Математика: экспресс-курс подготовки к ЕГЭ

Ростов-на-Дону
«Феникс»
2015

Серия «Большая перемена»

Математика 
Экспресс-курс подготовки к ЕГЭ

А.Г. Клово

УДК   373.167.1:51
ББК   22.1я721
КТК   444
                К50

Клово А.Г.
Математика: экспресс-курс подготовки к ЕГЭ. — Ростов н/Д : Феникс, 2015. — 272 с. : ил. — (Большая перемена).
ISBN 978-5-222-24676-4
Учебное пособие даст возможность подготовиться к ЕГЭ по математике по спецификации госэкзамена 2015 года (профильный уровень).
Первая часть книги поможет систематизировать свои знания 
школьной математики. Анализ каждого задания предстоящего экзамена с разбором многочисленных примеров содержится во второй части 
пособия. Третья часть содержит 25 тренировочных вариантов, возрастающих по сложности.
Все это поможет не только поступить в вуз, но и стать хорошим 
студентом.
ISBN 978-5-222-24676-4 
УДК 373.167.1:51 
ББК 22.1я721 

К50

© Клово А.Г., текст, 2015
© ООО «Феникс», оформление, 2015

ВВЕДЕНИЕ

Близится волнующее время получения документа о полном 
среднем образовании. Что ждет выпускника в будущем? Какой 
выбрать путь в жизни?
Конечно, главное в жизни — стать счастливым человеком. 
Для этого надо быть нужным людям, заниматься любимым делом, быть хорошим специалистом в выбранной вами профессии. 
Часто жизненные планы молодых людей связаны с получением 
высшего образования в престижном вузе.
Наша книга поможет тем выпускникам школ, кому для первого шага к осуществлению своей мечты, для поступления в выбранный вуз надо получить высокие баллы на госэкзамене по 
математике.
Поступление в вуз — это только первый шаг в получении 
высшего образования. И успех на госэкзамене не гарантирует 
успешного окончания вуза, достижения других жизненных целей. Высокие баллы ЕГЭ не должны быть единственной целью 
обучения в школе. За ними должны стоять глубокие знания, 
трудолюбие, дисциплинированность, ответственность — все то, 
что понадобится для получения диплома о высшем образовании 
и профессиональных знаний. Хотелось бы, чтобы эта книга стала вашим надежным помощником в достижении этой цели. Ее 
содержание построено следующим образом. 
В первой части содержится теоретический материал. Мы постарались охватить здесь весь необходимый школьный материал 
по математике. Несмотря на свою краткость, этот короткий раздел не является набором формул и теорем. Надеемся, он поможет 
вам по-новому взглянуть на некоторые теоретические разделы 
школьного курса математики.
Во второй части рассматривается содержание каждого задания 
на ЕГЭ по математике. Что будет в этом месте на экзамене? Какие 
знания потребуются, как их применить, на что обратить внимание? С одной стороны, мы постарались дать ответ на эти вопросы. 
Для всех, и самых простых, и самых сложных, тем мы обсудили и 
подробно обосновали правильные ответы в характерных для ЕГЭ 

Математика: экспресс-курс подготовки к ЕГЭ

по математике заданиях и в заданиях повышенной сложности. 
Чтобы гарантированно решить все относительно простые задания, разумно практиковаться в решении и более сложных задач.
В третьем разделе приводятся 25 тренировочных вариантов, 
составленных по спецификации ЕГЭ 2015 года. В заданиях с 1 по 
14 ответом является целое число или конечная десятичная 
дробь. В последних заданиях с 15 по 21 должен быть приведен 
ответ задачи в произвольной форме, и этот ответ должен быть 
математически грамотно обоснован. Сложность тренировочных 
вариантов постепенно возрастает. В первых 5 вариантах задания максимально упрощены, иногда это по сути фрагменты 
«настоящих» заданий. В последних 5 вариантах достаточно 
много задач, близких к олимпиадным, но, тем не менее, соответствующих по своей тематике спецификации ЕГЭ по математике 
2015 года. Ко всем вариантам приведены правильные ответы, 
а идеи решения многих сложных задач, как уже отмечалось, 
приведены во второй части книги.

