100-летию со дня основания
Саратовского государственного
университета им. Н. Г. Чернышевского
посвящается

В.С. Анищенко,  В.В. АСтАхоВ, т.е. ВАдиВАСоВА

2009

РегуляРные  

и хАотичеСкие 
АВтоколебАния

СинхРонизАция и Влияние 

флуктуАций

В.С. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова
Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и
влияние флуктуаций: Учебникмонография / В.С. Анищенко,
В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова – Долгопрудный: Издательский
Дом «Интеллект», 2009. – 312 с.
ISBN  9785915590662

В книге наиболее полно и последовательно излагается классическая тео
рия периодических автоколебаний, внешней и взаимной синхронизации и
влияния флуктуаций на свойства периодических автоколебаний.
Результаты используются для анализа проблемы генерирования и синх
ронизации более сложных (квазипериодических и хаотических) автоколе
баний в системах с полутора и двумя степенями свободы. Рассмотрены при
меры систем, реализующих двухчастотные и хаотические автоколебания и
проблема влияния флуктуаций.
Для студентов и преподавателей университетов, ведущих подготовку по
физикоматематическим, химикобиологическим, биофизическим, инже
нерным и социальноэкономическим специальностям.

 © 2009, В.С. Анищенко,
В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова
 © 2009, ООО Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ISBN  9785915590662

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Гла ва 1
Основы теории динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

1.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2. Динамическая система и ее математическая модель . . . . . . . . . . .
18
1.2.1. Классификация динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.2. Предельные множества динамической системы . . . . . . . . . .
20
1.2.3. Автоколебательные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2.4. Фазовые портреты динамических систем . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3. Устойчивость фазовых траекторий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.3.1. Линейный анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.3.2. Устойчивость состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.3.3. Устойчивость периодических решений . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.3.4. Устойчивость квазипериодических и хаотических решений . .
36
1.3.5. Устойчивость фазовых траекторий в системах с дискретным
временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.4. Бифуркации динамических систем, катастрофы . . . . . . . . . . . . . .
39
1.4.1. Бифуркации состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.4.2. Бифуркации предельных циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.4.3. Нелокальные бифуркации. Гомоклинические траектории и
структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.5. Аттракторы динамических систем. Детерминированный хаос . . . . .
52
1.5.1. Регулярные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.5.2. Грубые гиперболические хаотические аттракторы . . . . . . . .
55
1.5.3. Квазигиперболические аттракторы. Аттракторы типа Лоренца
57
1.5.4. Негиперболические хаотические аттракторы . . . . . . . . . . . .
57
1.5.5. Странные нехаотические и хаотические нестранные аттракторы
58
1.6. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

Оглавление

Гла ва 2
Автоколебательные системы с одной степенью свободы: осциллятор
Ван дер Поля, генератор с жестким возбуждением . . . . . . . . . . . . .
62

2.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2. Примеры автоколебательных систем, описываемых уравнением ос-
циллятора с нелинейной диссипацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2.1. Маятник Фроуда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2.2. Закрепленный грузик на движущейся ленте . . . . . . . . . . . .
65
2.2.3. Ламповый генератор с колебательным контуром в цепи сетки
66
2.2.4. RC-генератор с мостом Вина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.2.5. Колебательный контур с активным нелинейным элементом .
69
2.3. Исследование динамики осциллятора Ван дер Поля . . . . . . . . . . .
71
2.3.1. Состояния равновесия и анализ устойчивости . . . . . . . . . .
72
2.3.2. Квазигармонические автоколебания. Энергетический метод
Теодорчика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.3.3. Квазигармонические автоколебания. Метод усреднения Ван
дер Поля. Укороченные уравнения для амплитуды и фазы .
77
2.3.4. Релаксационные автоколебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.4. Исследование динамики генератора с жестким возбуждением . . . .
84
2.4.1. Типы состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.4.2. Укороченные уравнения для амплитуды и фазы генератора с
жестким возбуждением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.4.3. Бифуркационная диаграмма генератора с жестким возбуждением
87
2.5. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

