Квантовая механика в приложениях к физике твердого тела

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е. А. КРАСНОПЕВЦЕВ

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

В ПРИЛОЖЕНИЯХ К ФИЗИКЕ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 530.145.6(075.8)

К 782

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор А.А. Величко;

д-р физ.-мат. наук, доцент В.А. Гайслер;

д-р физ.-мат. наук, профессор В.Г. Дубровский

Работа подготовлена на кафедре

полупроводниковых приборов и микроэлектроники НГТУ

для студентов РЭФ

Краснопевцев Е. А.

К 782     Квантовая механика в приложениях к физике твердого тела : учебное 

пособие / Е.А. Краснопевцев. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. –
355 с. (Серия «Учебники НГТУ»).
ISBN 978-5-7782-1464-4

Изложены физические и математические основы квантовой механики и их приме
нение в физике твердого тела, в полупроводниковых структурах. Приводятся примеры, 
иллюстрирующие теоретические положения, и задачи для самостоятельной работы. Издание предназначено для студентов инженерно-технических специальностей, приступающих к изучению микро- и наноэлектроники.

УДК 530.145.6(075.8)

ISBN 978-5-7782-1464-4                                                      
Краснопевцев Е.А., 2010
Новосибирский государственный
технический университет, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ......................................................................................................................................7

Глава 1. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА .............................................9

1.1. Волновые свойства света.....................................................................................................9
1.2. Корпускулярные свойства света.......................................................................................12
1.3. Волна де Бройля.................................................................................................................14
1.4. Квантование Бора–Зоммерфельда....................................................................................16
1.5. Заряд в магнитном поле.....................................................................................................17
Примеры 1..................................................................................................................................24

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ...........................31

2.1. Волновая функция..............................................................................................................31
2.2. Операторы...........................................................................................................................32
2.3. Собственные функции и собственные значения оператора...........................................34
2.4. Эрмитовость оператора .....................................................................................................36
2.5. Условие ортонормированности. Среднее значение ........................................................39
2.6. Соотношение неопределенностей ....................................................................................42
2.7. Унитарный оператор. Операторы трансляции и эволюции ...........................................46
2.8. Уравнение Шрѐдингера.....................................................................................................49
2.9. Быстрота изменения величины.........................................................................................53
2.10. Ток вероятности...............................................................................................................55
2.11.Матрица плотности...........................................................................................................59
Примеры 2..................................................................................................................................63
Задачи 1......................................................................................................................................79

Глава 3. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ.........................................................83

3.1. Одномерные стационарные состояния.............................................................................83
3.2. Граничные условия для прямоугольных потенциалов ...................................................88
3.3. Потенциальная яма ............................................................................................................91
Примеры 3..................................................................................................................................94
3.4. Линейный гармонический осциллятор ..........................................................................112
3.5. Квазиклассическое квантование ВКБ ............................................................................120
3.6. Одномерное рассеяние ....................................................................................................125
3.7. Туннельный эффект .........................................................................................................127
Примеры 4................................................................................................................................130
3.8. Электрон в периодической структуре............................................................................145
3.9. Локализация Андерсона ..................................................................................................158
3.10. Уровни Тамма.................................................................................................................161
Задачи 2....................................................................................................................................163

Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ...............................................................................................167

4.1. Операторы момента импульса ........................................................................................168
4.2. Сферическая функция......................................................................................................170
4.3. Момент импульса и оператор Лапласа в f-мерном пространстве................................174
Примеры 5................................................................................................................................178
Задачи 3....................................................................................................................................181

ОГЛАВЛЕНИЕ
6

Глава 5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ 

СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ .................................................................................183

5.1. Уравнение Шрѐдингера в сферических координатах...................................................184
5.2. Уравнение Шрѐдингера в цилиндрических координатах.............................................188
5.3. Водородоподобный атом.................................................................................................190
Примеры 6................................................................................................................................197

Глава 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ...................................................................................213

