Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. Часть 1. Линейные электрические цепи постоянного тока


Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




В.Ю. НЕЙМАН



            ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ



Часть 1


        Линейные электрические цепи постоянного тока



Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия







НОВОСИБИРСК

2011

УДК 621.3.011.7(075.8) Н 46



Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. А. В. Сапсалев, канд. техн. наук, доц. Ю.В. Петренко


Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники для студентов дневного и заочного отделений электротехнических специальностей


      Нейман В.Ю.

Н 46 Теоретические основы электротехники в примерах и задачах.
      Ч. 1. Линейные электрические цепи постоянного тока: учеб. пособие / В.Ю. Нейман. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. -116 с.
         ISBN 978-5-7782-1796-6
         В пособии на значительном числе примеров решения типовых задач рассматриваются методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока. Предлагаются аналогичные задачи для самостоятельного решения с ответами.
         Показаны приемы использования персонального компьютера для автоматизации расчетов электрических цепей.
         Структура и содержание пособия соответствуют программе курса «Теоретические основы электротехники» для электротехнических специальностей вуза.
         Предназначено для самостоятельной работы студентов, а также может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса.

УДК 621.3.011.7(075.8)



ISBN 978-5-7782-1796-6

                     © Нейман В.Ю., 2011
                    © Новосибирский государственный технический университет, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.........................................................4
1. Расчет разветвленных электрических цепей при постоянных токах и напряжениях....................................................5
2. Расчет сложных цепей с помощью прямого применения законов Кирхгофа........................................................20
3. Применение метода наложения к расчету электрических цепей с двумя и более источниками энергии..................................35
4. Метод контурных токов.......................................41
5. Метод узловых потенциалов (узловых напряжений)..............51
6. Метод эквивалентного генератора (эквивалентного источника)..65
7. Применение эквивалентных преобразований при расчетах электрических цепей......................................................72
8. Энергетические расчеты в цепях постоянного тока.............80
9. Расчет электростатических цепей.............................96
10. Применение математической программной среды MathCAD для расчета линейных цепей постоянного тока....................106
Библиографический список.......................................115

    ВВЕДЕНИЕ

   Цель пособия - оказать помощь студентам, изучающим курс теоретических основ электротехники, в их самостоятельной работе.
   Усвоение материала одного из разделов курса - «Линейные электрические цепи постоянного тока» становится возможным только с приобретением практических навыков, получаемых в процессе решения задач.
   Пособие состоит из отдельных задач, разбитых по темам в соответствии с программой курса. Часть задач рассмотрена с решением. В задачах, предназнаб. ченных для самостоятельного решения, даны только ответы.
   По каждой из задач изложен подробный алгоритм расчета, который поясняется на примере двух, трех и более задач с решениями.
   Приведенные примеры расчета электрических цепей соответствуют типовым задачам, которые могут оказаться полезными при подготовке к практическим занятиям и выполнении домашних заданий, а также при подготовке к экзаменам, имеют требуемую сложность и трудоемкость.
   В помощь студентам в изучении данной дисциплины рассмотрены приемы работы на компьютере с целью автоматизации расчетов электрических цепей в среде MathCAD. Предполагается, что у них уже есть начальное представление о математическом пакете MathCAD из пройденного курса информатики. Это позволяет переложить выполнение рутинных математических расчетов при решении систем алгебраических уравнений на компьютер.
   Учебное пособие предназначено для студентов дневного и заочного отделений электротехнических специальностей вуза.

4

1. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ


   Рассматривается расчет электрических цепей, содержащих один источник напряжения или тока и смешанное соединение сопротивлений. В основу расчета таких цепей положены методы преобразования (свертывания) цепей в простейшие эквивалентные.

    Задача 1.1

   В цепи (рис. 1.1) R₁ = R₇ = 50Ом, R₂ = 1200м, R₃ = R₆ = 20 Ом, R4 = 30 Ом, R₅ = 60 Ом. Напряжение на входе цепи U = 280 В. Определить токи во всех ветвях схемы.