Автор надеется на общение со своими читателями. Пишите по 
адресу aleksandrklovo@yandex.ru. Давайте будем обсуждать возникающие проблемы, решения сложных задач. Безусловно, все 
читатели будут получать подробные ответы на свои вопросы.

Теория

Как приступить к решению задачи по математике? Надо проверить, знаете ли вы смысл всех слов в тексте задания, вспомнить соответствующие формулы и теоремы. 
Краткий справочник по школьной математике посвящен этой 
части выполнения задания на ЕГЭ. Это потом «включается» сообразительность. Мы находим логическую цепочку, которая 
приводит к ответу на поставленный вопрос. Безусловно, это является главным в получении высокой оценки. Тем не менее, никакая «гениальность», никакое умение логически верно мыслить 
не помогут, если не хватает обычных, стандартных знаний из 
школьной программы по математике.
Приступая к теории, мы должны понимать, что математика не 
ограничивается изучением застывших, искусственных, абстрактных понятий. Важнейшей составляющей математики являются введенные операции над этими объектами. Уровень их 
использования и определяет сложность задания.

1. Числа

Рассмотрим множество N натуральных чисел, т.е. чисел: 1, 2, 
3,…. Для этих чисел можно обычным образом ввести операции 
сложения и умножения, при этом сумма и произведение натуральных чисел также являются натуральными числами. Нам знакомы свойства этих операций: a + b = b + a, a + b + c = a + (b + c), ab = ba, 
abc = a · (bc), a(b + c) = ab + bc, 0 + a = a, 1 · a = a. Также для этих чисел 
можно ввести операцию возведения в натуральную степень 

 
...
n

п раз
a
a a a
a
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ , при этом a
a
a
m n
m
n
+ =
⋅
, a
a
m n
mn
(
) =
, a
b
ab
n
n
n
⋅
= (
) .
Попытка ввести обратные операции приводит к необходимости 
расширения понятия числа. При этом сформулированные свойства 
операций над числами сохраняются и несколько расширяются.
Целыми называются числа 0, ±1, ±2, ±3..., это множество обозначают символом Z. Рациональными (множество Q) называют
ся числа вида m
n

, где m является целым числом (m ∈ Z), а n — 

натуральное число (n ∈ N). 

Математика: экспресс-курс подготовки к ЕГЭ

Конечные и бесконечные десятичные дроби (множество всех 
точек числовой оси) образуют множество действительных чисел R. Действительные числа, не являющиеся рациональными, 
называются иррациональными числами. Иррациональные числа существуют. В этом можно убедиться, проверив, что положительный корень уравнения x2
2
0
−
=
 
 — число 
2  — не пред
ставляется в виде m
n

, т.е. не является рациональным числом.

Действительные числа, которые не являются корнями многочленов с целыми коэффициентами, называются трансцендентными числами. Таких чисел — подавляющее большинство на 
числовой оси. Поэтому многие константы являются такими числами. В школе на уроках математики знакомятся с двумя такими числами — числом π и числом e. О них мы поговорим позже.

2. Операции с числами
Средним арифметическим n чисел называется их сумма, деленная на число слагаемых n.
Средним геометрическим n положительных чисел называется корень степени n из произведения этих чисел.
Средним арифметическим двух чисел a и b является число 

a
b
+
2

. 

Средним геометрическим двух положительных чисел a и b 
является число 
ab . 
Легко проверить, что для этих двух положительных чисел 

справедливо неравенство a
b
ab
+
≥
2
, причем равенство дости
гается только для равных чисел a и b. 
Аналогичное свойство справедливо и для большего количества положительных чисел.
Натуральное число m делится без остатка или просто делится 

на натуральное число n тогда и только тогда, когда m
n  является 

натуральным числом m n
m
n
N
 ⇔
∈
. 