6.1. Стационарное возмущение невырожденных состояний ..............................................213
Примеры 7................................................................................................................................218
6.2. Стационарное возмущение вырожденных состояний ..................................................225
6.3. Зависящее от времени возмущение................................................................................229
Примеры 8................................................................................................................................236
6.4. Вариационный метод.......................................................................................................240
Примеры 9................................................................................................................................243

Глава 7. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ.........................249

7.1. Градиентное преобразование..........................................................................................249
7.2. Квантовая частица и электромагнитное поле................................................................252
7.3. Уровни Ландау .................................................................................................................256
7.4. Эффект Ааронова–Бома ..................................................................................................261
7.5. Квантование электромагнитного излучения..................................................................266
Примеры 10..............................................................................................................................271

Глава 8. СПИН ЭЛЕКТРОНА .....................................................................................................287

8.1. Операторы спина и спиноры...........................................................................................288
Примеры 11..............................................................................................................................294
8.2. Уравнение Паули .............................................................................................................304
8.3. Тождественность микрочастиц и принцип Паули ........................................................311
8.4. Обменное взаимодействие ..............................................................................................315
Задачи 4....................................................................................................................................319

Глава 9. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА–ВЕЙЛЯ. ГРАФЕН .............................................................323

9.1. Получение и свойства графена .......................................................................................323
9.2. Уравнение Дирака–Вейля................................................................................................328
9.3. Графен в магнитном поле................................................................................................336
9.4. Эффект Клейна.................................................................................................................338
9.5. Графеновые наноленты ...................................................................................................341

Приложения......................................................................................................................................345

1. Физические постоянные .....................................................................................................345
2. Интегралы............................................................................................................................346
3. Дифференциальное уравнение обобщенного гипергеометрического типа ...................348
4. Ортогональные полиномы..................................................................................................349

Библиографический список ............................................................................................................351
Предметный указатель.....................................................................................................................353

ВВЕДЕНИЕ

В микро- и наноэлектронике используются полупроводниковые гетеро
структуры в виде квантовых ям, нитей, точек, периодических структур, через 
которые распространяются микрочастицы – электроны, дырки, квазичастицы. Такие системы с характерным размером порядка микро- и нанометра 
проявляют квантовые свойства, которые выглядят парадоксально с точки 
зрения классической физики: общее сопротивление последовательно соединенных элементов не равно сумме сопротивлений; частица проходит через 
барьер, превышающий ее энергию; воздействие на частицу системы в перепутанном состоянии мгновенно влияет на другие частицы, на каком бы расстоянии они ни находились; частица движется сразу по нескольким путям; в 
двумерном электронном газе в магнитном поле существуют квазичастицы с 
дробным электрическим зарядом 
/ 3
e
, 
/ 5
e
, 
5 / 2
e
,... Только на основе 

квантовой механики объясняется магнетизм вещества и наблюдается векторный потенциал электромагнитного поля. Квантовая теория формирует новое 
физическое мировоззрение. Использование квантовых режимов работы приборов микро- и наноэлектроники делает квантовую механику инженерной 
дисциплиной. Она практически значима – около 30 % национального продукта США базируется на изобретениях, ставших возможными благодаря 
квантовой механике (Scient. Amer., 2003, V. 284, № 2, 54–61). Микрохарактеристики объектов физики твердого тела сложны и анализируются на основе 
упрощенных теорий и эмпирических оценок в рамках прикладной физики. 
В то же время квантовый эффект Холла и свойства низкоразмерных систем 
не зависят от деталей устройств, выражаются через мировые постоянные и 
относятся к фундаментальной физике.

Квантовые свойства проявляются в системах, для которых существенна 

постоянная h, введенная Максом Планком (1858–1947) в 1900 г. Размерность h
соответствует произведению импульса на координату. В результате импульс 
частицы связан с характерной длиной , введенной Луи Виктором де Бройлем 
(1892–1987) в 1923 г. Поведение частицы, локализованной при помощи экранов и барьеров в области порядка , существенно отличается от классического 
корпускулярного и носит волновой характер. Аналогично свету у частицы обнаруживаются волновые или корпускулярные свойства в зависимости от соотношения между длиной волны де Бройля и характерным масштабом r экспериментальной установки: при 
~ r
проявляются волновые свойства, при

r

– корпускулярные.