      11
⁺ о-->
U
  т
-о----

  /3 R3    15

SI2        4
  R 2    Qr4 [К
      R 6 Т Т


Рис. 1.1


    Решение

   1.    Воспользуемся методом свертывания и преобразуем цепь (рис. 1.1) к виду рис. 1.2.
   В рассматриваемой цепи (рис. 1.1) определяются группы сопротивлений, которые имеют последовательное или параллельное соединение.
   Сопротивления R₄, R₅ соединены параллельно (рис. 1.1). Их общее сопротивление (рис. 1.3) равно:


R4,5 =

R4 R5
R4 + R5

30 • 60
30 + 60

= 20 Ом.

5

   Сопротивления R₃, R₄₅ и R₆ (рис. 1.3) соединены последовательно. Их общее сопротивление (рис. 1.4) равно:

R3-6 = R3 + R4,5

+ R₆ = 20 + 20 + 20 = 60 Ом.

и

	

11

+

L3KB

Рис. 1.2

       /1      R1
+ о >- I





                т




-о

|R 2
     R 6

4,5

Рис. 1.3

¹3   R3

¹2

и

R 7

       11     R1
+ о---->- I

I1     R1
⁺ о---->-----1

¹3

¹2

R₇

-о

R3-6

-о





                |Ъ





■2-6

и

и

R 7

                Рис. 1.4


   Сопротивления R₂, R₃₋₆ соединены общее сопротивление равно (рис. 1.5):

Рис. 1.5

параллельно (рис. 1.4) и их

                 п      R₂R₃ ₆     120• 60
R₂_₆ = —² ³⁻⁶ =---------= 40 Ом .
                   ²⁶ R₂ + R₃ ₆ 120 + 60


   Сопротивления Rb R₂₋₆ и R₇ включены последовательно (рис. 1.5).
Эквивалентное сопротивление всей цепи (рис. 1.2) равно:
R₃KB ⁼ R1 + R2₋6 + R7 ⁼ 50 + 40 + 50 = 140 Ом.


   2.     Ток I₁ (рис. 1.2) соответствует току в неразветвленной части схемы (рис. 1.1)

                    и и 280 „ .
I. =---=---= 2А.
¹ Rkb 140

6

   3.  Токи 12 и Iз (рис. 1.4) равны:


          2 = 1₁ ⁶— = 2—⁶⁰— = 0,667 А,
          ²  ¹ R₂ + R₃₆ 120 + 60


                 з    = 1₁-R²--= 2 ¹²⁰ = 1,333 А.
                 ³    ¹ R ₂ + R₃_₆   120 + 60


   4.  Токи 1₄ и 1₅ (рис. 1.1) соответственно равны:


                 ₄ = 1₃ —R⁵— = 1,333 ⁶⁰ = 0,889 А ,
                 ⁴   ³ R₄ + R₅        30 + 60


                 7 = Iз R⁴    = 1,333 ³⁰     = 0,444 А .
                 ⁵   ³ R₄ + R₅       30 + 60


    Задача 1.2

   Определить токи в ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 1.6, если заданы: Е = 36 В, R₁ = 12 0м, R₂ = 16 0м, R₃ = 7 0м, R₄ = 8 Ом , R = 3 Ом, R₆ = 5 Ом , R₇ = R₈ = 0,6 Ом.


    Решение


   1.     Преобразуем всю цепь к виду (рис. 1.7). Заменим звезду сопротивлений R₃, R₄, R₅, подключенную к точкам 1, 2 и 3 эквивалентным треугольником (рис. 1.8).
   Величины сопротивлений эквивалентного треугольника:

           R₃₅ = R₃ + R₅ + ^^ = 7 + 3 + — = 12,63 Ом;
             -            R 4         8


             R₄₅ = R₄ + R₅ + ^^ = 8 + 3 + — = 14,43 Ом;
R₃           7


             R = R₄ + R₃ + ^А^³- = 8 + 7 + — = 33,67 Ом.
              R ⁴        ³   R5            3


7

R лэкв

   Сопротивление R₁ соединено параллельно с R₄₃, а сопротивление R₂ параллельно с R₃,₅ (рис. 1.8), их общие сопротивления (рис. 1.9) равны:

R1-4 =

R1R 4,3
Ri + R 4,з

12 • 33,67
12 + 33,67

= 8,85 0м;

8

R2-5 ⁻

R 2 R3,5
R 2 + Rs,5

16-12,63
16 + 33,67

= 7,06 Ом.

