Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е. А. КРАСНОПЕВЦЕВ

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

В ПРИЛОЖЕНИЯХ К ФИЗИКЕ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 530.145.6(075.8)

К 782

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор А.А. Величко;

д-р физ.-мат. наук, доцент В.А. Гайслер;

д-р физ.-мат. наук, профессор В.Г. Дубровский

Работа подготовлена на кафедре

полупроводниковых приборов и микроэлектроники НГТУ

для студентов РЭФ

Краснопевцев Е. А.

К 782     Квантовая механика в приложениях к физике твердого тела : учебное 

пособие / Е.А. Краснопевцев. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. –
355 с. (Серия «Учебники НГТУ»).
ISBN 978-5-7782-1464-4

Изложены физические и математические основы квантовой механики и их приме-

нение в физике твердого тела, в полупроводниковых структурах. Приводятся примеры, 
иллюстрирующие теоретические положения, и задачи для самостоятельной работы. Из-
дание предназначено для студентов инженерно-технических специальностей, присту-
пающих к изучению микро- и наноэлектроники.

УДК 530.145.6(075.8)

ISBN 978-5-7782-1464-4                                                      
Краснопевцев Е.А., 2010
Новосибирский государственный
технический университет, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ......................................................................................................................................7

Глава 1. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА .............................................9

1.1. Волновые свойства света.....................................................................................................9
1.2. Корпускулярные свойства света.......................................................................................12
1.3. Волна де Бройля.................................................................................................................14
1.4. Квантование Бора–Зоммерфельда....................................................................................16
1.5. Заряд в магнитном поле.....................................................................................................17
Примеры 1..................................................................................................................................24

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ...........................31

2.1. Волновая функция..............................................................................................................31
2.2. Операторы...........................................................................................................................32
2.3. Собственные функции и собственные значения оператора...........................................34
2.4. Эрмитовость оператора .....................................................................................................36
2.5. Условие ортонормированности. Среднее значение ........................................................39
2.6. Соотношение неопределенностей ....................................................................................42
2.7. Унитарный оператор. Операторы трансляции и эволюции ...........................................46
2.8. Уравнение Шрѐдингера.....................................................................................................49
2.9. Быстрота изменения величины.........................................................................................53
2.10. Ток вероятности...............................................................................................................55
2.11.Матрица плотности...........................................................................................................59
Примеры 2..................................................................................................................................63
Задачи 1......................................................................................................................................79

Глава 3. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ.........................................................83

3.1. Одномерные стационарные состояния.............................................................................83
3.2. Граничные условия для прямоугольных потенциалов ...................................................88
3.3. Потенциальная яма ............................................................................................................91
Примеры 3..................................................................................................................................94
3.4. Линейный гармонический осциллятор ..........................................................................112
3.5. Квазиклассическое квантование ВКБ ............................................................................120
3.6. Одномерное рассеяние ....................................................................................................125
3.7. Туннельный эффект .........................................................................................................127
Примеры 4................................................................................................................................130
3.8. Электрон в периодической структуре............................................................................145
3.9. Локализация Андерсона ..................................................................................................158
3.10. Уровни Тамма.................................................................................................................161
Задачи 2....................................................................................................................................163

Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ...............................................................................................167

4.1. Операторы момента импульса ........................................................................................168
4.2. Сферическая функция......................................................................................................170
4.3. Момент импульса и оператор Лапласа в f-мерном пространстве................................174
Примеры 5................................................................................................................................178
Задачи 3....................................................................................................................................181

ОГЛАВЛЕНИЕ
6

Глава 5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ 

СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ .................................................................................183

5.1. Уравнение Шрѐдингера в сферических координатах...................................................184
5.2. Уравнение Шрѐдингера в цилиндрических координатах.............................................188
5.3. Водородоподобный атом.................................................................................................190
Примеры 6................................................................................................................................197

Глава 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ...................................................................................213

6.1. Стационарное возмущение невырожденных состояний ..............................................213
Примеры 7................................................................................................................................218
6.2. Стационарное возмущение вырожденных состояний ..................................................225
6.3. Зависящее от времени возмущение................................................................................229
Примеры 8................................................................................................................................236
6.4. Вариационный метод.......................................................................................................240
Примеры 9................................................................................................................................243