ВВЕДЕНИЕ
8

В классической теории физическая характеристика описывается числом, 

получаемым при измерении. В квантовой механике физической величине ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор, действующий в 
пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций. Множество 
таких волновых функций, для которых определено скалярное произведение,
образует гильбертово пространство. Оно включает все возможные состояния 
частицы. Каждому результату измерения величины ставится в соответствие 
собственное значение и собственная функция оператора. Операторы разделяются на взаимно коммутирующие и некоммутирующие. Последние описывают 
физические величины, неизмеримые одновременно с высокой точностью. Например, не коммутируют операторы проекций координаты и импульса на ось. 
Определенной координатой характеризуется объект в виде локализованной 
частицы, определенным импульсом – в виде волны. Корпускулярное и волновое описания одновременно не совместимы, соответствующие операторы не 
коммутируют, отвечающие им физические величины измеряются с ограниченной точностью. Последнее выражается полученным Вернером Гейзенбергом 
(1901–1976) в 1927 г. соотношением неопределенности: чем точнее измеряется положение частицы, тем больше неопределенность импульса, и наоборот. 
Квадрат модуля волновой функции в некоторой точке равен вероятности обнаружения частицы в единице объема около этой точки. Разложение волновой 
функции по ортонормированному базису, соответствующему некоторой физической величине, дает вероятности получения при измерении соответствующих значений этой величины. Волновая функция частицы во внешнем поле 
находится решением уравнения Шрѐдингера – дифференциального уравнения с частными производными второго порядка, которое установил Эрвин 
Шрѐдингер (1887–1961) в 1926 г. Теория описывает стационарные и нестационарные системы в виде частиц во внешних полях, атомов, молекул, кристаллов. В отличие от классической механики квантовая теория дает для ряда величин лишь средние значения и вероятности тех или иных результатов.

В настоящем издании рассмотрены и обоснованы положения и методы 

квантовой механики, имеющие практические применения в физике твердого 
тела, в микро- и наноэлектронике. Теория проиллюстрирована примерами решений задач. Приведены задачи для самостоятельной работы. Издание предназначено для студентов инженерно-физических специальностей, изучивших 
курсы: «Общая и прикладная физика», «Математический анализ», «Методы 
математической физики».

Используется система единиц СИ. Масса обозначается знаком , напря
женность электрического поля – E.

Г л а в а 1

ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ 

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

кспериментальные и теоретические исследования, выполненные на 
рубеже ХIX–ХХ вв., дали основание для проведения аналогии между 

светом и веществом. Свет проявляет корпускулярно-волновую двойственность, т. е. в зависимости от длины волны и особенностей экспериментальной 
установки при измерении обнаруживаются волновые или корпускулярные 
свойства. Дуализм света обнаружил Альберт Эйнштейн (1879–1955) в 1909 г. 
при теоретическом исследовании теплового излучения в полости, где флуктуация энергии складывается из волновой и корпускулярной составляющих. 
Идеи и методы описания света служат основой для полуклассической квантовой механики, сохраняющей понятие траектории частицы.

1.1. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

Если свет распространяется в пространстве от источника до регистратора 

по разным путям и они не контролируются, а характерные размеры преград 
сопоставимы с длиной волны, то проявляются волновые свойства – интерференция и дифракция. Чем однозначнее выявляется путь, по которому свет дошел до регистратора, тем менее контрастна интерференционная картина из-за 
возмущения складывающихся волн и нарушения их когерентности (т. е. согласованности фаз), вносимого контролирующим устройством. Если устанавли
Э

Глава 1. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
10

вается, что свет определенно проходит по одному из путей, то интерференция 
исчезает.

Свет – это электромагнитная волна. Магнитная составляющая волны 

практически не воздействует на заряды, движущиеся со скоростями, гораздо 
меньшими скорости света, поэтому волну характеризуем электрической составляющей A(x, t). Если поляризация несущественна, то плоская гармоническая волна, распространяющаяся вдоль оси x, имеет вид

(
)

0
( , )
i k x
t
A x t
A e
, 
(1.1)

где А0 – амплитуда; 
2 /T
– круговая частота, Т – период колебаний; 

2 /
k
– волновое число, т. е. модуль волнового вектора, λ – длина волны; 

( , )
x t
kx
t – текущая фаза.