Четным называется натуральное число, которое делится на 2. 
Остальные натуральные числа называются нечетными.

Теория

Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда 
его последняя цифра 0 или делится на 2.
Натуральное число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, 
когда сумма цифр числа делится соответственно на 3 или на 9.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда 
его последняя цифра 0 или 5.
Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда 
его последняя цифра 0.
Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда 
две его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4.
Натуральное число делится на 25 тогда и только тогда, когда две 
его последние цифры образуют число, которое делится на 25.
Натуральное число делится на 100 тогда и только тогда, когда 
две его последние цифры являются нулями.
Некоторые признаки являются следствием вышеприведенных признаков делимости. Например, число делится на 6 тогда и 
только тогда, когда оно делится на 2 и на 3. Делимость на 12 
равносильна делимости на 3 и на 4, делимость на 15 равносильна 
делимости на 3 и на 5 и т.д.
Часто аналогичные определения относят и к целым числам.
Простым числом называется натуральное число, большее 1, 
которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Например, простыми являются числа 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.
Составным числом называется натуральное число, большее 
1, которое делится без остатка, как минимум на три натуральных 
числа.
Произведение натуральных чисел от 1 до n обозначается 
символом n!, читается n-факториал. Следовательно, 1! = 1, 
2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24,…. Для удобства полагают, что 0! = 1, тогда справедливо соотношение n! = n · (n – 1)!, 
n = 1, 2, 3....
Остатком при делении целого числа m на натуральное n называется число r
n
=
−
0 1 2
1
,
,
...,
 
 
 
, обладающее тем свойством, 

что m – r делится на n. При этом целое число m
r

n
−
 называется 

целой частью числа m

n

. Очевидно, что m

n

m
r

n

r
n
=
− +
, т.е. дробь 

Математика: экспресс-курс подготовки к ЕГЭ

равна сумме целого частного и остатка, деленного на знаменатель. Подобные слова справедливы и при делении многочленов.
Один процент от положительного числа a — это сотая часть 

числа, т.е. a
100 , соответственно, p% от a равно ap
100 . 

При увеличении числа a на p% мы к числу a прибавляем чи
сло ap
100 , т.е. получаем число a
p
1
100
+
. Итак, чтобы увеличить 

положительное число на p%, надо умножить его на коэффициент 

k
p
1
1
100
= +
.

При уменьшении числа a на p% получаем число a
p
1
100
−
, 

т.е. уменьшение положительного числа на p% равносильно ум
ножению его на коэффициент k
p
2
1
100
=
−
.

Для того чтобы узнать, сколько процентов положительное 
число a составляет от положительного числа b, надо вычислить 

величину a
b ⋅100.

3. Модуль числа
Модуль положительного числа равен самому этому числу, 
модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому со 
знаком минус, модуль нуля равен нулю.
Формально это определение обычно записывают в виде 

при
0,
при
0.

x
x
x
x
x

≥
= <
Абсолютные величины встречаются при решении уравнений, 
неравенств, построении графиков функций. В общем случае 
можно порекомендовать такую схему решения задачи с модулями. Числовая ось разбивается на части таким образом, чтобы на 
каждом из полученных промежутков модули раскрывались с 
определенными знаками. Тем самым решается серия задач, не 
содержащих абсолютных величин, и в ответ пишутся соответствующие части решений. 
Раскрыть модуль со знаком «плюс» означает заменить знак 
модуля скобками. Раскрыть модуль со знаком «минус» означает 

Теория

заменить знак модуля скобками и перед скобками поменять 
знак. 
Бывают частные ситуации, когда задачи с модулями решают
ся более просто. Заметим, что a
b
a
b

a
b
=
⇔
=
= −
,
,  т.е. модули двух 

чисел (или выражений) равны тогда и только тогда, когда эти 
числа равны или отличаются знаком. 
Если уравнение имеет вид f x
a
( ) =
, то при a < 0 это уравнение не имеет решений, при a = 0 оно равносильно уравнению 

f x
( ) = 0, при a > 0 уравнение f x
a
f x
a
f x
a
( )
( )
,
( )
.
=
⇔
=
= −
Отметим также равносильность соотношений

f x
f x
f x
( )
( )
( )
=
⇔
≥ 0 , f x
f x
f x
( )
( )
( )
= −
⇔
≤ 0 . 