Глава 7. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ.........................249

7.1. Градиентное преобразование..........................................................................................249
7.2. Квантовая частица и электромагнитное поле................................................................252
7.3. Уровни Ландау .................................................................................................................256
7.4. Эффект Ааронова–Бома ..................................................................................................261
7.5. Квантование электромагнитного излучения..................................................................266
Примеры 10..............................................................................................................................271

Глава 8. СПИН ЭЛЕКТРОНА .....................................................................................................287

8.1. Операторы спина и спиноры...........................................................................................288
Примеры 11..............................................................................................................................294
8.2. Уравнение Паули .............................................................................................................304
8.3. Тождественность микрочастиц и принцип Паули ........................................................311
8.4. Обменное взаимодействие ..............................................................................................315
Задачи 4....................................................................................................................................319

Глава 9. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА–ВЕЙЛЯ. ГРАФЕН .............................................................323

9.1. Получение и свойства графена .......................................................................................323
9.2. Уравнение Дирака–Вейля................................................................................................328
9.3. Графен в магнитном поле................................................................................................336
9.4. Эффект Клейна.................................................................................................................338
9.5. Графеновые наноленты ...................................................................................................341

Приложения......................................................................................................................................345

1. Физические постоянные .....................................................................................................345
2. Интегралы............................................................................................................................346
3. Дифференциальное уравнение обобщенного гипергеометрического типа ...................348
4. Ортогональные полиномы..................................................................................................349

Библиографический список ............................................................................................................351
Предметный указатель.....................................................................................................................353

ВВЕДЕНИЕ

В микро- и наноэлектронике используются полупроводниковые гетеро-

структуры в виде квантовых ям, нитей, точек, периодических структур, через 
которые распространяются микрочастицы – электроны, дырки, квазичасти-
цы. Такие системы с характерным размером порядка микро- и нанометра 
проявляют квантовые свойства, которые выглядят парадоксально с точки 
зрения классической физики: общее сопротивление последовательно соеди-
ненных элементов не равно сумме сопротивлений; частица проходит через 
барьер, превышающий ее энергию; воздействие на частицу системы в пере-
путанном состоянии мгновенно влияет на другие частицы, на каком бы рас-
стоянии они ни находились; частица движется сразу по нескольким путям; в 
двумерном электронном газе в магнитном поле существуют квазичастицы с 
дробным электрическим зарядом 
/ 3
e
, 
/ 5
e
, 
5 / 2
e
,... Только на основе 

квантовой механики объясняется магнетизм вещества и наблюдается вектор-
ный потенциал электромагнитного поля. Квантовая теория формирует новое 
физическое мировоззрение. Использование квантовых режимов работы при-
боров микро- и наноэлектроники делает квантовую механику инженерной 
дисциплиной. Она практически значима – около 30 % национального про-
дукта США базируется на изобретениях, ставших возможными благодаря 
квантовой механике (Scient. Amer., 2003, V. 284, № 2, 54–61). Микрохаракте-
ристики объектов физики твердого тела сложны и анализируются на основе 
упрощенных теорий и эмпирических оценок в рамках прикладной физики. 
В то же время квантовый эффект Холла и свойства низкоразмерных систем 
не зависят от деталей устройств, выражаются через мировые постоянные и 
относятся к фундаментальной физике.

Квантовые свойства проявляются в системах, для которых существенна 

постоянная h, введенная Максом Планком (1858–1947) в 1900 г. Размерность h
соответствует произведению импульса на координату. В результате импульс 
частицы связан с характерной длиной , введенной Луи Виктором де Бройлем 
(1892–1987) в 1923 г. Поведение частицы, локализованной при помощи экра-
нов и барьеров в области порядка , существенно отличается от классического 
корпускулярного и носит волновой характер. Аналогично свету у частицы об-
наруживаются волновые или корпускулярные свойства в зависимости от соот-
ношения между длиной волны де Бройля и характерным масштабом r экспе-
риментальной установки: при 
~ r
проявляются волновые свойства, при

r

– корпускулярные.

