Дифференцируемые динамические системы. Введение в структурную устойчивость и гиперболичность

Переводные

учебники ВШЭ

Differentiable

Dynamical

Systems 

Lan Wen

AN INTRODUCTION 
TO STRUCTURAL STABILITY 
AND HYPERBOLICITY

Издательский дом

Высшей школы экономики

МОСКВА, 2023

Дифференцируемые 

динамические

системы 

ВВЕДЕНИЕ В СТРУКТУРНУЮ 
УСТОЙЧИВОСТЬ 
И ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ

Перевод с английского
КЛИМА САФОНОВА

под научной редакцией
МИХАИЛА МАЛКИНА

Лан Вен

2-е издание, электронное

УДК 517.938
ББК 22.161.615
В29

Подготовлено в рамках проекта ВШЭ 
по изданию переводов учебной литературы

П е р е в о д ч и к: 
К. А. Сафонов
Н а у ч н ы й  р е д а к т о р  п е р е в о д а: 
М. И. Малкин

Вен, Лан.

Дифференцируемые динамические системы. Введение в структурную 
устойчивость и гиперболичность / Лан Вен ; пер. с англ. К. А. Сафонова ; под 
науч. ред. М. И. Малкина ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — 
2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 272 с. — Москва : Изд. дом Высшей школы 
экономики, 2023. — (Переводные учебники ВШЭ). — Систем. требования: 
Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.


ISBN 978-5-7598-2498-5

Книга представляет собой подробное введение в классическую теорию равномерно 
гиперболических динамических систем. Детальное рассмотрение некоторых 
канонических примеров и основных технических результатов завершается доказательством 
теоремы об омега-устойчивости и обсуждением структурной устойчивости. 
Материал является прекрасной базой для чтения курса «Динамические системы».
Учебник рассчитан на новичков в этой области, ног будет очень полезен и специалистам, 
так как основан на богатом опыте автора в преподавании данной красивой 
теории.

УДК 517.938 
ББК 22.161.615

Электронное издание на основе печатного издания: Дифференцируемые динамические 
системы. Введение в структурную устойчивость и гиперболичность / Лан Вен ; пер. с англ. К. А. Сафонова ; 
под науч. ред. М. И. Малкина ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — Москва : 
Изд. дом Высшей школы экономики, 2022. — 271 с. — (Переводные учебники ВШЭ). — ISBN 978-
5-7598-2547-0. — Текст : непосредственный.

Данное произведение было первоначально выпущено Американским математическим обществом (
The American Mathematical Society) под названием Differentiable Dynamical Systems: An 
Introduction to Structural Stability and Hyperbolicity

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими 
средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения 
убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-7598-2498-5
©  2016 by the American Mathematical Society 
All rights reserved 
©  Перевод на русский язык. Национальный 
исследовательский университет 
«Высшая школа экономики», 2022

В29

Моим коллегам и студентам

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому переводу . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
7

Предисловие . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
9

Г л а в а 1.
Основы динамических систем. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
13
1.1. Основные понятия. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
17
1.2. Сопряженность и структурная устойчивость . .. .. . . . . .. .. . . .
26
1.3. Гомеоморфизмы окружности . .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
32
1.4. Фундаментальная теорема Конли. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
37
Упражнения . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
42

Г л а в а 2.
Гиперболические неподвижные точки . . . . . .. .. . . .
47
2.1. Гиперболические линейные изоморфизмы . .. . .. .. . . . . .. .. . . .
47
2.2. Устойчивость гиперболических неподвижных точек . .. .. .. . . .
52
2.3. Устойчивость гиперболичности . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
58
2.4. Теорема Хартмана–Гробмана . .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
67
2.5. Локальные многообразия неподвижной точки . .. . . . . .. .. . . .
72
Упражнения . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
85

Г л а в а 3.
Подковы, автоморфизмы тора, соленоиды. . .. .. . . .
88
3.1. Символическая динамика . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
88
3.2. Подкова Смейла . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . .
93
3.3. Аносовские автоморфизмы тора. .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . .. . .. .. . .. . 100
3.4. Соленоидальный аттрактор . .. . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 106
Упражнения . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 110