Гла ва 3
Автоколебательные системы с полутора и двумя степенями свободы .
92

3.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.2. Генератор Теодорчика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.3. Модификация генератора с инерционной нелинейностью. Генера-
тор Анищенко–Астахова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3.1. Периодические режимы автоколебаний и их бифуркации . . .
100
3.3.2. Бифуркации удвоения периода. Универсальность Фейгенбаума
109
3.3.3. Хаотический аттрактор и гомоклинические траектории в
генераторе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
3.4. Генератор Чуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
3.4.1. Состояния равновесия системы Чуа . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
3.4.2. Гомоклинические траектории и аттракторы системы Чуа . . .
122
3.5. Генераторы квазипериодических колебаний. Цепь Чуа . . . . . . . . .
126

Оглавление
7

3.6. Генератор квазипериодических колебаний с двумя независимыми
частотами. Бифуркация удвоения тора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
3.6.1. Бифуркационная диаграмма системы . . . . . . . . . . . . . . . .
134
3.6.2. Бифуркация удвоения двумерного тора . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.7. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

Гла ва 4
Синхронизация автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
4.2. Синхронизация периодических автоколебаний . . . . . . . . . . . . . .
145
4.2.1. Внешняя синхронизация генератора Ван дер Поля. Укоро-
ченные уравнения для амплитуды и фазы . . . . . . . . . . . .
146
4.2.2. Взаимная синхронизация. Бифуркационные механизмы эф-
фектов синхронизации и гашения в диссипативно связанных
генераторах Ван дер Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
4.3. Синхронизация квазипериодических колебаний . . . . . . . . . . . . . .
178
4.3.1. Резонансный предельный цикл на двумерном торе . . . . . . .
179
4.3.2. Воздействие внешней периодической силы на резонансный
предельный цикл в системе связанных генераторов . . . . . .
183
4.3.3. Основные бифуркации квазипериодических режимов при
синхронизации резонансного предельного цикла . . . . . . . .
185
4.3.4. Фазовая синхронизация системы связанных генераторов Ван
дер Поля внешним гармоническим сигналом . . . . . . . . . .
192
4.3.5. Синхронизация двухчастотных колебаний в автогенераторе
квазипериодических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
4.4. Синхронизация хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
4.4.1. Частотно-фазовая синхронизация хаотических автоколебаний
208
4.4.2. Полная синхронизация взаимодействующих хаотических систем
221
4.4.3. Количественные характеристики степени синхронности хао-
тических автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
4.5. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229

Гла ва 5
Флуктуации в автоколебательных системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
5.2. Основы теории случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
5.2.1. Основные характеристики случайных процессов . . . . . . . . .
241
5.2.2. Основы теории марковских процессов. . . . . . . . . . . . . . . .
252
5.2.3. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) . . . . .
256

Оглавление

5.3. Флуктуации в автономном квазигармоническом генераторе . . . . . .
258
5.3.1. Стохастические уравнения квазигармонического автогенератора
258
5.3.2. Флуктуации амплитуды автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . .
261
5.3.3. Случайная фаза автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
5.3.4. Автокорреляционная функция и спектр автоколебаний в при-
сутствии шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
5.4. Методы измерения флуктуаций автогенераторов . . . . . . . . . . . . .
267
5.5. Обобщение спектрально-корреляционной теории флуктуаций на
случай генераторов спирального хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
5.5.1. Численное исследование детерминированных хаотических ав-
токолебаний в режиме спирального хаоса . . . . . . . . . . . .
276
5.5.2. Влияние белого шума на хаотические автоколебания в режи-
ме спирального аттрактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
5.5.3. Исследование динамики мгновенной фазы и спектральных
характеристик автогенератора со спиральным аттрактором в
натурном эксперименте. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
5.6. Синхронизация автоколебаний в присутствии шума . . . . . . . . . . .
284
5.6.1. Вынужденная синхронизация зашумленных автоколебаний
гармонической внешней силой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
5.6.2. Взаимная синхронизация квазигармонических автогенерато-
ров в присутствии шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
5.6.3. Синхронизация хаотических автоколебаний в присутствии
шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
5.6.4. Синхронизация автоколебаний узкополосным шумом . . . . .
295
5.7. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299

П р и л о ж е н и я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

П.1. Преобразование источников шума в автогенераторе . . . . . . . . . . .
306
П.2. Получение выражения для автокорреляционной функции колеба-
ний генератора с шумом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемый читатель!