ВВЕДЕНИЕ
8

В классической теории физическая характеристика описывается числом, 

получаемым при измерении. В квантовой механике физической величине ста-
вится в соответствие линейный самосопряженный оператор, действующий в 
пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций. Множество 
таких волновых функций, для которых определено скалярное произведение,
образует гильбертово пространство. Оно включает все возможные состояния 
частицы. Каждому результату измерения величины ставится в соответствие 
собственное значение и собственная функция оператора. Операторы разделя-
ются на взаимно коммутирующие и некоммутирующие. Последние описывают 
физические величины, неизмеримые одновременно с высокой точностью. На-
пример, не коммутируют операторы проекций координаты и импульса на ось. 
Определенной координатой характеризуется объект в виде локализованной 
частицы, определенным импульсом – в виде волны. Корпускулярное и волно-
вое описания одновременно не совместимы, соответствующие операторы не 
коммутируют, отвечающие им физические величины измеряются с ограничен-
ной точностью. Последнее выражается полученным Вернером Гейзенбергом 
(1901–1976) в 1927 г. соотношением неопределенности: чем точнее измеря-
ется положение частицы, тем больше неопределенность импульса, и наоборот. 
Квадрат модуля волновой функции в некоторой точке равен вероятности об-
наружения частицы в единице объема около этой точки. Разложение волновой 
функции по ортонормированному базису, соответствующему некоторой физи-
ческой величине, дает вероятности получения при измерении соответствую-
щих значений этой величины. Волновая функция частицы во внешнем поле 
находится решением уравнения Шрѐдингера – дифференциального уравне-
ния с частными производными второго порядка, которое установил Эрвин 
Шрѐдингер (1887–1961) в 1926 г. Теория описывает стационарные и нестацио-
нарные системы в виде частиц во внешних полях, атомов, молекул, кристал-
лов. В отличие от классической механики квантовая теория дает для ряда ве-
личин лишь средние значения и вероятности тех или иных результатов.

В настоящем издании рассмотрены и обоснованы положения и методы 

квантовой механики, имеющие практические применения в физике твердого 
тела, в микро- и наноэлектронике. Теория проиллюстрирована примерами ре-
шений задач. Приведены задачи для самостоятельной работы. Издание пред-
назначено для студентов инженерно-физических специальностей, изучивших 
курсы: «Общая и прикладная физика», «Математический анализ», «Методы 
математической физики».

Используется система единиц СИ. Масса обозначается знаком , напря-

женность электрического поля – E.

Г л а в а 1

ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ 

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

кспериментальные и теоретические исследования, выполненные на 
рубеже ХIX–ХХ вв., дали основание для проведения аналогии между 

светом и веществом. Свет проявляет корпускулярно-волновую двойствен-
ность, т. е. в зависимости от длины волны и особенностей экспериментальной 
установки при измерении обнаруживаются волновые или корпускулярные 
свойства. Дуализм света обнаружил Альберт Эйнштейн (1879–1955) в 1909 г. 
при теоретическом исследовании теплового излучения в полости, где флук-
туация энергии складывается из волновой и корпускулярной составляющих. 
Идеи и методы описания света служат основой для полуклассической кванто-
вой механики, сохраняющей понятие траектории частицы.

1.1. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

Если свет распространяется в пространстве от источника до регистратора 

по разным путям и они не контролируются, а характерные размеры преград 
сопоставимы с длиной волны, то проявляются волновые свойства – интерфе-
ренция и дифракция. Чем однозначнее выявляется путь, по которому свет до-
шел до регистратора, тем менее контрастна интерференционная картина из-за 
возмущения складывающихся волн и нарушения их когерентности (т. е. согла-
сованности фаз), вносимого контролирующим устройством. Если устанавли-

Э

Глава 1. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
10

вается, что свет определенно проходит по одному из путей, то интерференция 
исчезает.

Свет – это электромагнитная волна. Магнитная составляющая волны 

практически не воздействует на заряды, движущиеся со скоростями, гораздо 
меньшими скорости света, поэтому волну характеризуем электрической со-
ставляющей A(x, t). Если поляризация несущественна, то плоская гармониче-
ская волна, распространяющаяся вдоль оси x, имеет вид

(
)

0
( , )
i k x
t
A x t
A e
, 
(1.1)

где А0 – амплитуда; 
2 /T
– круговая частота, Т – период колебаний; 

2 /
k
– волновое число, т. е. модуль волнового вектора, λ – длина волны; 

( , )
x t
kx
t – текущая фаза.