   Сопротивление R₁₋₄ соединено последовательно с R₂₋₅ (рис. 1.9), следовательно, общее сопротивление участка цепи (рис. 1.10) равно:

R₁₋₅ - R₁₋₄ ₊ R₂₋₅ - 8,85 + 7,06 - 15,910м.

3 <?■

R1-6

■о 2

U32

	

Рис. 1.11

R 7

R

   Очевидно, сопротивления R₁₋₅, R₄₅ и R₆ соединены параллельно (рис. 1.10) и их общее сопротивление (рис. 1.11)

1         1         1

откуда

1
R1-6

------1 1     , R1-5--R4,5---R6

R1-6 
R1-5 R 4,5 R6

R4,5 R6 + R1-5 R6 + R1-5 R4,5

________15,91 -14,43 - 5______
14,43 - 5 +15,91-5 +15,91-14,43

- 3,01 Ом.

    Сопротивления R₇, R₁₋₆ и R₈ соединены последовательно (рис. 1.11). Эквивалентное сопротивление всей цепи (рис. 1.7) равно:
R₃KB - R₇ ₊ R₁₋₆ ₊ r₈ - 0,6 + 3,01 + 0,6 - 4,21 Ом .

9

    1.  Ток 1₇ (рис. 1.7):


        I7 = —

⁷ Ra

36
4,21

— 8,55 А.

   3. Ток 1₆ (рис. 1.10) найдем через напряжение U₃₂ (рис. 1.11):

I6 —

U32
R6

¹7 R1-6
R6

8,55 • 3,01 5

— 5,15 А.

    4. Токи I₁ и I₂ (рис. 1.8) найдем, предварительно определив ток
I¹ (рис. 1.9):
                 г_и32 17 R 6 _ 8,55 • 3,01
I —------—-------—---------— 1, 62  .
                    R-5    R1-5     15,91


   Напряжение U₃₁ и U₁₂ (рис. 1.9) найдем как
U₃₁ — IIR₁₋₄ —1,62 • 8,85 — 14,34 В;

U₁₂ — IIR₂₋₅ —1,62 • 7,06 — 11,44В.


   Окончательно для токов I₁, 1₂ получим (рис. 1.8)

I1 — U1 —1434 — 1,19А;
¹  R₁    12

¹2 —

U12
R 2

11,44
16

— 0,71 А.

   5.     Ток Iз определим из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 1 (рис. 1.6):
I₃ — 1₁ -1₂ —1,19 - 0,71 — 0,48 А.

   6.     Из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, для узлов 3 и 2 (рис. 1.6) определим токи 1₄ и 1₅:
1₄ — 1₇ -1₆ -1₁ — 8,55 - 5,15 -1,19 — 2,21 А;
1₅ — 1₇ -1₆ -1₂ — 8,55 - 5,15 - 0,71 — 2,69А.

10

    Задача 1.3

   Определить показание амперметра, установленного в ветви с источником ЭДС (рис. 1.12), если Е = 250В, R₁ = 120Ом, R₂ = 200Ом, Rз = 2500м, R₄ = 1500м, R₅ = 3000м, R₆ = R₇ = 100 Ом . Внутренним сопротивлением амперметра можно пренебречь (гА = 0).

I

R
R3KB

Е

Рис. 1.13


    Решение

   1.    Методом свертывания цепи преобразуем схему (рис. 1.12) к виду, изображенному на рис. 1.13.
   Заменим треугольник сопротивлений, подключенный к точкам 1, 2 и 3 (рис. 1.12), эквивалентной звездой с вершинами 1,2 и 3 (рис. 1.14).
   Величины сопротивлений эквивалентной звезды:


            R        R1R2
            R12 ~
                  R1 + R 2 + Rз


R2,3 _

120•200
120 + 200 + 250

= 42,110м

R 2 R3
R₁ + R ₂ + R₃

200•250
120 + 200 + 250

= 87,72 0м;

R        R3 R1
R 3 1 “ ~ -         R1 + R2 + R3

250^120
120 + 200 + 250

= 52,63 0м.

11