Перед Вами еще одна книга по теории колебаний, которая является
неотъемлемой частью радиофизики. За период становления и развития
радиофизики написано достаточно много замечательных книг по тео-
рии колебаний, которые вошли в золотой фонд отечественной науки.
Возникает вопрос, а что интересного, важного и нового можно к этому
добавить? По мнению авторов, сегодня это целесообразно и необходимо
сделать, и мы попытаемся вас в этом убедить. Прежде чем поставить эту
книгу на полку, советуем прочитать краткое предисловие, ознакомиться
с оглавлением, а затем сделать выводы.
Теория колебаний является разделом фундаментальной радиофизики,
изучающей физические явления общего характера, существенные для
радиосвязи в широком ее понимании. Следуя терминологии С. М. Ры-
това, это направление радиофизики относится к «физике для радио», так
как непосредственно решает одну из главных проблем радиофизики —
проблему генерации электромагнитных колебаний.
Уместно отметить, что радиофизика как фундаментальная область
научных знаний явилась уникальным достижением отечественной на-
уки. Основы радиофизики в СССР были заложены трудами выдающих-
ся советских ученых, таких как Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси,
А.А. Андронов, Г.С. Горелик, С.М. Рытов, В.А. Котельников, С.П. Стрел-
ков, В. И. Калинин, А. А. Харкевич и другие. Нигде в мире не существу-
ет такой четко определенной области науки как радиофизика. Безуслов-
но, отдельные направления радиофизических исследований, такие как,
например, электротехника и теория цепей, электродинамика и элек-
троника СВЧ, лазерная физика, нелинейная динамика и другие, суще-
ствуют и развиваются. Однако указанные направления исследований в
зарубежной науке до сих пор существуют независимо и не объедине-
ны единой концепцией радиофизики, как это было в СССР и остается
в настоящее время в России. Отечественная радиофизическая научная

Предисловие

школа является единственной в своем роде и ее достижения за столетие
существования признаны международным научным сообществом.
Вернемся к теории колебаний, а точнее — к теории автоколебаний,
которая составляет главный предмет обсуждения предлагаемой Вашему
вниманию книги. Термин «автоколебания» был введен в рассмотрение
А. А. Андроновым применительно к колебаниям, возникающим в авто-
номных нелинейных диссипативных системах в результате преобразо-
вания постоянной энергии источника в энергию периодических неза-
тухающих колебаний. Характеристики процесса, такие как амплитуда,
частота и форма периодических автоколебаний, определяются исключи-
тельно параметрами системы и не зависят от начальных условий.
А. А. Андронов с соавторами детально исследовал автоколебательные
режимы в системах с одной степенью свободы, фазовым пространством
которых является плоскость. Была установлена однозначная взаимосвязь
автоколебаний в таких системах с предельным циклом Пуанкаре, кото-
рый есть изолированная замкнутая фазовая траектория на плоскости.
Значение этого результата во многом повлияло на дальнейшее развитие
нелинейной теории колебаний.
На первом этапе формирования теории колебаний важно было убе-
диться в фундаментальной общности автоколебаний как явления, при-
сущего широкому классу систем различной природы. Еще в довоенные
годы появилось много работ, в которых колебательные процессы, де-
монстрирующие принципиальные свойства автоколебаний, иллюстриро-
вались на примерах механических, электротехнических, гидравлических
и других типов систем. Было показано, что незатухающие колебания
поршневых двигателей, язычков духовых музыкальных инструментов,
часов, электронных и других типов систем являются автоколебаниями.
Были вскрыты принципиальные механизмы возбуждения и поддержа-
ния устойчивых автоколебаний, обусловленные нелинейностью и дисси-
пативностью, введены понятия отрицательного сопротивления и сфор-
мулированы амплитудные и фазовые требования к обратной связи в
автогенераторах.
Замечательной особенностью этих работ явилось то, что достаточно
сложный эффект автоколебаний описывался на языке классических фи-
зических представлений. Определенным итогом этих работ явилась кни-
га А. А. Харкевича «Автоколебания», излагающая физическую трактовку
явления автоколебаний применительно к широкому классу систем, ко-
торая не содержит ни единой формулы.
Однако физическая трактовка явления автоколебаний нуждается в
количественном, математически строгом описании и эта задача реша-
лась А. А. Андроновым и многими другими выдающимися учеными

