольной формы, на суперкомпьютерах петафлопного класса.
Полученные результаты и программные разработки использованы
на кафедре плазмогазодинамики и теплотехники БГТУ при подготовке лабораторных практикумов по специальностям «Гидродинамика»
и «Авиационная и аэрокосмическая теплотехника» (курсы «Численное
моделирование в механике жидкости и газа», «Динамика вязкой жидкости», «Моделирование высокоинтенсивных процессов», «Математическое моделирование процессов в аэрокосмической технике», «Двухфазные течения»).
Авторы будут благодарны за замечания и уточнения, которые можно присылать на адрес кафедры плазмогазодинамики и теплотехники Балтийского государственного технического университета (190005,
Санкт-Петербург, ул. 1-ая Красноармейская, д. 1) или на адрес ФГУП
«РФЯЦ–ВНИИЭФ» ИТМФ (607188, Нижегородская обл., Саров,
пр. Мира, д. 37).

Г л а в а 1

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И РЕАЛИЗАЦИИ
РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Многие задачи газовой динамики и теплообмена приводят к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных. Метод конечных разностей и метод конечных объемов позволяют сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических (разностных) уравнений.
Разностная схема представляет собой набор алгебраических соотношений и уравнений, поставленных в соответствие какой-либо
дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение,
начальные и граничные условия. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению, получаются
применением того или иного разностного метода, что отличает теорию
разностных схем от других численных методов решения краевых задач
для дифференциальных уравнений (например, проекционных методов,
таких как метод Галеркина). Формальное определение не накладывает
существенных ограничений на вид разностных уравнений, но на практике имеет смысл рассматривать лишь те разностные схемы, которые
в определенном смысле отвечают исходной дифференциальной задаче.
Важными понятиями теории разностных схем являются сходимость,
аппроксимация, устойчивость и консервативность.
Разностные схемы рассматриваются как операторные или операторно-разностные уравнения с линейными операторами, зависящими от
шага разностной сетки и заданными на линейном нормированном пространстве любого числа измерений.
В теории разностных схем обычно используется предположение
о том, что решение исходной задачи для дифференциального уравнения существует и имеет нужное по ходу изложения число производных, обеспечивающее максимальный порядок аппроксимации. Перечень условий, обеспечивающих требуемую гладкость решения, обсуждается в общей теории дифференциальных уравнений.
В данной главе рассматриваются общие вопросы теории разностных
схем, методы построения разностных схем и способы повышения порядка аппроксимации. Излагаются основные свойства разностных схем
(сходимость, аппроксимация, устойчивость, консервативность, экономичность) и связи между ними, а также дается представление о неко