Полезно знать некоторые случаи «простого» решения неравенств с модулями: 

x
a

x
a

x
>
⇔
∈ −∞
+ ∞
(
)
<
∈ −∞
(
)
+ ∞
(
)

;
,

;
;
 
 
 
                
 
 
 

?@8
?
0
0
0

@8
?@8

 
   
 
 
 
 
 
a
x
a
a
a
=
∈ −∞
−
(
)
+ ∞
(
)
>

0
0
,
;
;
;


при

при

при

x
a
x
a
x
a a
a
<
⇔
∈∅
≤
∈ −
(
)
>
?@8 
        
 
 ?@8 
0
0
,

;
;

при

при

x
a
x
a
x
a
≤
⇔
∈∅
<
=
=
 ?@8 
                 
 ?@8 
             
0
0
0
,
,
      
 
 ?@8 
        
x
a a
a
∈ −[
]
>

;
;0
при

при
при

x
a
x
a

x
a
a
a
≥
⇔
∈ −∞
+ ∞
(
)
≤
∈ −∞
(
]
+ ∞
[
)

;
,

;
;
 
 ?@8 
            
 
 
 ?@8 
0

>
0.
при

при

4. Числовая последовательность, число е

Пусть нам дано некоторое множество действительных чисел 
и выполнены 3 условия. Во-первых, чисел бесконечно много, вовторых, они расположены по порядку и, в-третьих, если эти числа считать от первого и по порядку, то мы обязательно дойдем 

Математика: экспресс-курс подготовки к ЕГЭ

до каждого из этих чисел. Такое множество действительных 
чисел может быть записано в виде x x
xn
1
2
,
,...,
,... , и оно называется числовой последовательностью или счетным упорядоченным множеством действительных чисел. Величина xn является общим членом этой последовательности.
Числовая последовательность x x
xn
1
2
,
,...,
,...  называется бесконечно малой величиной, если для любого, сколь угодно малого положительного действительного числа, начиная с некоторого 
номера, члены последовательности по модулю меньше этого числа. Очевидно, что предел такой числовой последовательности 
равен 0, записывают это в виде lim
n
nx
→∞
= 0 . Бесконечно малыми 

являются числовые последовательности, если x
n
n = 1 , x
n
n
n = sin
, 

x
n

n = 1

2  и т.д. 

Пусть для членов числовой последовательности x x
xn
1
2
,
,...,
,... 
выполнено условие x
a
n
n
=
+ α , где α α
α
1
2
,
,...,
,...
n
 является бесконечно малой величиной, т.е. lim
n
n
→∞
=
α
0 . В этом случае говорят, 

что предел последовательности x x
xn
1
2
,
,...,
,...  равен a, что записывается в виде lim
n
nx
a

→∞
=
.

Рассмотрим числовую последовательность с общим членом 

x
n
n

n
=
+
1
1

. Можно доказать, что числа 1
1
+
n

n

 увеличивают
ся с ростом n и каждое из них меньше 3. Отсюда следует, что эта 
последовательность имеет предел. Этот предел и называется 
числом e, при этом e ∈(
)
2 71 2 72
,
;
,
 
. Число e обладает замечательными свойствами и широко используется в вычислениях. 

5. Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел a
a
an
1
2
,
,
...
 
...
, у которой каждый последующий член, 
начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же 
слагаемое. Таким образом, для членов арифметической прогрессии выполнено условие a
a
d
i
i
+ =
+
1
, число d при этом называется 
разностью арифметической прогрессии.