Плотность энергии в вакууме, т. е. усредненная по времени энергия 

единицы объема, пропорциональна квадрату амплитуды

2
2

0
0
0

1
1
|
|
2
2
E
A
A
. 
(1.2)

Интерференция. Если гармоническая волна разделяется на две волны 

с одинаковыми амплитудами, которые проходят пути x1 и x2 в вакууме, а за-
тем накладываются друг на друга, то в области наложения амплитуда резуль-
тирующего колебания зависит от разности фаз 
, или разности хода 

2
1
2
x
x
x
. При

x
n, 

2
2
x
n ,     
0, 1, 2,...
n
, 
(1.3)

смещения в складывающихся волнах происходят в фазе и амплитуда удваива-
ется. Плотность энергии (1.2) в четыре раза больше, чем у каждой из состав-
ляющих, и наблюдается максимум интерференции. Если в точке наложения 
волн

1
2
x
n
,      
2 n
,      
0, 1, 2,...
n
,

то приходящие волны колеблются в противофазе, результирующая амплитуда 
и плотность энергии равны нулю – возникает минимум интерференции.

1.1. Волновые свойства света
11

Дифракция. На экран со щелью шириной 
y
b, показанный на 

рис. 1.1, падает вдоль оси x плоская волна. До экрана проекции волнового век-
тора и неопределенности положения и волнового вектора по оси y:

2

x
k
,     
0
y
k
,     y
,     
0
y
k
.

y

kx

k

ky

kx

b

ky

sinc(
2 )
bk  /
y

ky

Рис. 1.1. Дифракция на щели

Сразу после щели амплитуда волны относительно оси y описывается прямо-
угольной функцией 

1, |
|
/ 2,

0, |
|
/ 2.

y
b
y

y
b
b

Ее спектр, т. е. фурье-образ:

sin(
/ 2)
sinc
/ 2
2

y
ik y
y
y

y

bk
bk
y
e
dy
b
b
b
bk
,

имеет существенное значение в интервале

2

y
k
b .

Следовательно, из-за ограничения волновой поверхности интервалом

y
b

волна отклоняется от первоначального направления, т. е. дифрагирует в преде-
лах характерного угла

2
2
2

y

x

k

k
b
b .

Глава 1. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
12

Поэтому чем уже щель, тем сильнее дифракция. При малой длине волны 

y
b 
получаем 
1
 . Следовательно, дифракция несущественна, свет 

описывается геометрической оптикой, т. е. проявляет корпускулярные свойства.

Соотношения неопределенностей. После экрана неопределенности 

проекции волнового вектора 
y
k
и положения волны δy связаны соотношени-

ем

2
y
y k
. 
(1.4)

Используя 
2
k
C
, где ν – частота волны; С – скорость света, находим вариа-

ции 
2
k
C
, y
t
C
и из (1.4) получаем

1
t
. 
(1.5)

Этот результат является теоремой о частотной полосе для преобразования 
Фурье, связывающей длительность сигнала с полосой частот его фурье-образа.

1.2. КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

При взаимодействии света с веществом, когда происходит его поглоще-

ние, свет ведет себя не как «бьющая о берег волна», передающая энергию всей 
преграде, а как поток квантов фотонов, регистрируемых «щелчками» в от-
дельных точках. Свет характеризуется числом фотонов, их энергией, импуль-
сом и поляризацией. Дискретность энергии теплового излучения, поглощаемо-
го или испускаемого телом, теоретически обнаружил Макс Планк в 1900 г.
При поглощении фотона электроном металла ему передается энергия и им-
пульс фотона и возникает фотоэффект – выбивание электрона из металла. 
При меньшей энергии фотона возможен внутренний фотоэффект или фотохи-
мическая реакция. При большой энергии наблюдается эффект Комптона –
электрон поглощает фотон и переходит в виртуальное состояние, затем излу-
чает другой фотон и переходит в конечное состояние.