Предисловие
11

(Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский). Математиче-
ский анализ задачи об автоколебаниях наталкивался на серьезную про-
блему решения нелинейных дифференциальных уравнений. Было уста-
новлено, что наиболее простым и в то же время достаточно общим
уравнением автоколебательной системы с одной степенью свободы яв-
ляется уравнение Ван дер Поля (или уравнения типа Ван дер Поля).
Это нелинейное диссипативное однородное уравнение второго порядка,
строгое решение которого в аналитической форме было неизвестно.
В связи с тем, что общих методов строгого решения нелинейных
дифференциальных уравнений не создано, необходимо было разработать
эффективные методы приближенного решения уравнений автогенерато-
ров, которые позволили бы разработать аналитическую теорию автоко-
лебаний. И такие методы были развиты.
В создание приближенных методов решения нелинейных дифферен-
циальных уравнений огромный вклад внесли отечественные ученые
(Н.М. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, М.А. Бонч–Бруевич,
Ю. Б. Кобзарев и др.). Кроме того, примерно в то же время Л. И. Ман-
дельштам и А. А. Андронов предложили специальные методы анализа
нелинейных уравнений, использующие работы А.М. Ляпунова и А. Пуан-
каре. В частности, ими был эффективно использован метод фазовых
траекторий для анализа режима автоколебаний.
В послевоенные годы в вопросе об автоколебаниях динамических
систем с одной степенью свободы была достигнута практически пол-
ная ясность. Создана приближенная аналитическая теория, разработаны
основы качественной теории динамических систем и ее приложения к
задаче автоколебаний (А. А. Андронов, Е. М. Леонтович, И. И. Гордон,
А. Г. Майер), проведены экспериментальные исследования и установ-
лено их соответствие с выводами теории. Все это нашло отражение в
прекрасных книгах (С. П. Стрелков, В. И. Калинин и Г. М. Герштейн,
П.С. Ланда, В.В. Немыцкий и В.В. Степанов, Н.Н. Баутин и Е.М. Леон-
тович и др.) и вошло в курсы лекций по теории колебаний для радио-
физических специальностей вузов.
Во второй половине прошлого века произошло важнейшее событие,
которое оказало принципиальное влияние на понимание и трактовку ди-
намических закономерностей природы. Этим событием явилось откры-
тие феномена детерминированного хаоса (Э. Лоренц, 1963 г., Д. Рюэль
и Ф. Такенс, 1971 г.). Эффект детерминированного хаоса и его матема-
тический образ в виде странного аттрактора существенно изменили на-
ши представления об автоколебаниях. Стало понятным, что предельный
цикл как образ устойчивых незатухающих периодических колебаний ха-
рактеризует лишь частный и наиболее простой пример автоколебаний.
Обсудим это более детально.

Предисловие

Устойчивый предельный цикл является притягивающим предельным
множеством в фазовом пространстве динамической системы, т. е. ат-
трактором. Наличие области его притяжения означает по сути дела важ-
ную характеристику автоколебаний — независимость предельного, уста-
новившегося движения от начальных условий. Естественно сделать сле-
дующий шаг: постулировать, что любой аттрактор, реализующийся в
автономной динамической системе (исключая тривиальный в виде со-
стояния равновесия), является математическим образом автоколебаний.
Свойства последних будут определяться структурой и свойствами кон-
кретного типа аттрактора. Например, известно, что образом устойчи-
вых колебаний с двумя независимыми частотами является двумерный
устойчивый тор. Это означает, что мы можем говорить в этом случае о
двухчастотных (квазипериодических) автоколебаниях. Следуя этой логи-
ке, странный аттрактор, если он реализуется в динамической системе,
является математическим образом хаотических автоколебаний. При этом
необходимо согласиться с тем, что неустойчивая в смысле Ляпунова
фазовая траектория на странном аттракторе характеризует автоколеба-
ния. Отметим это важное отличие хаотических автоколебаний от случая
периодических и квазипериодических автоколебаний, которым отвечают
устойчивые по Ляпунову фазовые траектории. Это послужило основа-
нием ввести классификацию аттракторов по принципу «регулярный» и
«хаотический».
Необходимым условием существования странного аттрактора в си-
стеме, помимо нелинейности и диссипативности, является достаточная
размерность фазового пространства. Хаотические автоколебания возмож-
ны только в системах, описываемых дифференциальными уравнениями
порядка не менее трех, т. е. в системах с числом степеней свободы не
менее 1,5. Отметим два принципиально важных обстоятельства, с этим
непосредственно связанных. Во-первых, увеличение размерности фазо-
вого пространства до N ≥ 3 приводит, как установлено, не только и не
столько к возможности наблюдать режим детерминированного хаоса и,
соответственно, режим странного аттрактора. Выход с двумерной плос-
кости в трехмерное (и более) пространство позволяет резко увеличить
число возможных режимов функционирования системы и их бифурка-
ций. Если на фазовой плоскости число возможных аттракторов исчерпы-
вается точкой и предельным циклом, то в системах размерности N ≥ 3
их число заметно возрастает: реализуются аттракторы в виде предельных
циклов удвоенного периода, торы и хаотические аттракторы различной
структуры и размерности.
Уместно отметить, что существенное обогащение картины наблюдае-
мых явлений, обусловленное выходом с плоскости в пространство боль-