Плотность энергии в вакууме, т. е. усредненная по времени энергия 

единицы объема, пропорциональна квадрату амплитуды

2
2

0
0
0

1
1
|
|
2
2
E
A
A
. 
(1.2)

Интерференция. Если гармоническая волна разделяется на две волны 

с одинаковыми амплитудами, которые проходят пути x1 и x2 в вакууме, а затем накладываются друг на друга, то в области наложения амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз 
, или разности хода 

2
1
2
x
x
x
. При

x
n, 

2
2
x
n ,     
0, 1, 2,...
n
, 
(1.3)

смещения в складывающихся волнах происходят в фазе и амплитуда удваивается. Плотность энергии (1.2) в четыре раза больше, чем у каждой из составляющих, и наблюдается максимум интерференции. Если в точке наложения 
волн

1
2
x
n
,      
2 n
,      
0, 1, 2,...
n
,

то приходящие волны колеблются в противофазе, результирующая амплитуда 
и плотность энергии равны нулю – возникает минимум интерференции.

1.1. Волновые свойства света
11

Дифракция. На экран со щелью шириной 
y
b, показанный на 

рис. 1.1, падает вдоль оси x плоская волна. До экрана проекции волнового вектора и неопределенности положения и волнового вектора по оси y:

2

x
k
,     
0
y
k
,     y
,     
0
y
k
.

y

kx

k

ky

kx

b

ky

sinc(
2 )
bk  /
y

ky

Рис. 1.1. Дифракция на щели

Сразу после щели амплитуда волны относительно оси y описывается прямоугольной функцией 

1, |
|
/ 2,

0, |
|
/ 2.

y
b
y

y
b
b

Ее спектр, т. е. фурье-образ:

sin(
/ 2)
sinc
/ 2
2

y
ik y
y
y

y

bk
bk
y
e
dy
b
b
b
bk
,

имеет существенное значение в интервале

2

y
k
b .

Следовательно, из-за ограничения волновой поверхности интервалом

y
b

волна отклоняется от первоначального направления, т. е. дифрагирует в пределах характерного угла

2
2
2

y

x

k

k
b
b .

Глава 1. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
12

Поэтому чем уже щель, тем сильнее дифракция. При малой длине волны 

y
b 
получаем 
1
 . Следовательно, дифракция несущественна, свет 

описывается геометрической оптикой, т. е. проявляет корпускулярные свойства.

Соотношения неопределенностей. После экрана неопределенности 

проекции волнового вектора 
y
k
и положения волны δy связаны соотношени
ем

2
y
y k
. 
(1.4)

Используя 
2
k
C
, где ν – частота волны; С – скорость света, находим вариа
ции 
2
k
C
, y
t
C
и из (1.4) получаем

1
t
. 
(1.5)

Этот результат является теоремой о частотной полосе для преобразования 
Фурье, связывающей длительность сигнала с полосой частот его фурье-образа.

1.2. КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

При взаимодействии света с веществом, когда происходит его поглоще
ние, свет ведет себя не как «бьющая о берег волна», передающая энергию всей 
преграде, а как поток квантов фотонов, регистрируемых «щелчками» в отдельных точках. Свет характеризуется числом фотонов, их энергией, импульсом и поляризацией. Дискретность энергии теплового излучения, поглощаемого или испускаемого телом, теоретически обнаружил Макс Планк в 1900 г.
При поглощении фотона электроном металла ему передается энергия и импульс фотона и возникает фотоэффект – выбивание электрона из металла. 
При меньшей энергии фотона возможен внутренний фотоэффект или фотохимическая реакция. При большой энергии наблюдается эффект Комптона –
электрон поглощает фотон и переходит в виртуальное состояние, затем излучает другой фотон и переходит в конечное состояние.