Г л а в а 4.
Гиперболические множества. .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 112
4.1. Понятие гиперболического множества . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. .. .. . 112
4.2. Устойчивость гиперболичности множеств. .. . . .. .. . . . . .. .. . .. . 124
4.3. Гладкость в лемме 2.17 и теореме 2.18 . .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 131
4.4. Устойчивые многообразия гиперболических множеств . .. . .. . 139
4.5. Устойчивость гиперболических множеств. .. . . .. .. . . . . .. .. . .. . 170
4.6. Лемма об отслеживании псевдоорбит. .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 184
Упражнения . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 192

Оглавление

Г л а в а 5.
Аксиома А, циклы и Ω-устойчивость. .. . . . . .. .. . .. . 198
5.1. Спектральное разложение и аксиома А . .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 198
5.2. Циклы и Ω-взрыв . .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 206
5.3. Отсутствие циклов и Ω-устойчивость. .. .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 208
5.4. Эквивалентные описания. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . .. . .. .. . .. . 212
Упражнения . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 218

Г л а в а 6.
Квазигиперболичность . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 221
6.1. Простейшая постановка вопроса . .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 221
6.2. Квазигиперболичность. .. .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 223
6.3. Линейная трансверсальность. .. . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 233
6.4. Приложения . .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 237
6.5. Гипотезы об устойчивости. Обзор . .. . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 242
Упражнения . .. .. . . . . .. .. . .. . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 253

Список литературы . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 255

Предметный указатель . . . . .. .. . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. . .. . 265

Предисловие к русскому переводу

I am pleased that the Russian edition of my book «Differentiable
Dynamical Systems» is coming up. I thank Prof. Malkin and Dr.
Safonov for their wonderful work of translation, and thank Prof.
Pochinka for launching this project. I hope the Russian reader
would like it. I took the Russian language class when I was a high
school student. Today I can still sing in Russian a few songs like
«Moscow nights». I am glad my book could go beyond the border
to reach the homeland of such beautiful songs.

Lan Wen

Мне очень приятно, что моя книга «Differentiable Dynamical
Systems» выходит на русском языке. Я благодарен проф. Малкину 
и Сафонову за их замечательную работу по переводу, а также
проф. Починке, координировавшей этот проект. Я надеюсь, что
русскому читателю книга понравится. Я учился русскому языку 
в старших классах школы. Сегодня я все еще могу спеть
по-русски несколько песен, например «Подмосковные вечера».
Я рад, что моя книга, не зная границ, попадет на родину таких
прекрасных песен!

Лан Вен

Предисловие к русскому переводу

Проект по переводу книги Лан Вена «Differentiable Dynamical
Systems» был инициирован в 2018 г. нашим молодым коллегой
Женей Куренковым, в то время аспирантом первого года обучения. 
Когда, годом ранее, он познакомился с монографией Лан
Вена на английском, она ему очень понравилась и он мог часами
пересказывать ее содержание студентам, коллегам, преподавателям.

В 2019 г. Жени не стало... Книгу, увы, перевели без его
участия. Замечательный результат проекта вы держите в руках
благодаря Михаилу Иосифовичу Малкину, редактору перевода,
и Климу Сафонову: они взяли на себя этот нелегкий труд.
Перечитывая главы получившийся книги, я вспоминаю Женю,
вдохновенно доносящего до слушателей содержание этих глав,
вспоминаю даже его интонации во время изложения на наших
семинарах. Видя его увлеченность в то время этим материалом,
я написала письмо Шаобо Гану, ученику Лан Вена, с просьбой
прислать экземпляр книги в подарок на день рождения Жени.
Спасибо китайским коллегам, они выполнили просьбу. Нужно
было видеть неподдельное счастье на лице Жени, когда мы
вручили ему подарок, собственноручно подписанный Лан Веном!
Думаю, это был один из самых дорогих для него подарков в его
столь рано оборвавшейся жизни. Но для меня Женя навсегда
останется жить между строк этой книги.