Предисловие
13

шей размерности, за много лет до установления этого факта предсказал
поэт Федор Сологуб:

Наш темный глаз печально слеп,
И только плоскость нам знакома.
Наш мир широкий — только склеп
В подвале творческого дома.

(На опрокинутый кувшин. . . , 1923)

Во-вторых, в силу того, что режиму детерминированного хаоса от-
вечает сложное во времени, непериодическое решение, характеризуе-
мое непрерывным спектром мощности, квазигармонический подход к
получению приближенного аналитического решения уравнений дина-
мической системы в принципе не может дать результата. Необходимо
получать решение существенно нелинейных уравнений, а это, как уже
упоминалось, в общем случае невозможно.
Что же делать? Выход из создавшейся ситуации был найден благода-
ря появлению быстродействующих ЭВМ и персональных компьютеров.
Их использование в современной теории колебаний сыграло поисти-
не революционную роль. Численное решение нелинейных дифферен-
циальных уравнений с помощью компьютера не вызывает трудностей.
Конечно, численное решение не является аналитическим. Однако воз-
можность его расчета с высокой точностью в совокупности с хорошо
развитыми методами графического представления результатов по сути
дела решают основную задачу анализа автоколебательных режимов, их
устойчивости и бифуркаций применительно к многомерным нелиней-
ным системам.
В свете сказанного выше, становится понятной необходимость и важ-
ность анализа автоколебаний в системах с конечным числом степеней
свободы, моделируемых дифференциальными уравнениями размерности
три и выше. Этой проблеме и посвящена предлагаемая Вашему внима-
нию книга.
В основу книги положены разделы курсов лекций по теории коле-
баний, нелинейной динамике, теории синхронизации и статистической
радиофизике, читаемые на протяжении многих лет авторами студентам
физического факультета Саратовского государственного университета.
По своей структуре и содержанию книга относится к разряду учеб-
ников-монографий, так как помимо изложения классической теории ав-
токолебаний, включает ряд современных и новых научных результатов.
Книга содержит пять глав, каждая из которых включает список ци-
тируемой литературы и может изучаться независимо. В первой главе