Фотон имеет единичный спин – собственный угловой момент и является 

бозоном. Это вызывает взаимное «притяжение» фотонов, имеющее интерференционную природу. На интервалах времени, меньших времени когерентности, фотоны регистрируются группами. Если направить со стороны 1 

1.2. Корпускулярные свойства света
13

или 2 на делитель в виде полупрозрачного зеркала M
на рис. 1.2 одиночный фотон, то он регистрируется детектором 
1
D или 
2
D
с вероятностью 1/2. В экспери
менте, который выполнили C.K. Hong, Z.Y. Ou, L. Mandel в 1987 г., два фотона с одинаковой центральной 
частотой и поляризацией падали на делитель одновременно с направлений 1 и 2. Оказалось, что каждый детектор регистрировал или два, или ни одного фотона, и 
никогда не появлялся одиночный фотон.

Пропускание по одному фотону через интерферометр с несколькими пу
тями распространения света дает в совокупности интерференционную картину 
на экране. Следовательно, фотон движется в интерферометре одновременно 
разными путями и обнаруживает квантовую нелокальность.

Источник, испускающий одиночные фотоны, создали П. Грэнджер, Г. Род
жер и А. Аспе в 1986 г. Излучатель одиночных фотонов разработан совместно 
Институтом физики полупроводников СО РАН (В.А. Гайслер с сотрудниками) и 
Техническим университетом Берлина (D. Bimberg с сотрудниками) в 2006 –
2009 годах. Полупроводниковая квантовая точка InAs помещена в брэгговский 
микрорезонатор. Рекомбинация электрически управляемого экситона (связанного состояния электрона и дырки) в квантовой точке дает одиночную линию 

960 нм. Диаметр апертуры резонатора 0,9 мкм, добротность 
3
10 , ток на
качки 870 пА. Подается ~5 электронов за наносекунду, переход в квантовой 
точке вызывается одним электроном, частота следования фотонов ~1 гГц.

Энергия и импульс фотона. По формуле Планка энергия фотона 

пропорциональна частоте волны


, 
(1.6)

где использовано обозначение Поля Дирака

2
h

.

В механике модуль импульса ультрарелятивистской частицы связан с энергией 
соотношением 
/
p
C , где С – скорость света. Учитывая 
/
2 /
C
k , из 

(1.6) получаем, что модуль импульса фотона обратно пропорционален длине волны

h
p
k

. 
(1.7)

M

D1

D2

1

2

Рис. 1.2. Делитель 

излучения

Глава 1. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
14

Этот результат обосновал А. Эйнштейн в 1916 г. Учитывая (1.1), (1.6) и (1.7), 
выражаем плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x, через энергию и 
импульс фотона

0
( , )
exp
(
)
i
A x t
A
px
t

. 
(1.8)

Соотношения неопределенностей. Из (1.4), (1.7) и (1.5), (1.6) полу
чаем

,

.

y
y p
h

t
h

(1.9)

Чем точнее измеряется координата кванта, тем неопределеннее соответствующая проекция импульса; чем меньше длительность излучения фотона, тем больше неопределенность его энергии.

Средняя концентрация фотонов выражается через плотность энер
гии (1.2) 
2
|
|
E
n
A


. Следовательно, вероятность обнаружения фотона в 

единице объема, или плотность вероятности, пропорциональна квадрату 
модуля волны

2
( , )
|
( , ) |
w
t
A
t
r
r

. 
(1.10)

Приведенные результаты относятся к скалярной модели света, где не существенна тензорная природа электромагнитных характеристик.

1.3. ВОЛНА ДЕ БРОЙЛЯ

Луи де Бройль в 1924 г. выдвинул гипотезу о том, что корпускулярно
волновая двойственность присуща не только свету, но и частицам вещества, 
при этом основные формулы для них совпадают. Из (1.8) получаем, что частице массой , движущейся вдоль оси x в поле с потенциальной энергией 
( )
U x
и 

с полной энергией 
2 / (2 )
( )
E
p
U x , ставится в соответствие волна де 

Бройля, или волновая функция:

0
( , )
exp
(
)
i
x t
px
Et

, 
(1.11)