Фотон имеет единичный спин – собственный угловой момент и является 

бозоном. Это вызывает взаимное «притяжение» фотонов, имеющее интер-
ференционную природу. На интервалах времени, меньших времени коге-
рентности, фотоны регистрируются группами. Если направить со стороны 1 

1.2. Корпускулярные свойства света
13

или 2 на делитель в виде полупрозрачного зеркала M
на рис. 1.2 одиночный фотон, то он регистрируется де-
тектором 
1
D или 
2
D
с вероятностью 1/2. В экспери-

менте, который выполнили C.K. Hong, Z.Y. Ou, L. Man-
del в 1987 г., два фотона с одинаковой центральной 
частотой и поляризацией падали на делитель одновре-
менно с направлений 1 и 2. Оказалось, что каждый де-
тектор регистрировал или два, или ни одного фотона, и 
никогда не появлялся одиночный фотон.

Пропускание по одному фотону через интерферометр с несколькими пу-

тями распространения света дает в совокупности интерференционную картину 
на экране. Следовательно, фотон движется в интерферометре одновременно 
разными путями и обнаруживает квантовую нелокальность.

Источник, испускающий одиночные фотоны, создали П. Грэнджер, Г. Род-

жер и А. Аспе в 1986 г. Излучатель одиночных фотонов разработан совместно 
Институтом физики полупроводников СО РАН (В.А. Гайслер с сотрудниками) и 
Техническим университетом Берлина (D. Bimberg с сотрудниками) в 2006 –
2009 годах. Полупроводниковая квантовая точка InAs помещена в брэгговский 
микрорезонатор. Рекомбинация электрически управляемого экситона (связан-
ного состояния электрона и дырки) в квантовой точке дает одиночную линию 

960 нм. Диаметр апертуры резонатора 0,9 мкм, добротность 
3
10 , ток на-

качки 870 пА. Подается ~5 электронов за наносекунду, переход в квантовой 
точке вызывается одним электроном, частота следования фотонов ~1 гГц.

Энергия и импульс фотона. По формуле Планка энергия фотона 

пропорциональна частоте волны


, 
(1.6)

где использовано обозначение Поля Дирака

2
h

.

В механике модуль импульса ультрарелятивистской частицы связан с энергией 
соотношением 
/
p
C , где С – скорость света. Учитывая 
/
2 /
C
k , из 

(1.6) получаем, что модуль импульса фотона обратно пропорционален дли-
не волны

h
p
k

. 
(1.7)

M

D1

D2

1

2

Рис. 1.2. Делитель 

излучения

Глава 1. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
14

Этот результат обосновал А. Эйнштейн в 1916 г. Учитывая (1.1), (1.6) и (1.7), 
выражаем плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x, через энергию и 
импульс фотона

0
( , )
exp
(
)
i
A x t
A
px
t

. 
(1.8)

Соотношения неопределенностей. Из (1.4), (1.7) и (1.5), (1.6) полу-

чаем

,

.

y
y p
h

t
h

(1.9)

Чем точнее измеряется координата кванта, тем неопределеннее соответ-
ствующая проекция импульса; чем меньше длительность излучения фо-
тона, тем больше неопределенность его энергии.

Средняя концентрация фотонов выражается через плотность энер-

гии (1.2) 
2
|
|
E
n
A


. Следовательно, вероятность обнаружения фотона в 

единице объема, или плотность вероятности, пропорциональна квадрату 
модуля волны

2
( , )
|
( , ) |
w
t
A
t
r
r

. 
(1.10)

Приведенные результаты относятся к скалярной модели света, где не сущест-
венна тензорная природа электромагнитных характеристик.

1.3. ВОЛНА ДЕ БРОЙЛЯ

Луи де Бройль в 1924 г. выдвинул гипотезу о том, что корпускулярно-

волновая двойственность присуща не только свету, но и частицам вещества, 
при этом основные формулы для них совпадают. Из (1.8) получаем, что части-
це массой , движущейся вдоль оси x в поле с потенциальной энергией 
( )
U x
и 

с полной энергией 
2 / (2 )
( )
E
p
U x , ставится в соответствие волна де 

Бройля, или волновая функция:

0
( , )
exp
(
)
i
x t
px
Et

, 
(1.11)