Предисловие

изложены основы теории динамических систем, необходимые для ана-
лиза периодических и хаотических автоколебаний конечномерных си-
стем. Представлена линейная теория устойчивости и теория бифуркаций
применительно к состояниям равновесия, предельным циклам, торам и
хаотическим аттракторам. Даются необходимые сведения о нелокальных
бифуркациях, играющих важную роль в исследованиях многомерных си-
стем. Приведена классификация аттракторов.
Во второй главе представлена классическая теория автоколебаний
в системах с одной степенью свободы. Изложение ведется на приме-
ре уравнений генератора Ван дер Поля как наиболее простой и общей
модели периодических автоколебаний с предельным циклом на фазовой
плоскости. Предпринята попытка наиболее полного детального изложе-
ния теории с использованием классических работ, которые в силу ряда
объективных обстоятельств сегодня труднодоступны широкой аудитории
студентов и молодых преподавателей.
Третья глава посвящена изложению динамики автоколебательных си-
стем с полутора и двумя степенями свободы. На примерах радиотехниче-
ских устройств формулируются уравнения и проводится анализ несколь-
ких базовых моделей нелинейной теории колебаний, иллюстрирующих
автоколебательные режимы и их бифуркации, типичные для указанного
класса динамических систем. Сопоставление результатов третьей главы с
классическими результатами главы 2 дает возможность проиллюстриро-
вать то многообразие, сложность и принципиальные отличия режимов
автоколебаний в многомерных системах в сравнении с моделью генера-
тора Ван дер Поля.
В четвертой главе описаны неавтономные колебания, обусловлен-
ные реакцией автогенераторов на внешнее периодическое воздействие.
Исследуется фундаментальное явление синхронизации автоколебаний. В
начале, как и в первой главе ниги, проводится детальный анализ класси-
ческих результатов по синхронизации генератора Ван дер Поля. Дается
детальное теоретическое описание явления синхронизации периодиче-
ских автоколебаний на основе полных, укороченных уравнений и урав-
нений фазового приближения. Сделано это, с одной стороны, в учебных
целях и избавляет читателей от необходимости поиска труднодоступ-
ной литературы. С другой стороны, методы и идеи классической тео-
рии используются при описании более сложных явлений синхронизации
квазипериодических и хаотических режимов автоколебаний. Отметим,
что вопрос о синхронизации квазипериодических колебаний впервые
описывается в учебной литературе.
Наконец, пятая глава книги посвящена изложению эффектов влия-
ния флуктуаций в автоколебательных системах. В соответствии с при-
нятой методикой в начале приводятся результаты классической теории

Предисловие
15

флуктуаций в генераторе Ван дер Поля (Р. Л. Стратонович, С. М. Рытов,
А. Н. Малахов, Ю. Л. Климонтович). Используя методы компьютерного
моделирования, выводы теории иллюстрируются графически, что делает
результаты более наглядными и ясными. Далее, с использованием клас-
сических результатов, исследуется влияние флуктуаций на режим хаоти-
ческих автоколебаний. Рассматривается влияние флуктуаций на эффек-
ты синхронизации периодических и хаотических автоколебаний.
Таким образом, в предлагаемой книге предпринята попытка наи-
более полного и взаимосвязанного изложения теории автоколебатель-
ных систем, базирующаяся на выводах классической теории периоди-
ческих автоколебаний и развивающая идеи А. А. Андронова примени-
тельно к автоколебаниям в системах с полутора и более степенями сво-
боды. Нельзя не отметить, что имеется достаточно много книг, в том
числе и в отечественной литературе, которые посвящены описанию ав-
токолебаний в системах с более чем одной степенью свободы. Среди
них отметим работы Ю. И. Неймарка и П. С. Ланды, В. С. Анищенко,
С. П. Кузнецова, В. Я. Кислова, А. С. Дмитриева и др. Однако, в этой
книге сделана попытка более последовательного и детального изложе-
ния теории автоколебаний от классики до современных представлений с
целью выделить преемственность в трактовке автоколебаний от простых
к более сложным.
Книга в целом написана для студентов, аспирантов, молодых ученых
и преподавателей физико-математических специальностей университе-
тов, изучающих нелинейную теорию колебаний. Излагаемые проблемы
требуют знаний физики, высшей математики, основ радиоэлектроники
и статистической физики. Однако некоторые главы книги, в которых
обсуждаются классические проблемы теории автоколебаний, рекомен-
дуются более широкой аудитории студентов естественно-научных спе-
циальностей университетов.
Мы пользуемся приятной возможностью поблагодарить всех сотруд-
ников кафедры радиофизики и нелинейной динамики физического фа-
культета Саратовского госуниверситета за обсуждения материалов книги
на научных семинарах и в частных беседах, которые во многом опре-
делили ее содержание, педагогическую и научную направленность. Мы
благодарны аспирантам С. М. Николаеву, С. В. Астахову и С. А. Коблян-
скому за проведение компьютерных расчетов и подготовку ряда иллю-
страций. Мы выражаем глубокую признательность главному редактору
издательства Л. Ф. Соловейчику за проявленный интерес к работе и ряд
предложений, способствующих улучшению содержания книги. Мы бла-
годарим также профессора А. С. Дмитриева за детальное рецензирование
рукописи, сделанные замечания и предложения, учтенные нами в окон-
чательной редакции книги. Особую благодарность мы выражаем доценту