Координатор проекта по переводу книги,
заведующая международной лабораторией
динамических систем и приложений
О.В. Починка

Предисловие

Истоки теории динамических систем восходят к качественной 
теории дифференциальных уравнений, созданной Пуанкаре
в конце девятнадцатого века. Дифференцируемые динамические
системы — это та часть теории динамических систем, которая
включает структурную устойчивость, гиперболичность, типичность, 
плотность и т.п. Эти разделы теории стали активно развиваться 
с 60-х гг. двадцатого века. Имеется обзорная и в то же
время обучающая статья одного из основателей этой теории —
С. Смейла (Smale, 1967) (см. также его статью 1980 г.).
Данная книга является учебником по дифференцируемым динамическим 
системам, она предназначена для старшекурсников и
аспирантов. Основное внимание уделяется структурной устойчивости 
и гиперболичности, которые занимают центральное место
в этой области. Для простоты мы рассматриваем дискретные
динамические системы, образованные итерациями диффеоморфизмов. 
Хорошо известно, что периодическая орбита структурно 
устойчива тогда и только тогда, когда она гиперболическая
(собственные значения по модулю не равны единице). То же
справедливо и для конечного числа периодических орбит. Долгое
время были большие сомнения в том, что динамическая система
с бесконечным множеством периодических орбит может быть
структурно устойчивой. Эпохальным открытием такой системы
в начале 1960-х гг. было построение отображения с подковой
Смейла. Это структурно устойчивая система с бесконечным
множеством периодических орбит. Вместе со знаменитым автоморфизмом 
Аносова и построенным вскоре соленоидальным аттрактором 
эти системы продемонстрировали удивительное свойство 
мироздания: структурная устойчивость может сочетаться
с высоким уровнем сложности (иногда говорят, хаосом). Аналитическое 
условие, обеспечивающее структурную устойчивость
такого хаотического множества, сейчас обоснованно называют
«гиперболичностью». Это привело к появлению новой теории

Предисловие

гиперболических множеств, в которой гиперболические периодические 
орбиты являются частным случаем. Теорема Смейла об
Ω-устойчивости явилась одним из первых глобальных результатов 
гиперболической теории, она послужила толчком к ее развитию. 
Этой линии развития гиперболической теории мы будем
придерживаться в данной книге.
Книга состоит из шести глав. В главе 1 вводятся некоторые 
основные понятия теории динамических систем, такие как
предельное множество, неблуждающее множество, минимальное
множество, транзитивное множество и т.д., а также определяется 
топологическая сопряженность и структурная устойчивость. 
Мы приводим краткое изложение классической теории
гомеоморфизмов окружности, поскольку в ней наглядно иллюстрируются 
введенные понятия. Мы также включили в эту главу
теорему Конли — фундаментальную теорему теории динамических 
систем.
Глава 2 посвящена гиперболичности, которая является основным 
понятием книги. Здесь рассмотривается случай отдельной 
неподвижной точки. Мы изучаем устойчивость гиперболической 
неподвижной точки к возмущениям, теорему Гроб-
мана–Хартмана, теорему об устойчивом многообразии и др. Этот
материал является классическим, но при его изложении мы имеем 
в виду, что он должен подготовить читателя к пониманию
гиперболичности в общем случае, который будет рассмотрен
в гл. 4.
В главе 3 представлены три исторические модели: подкова
Смейла, аносовский автоморфизм тора и соленоидальный аттрактор, — 
базовые модели в современной теории дифференцируемых
динамических систем.
В главе 4 понятие гиперболичности отдельной неподвижной
точки обобщается на случай любого компактного инвариантного
множества. Мы изучаем устойчивость гиперболичности и структурную 
устойчивость, доказываем теорему об устойчивом многообразии, 
рассматриваем свойство отслеживания для гиперболических 
множеств. В этой главе разрабатывается аналитический
аппарат теории структурной устойчивости, и поэтому с технической 
точки зрения эта глава является самой сложной частью
книги. Если при ее чтении возникают трудности, то читателю

Предисловие
11

рекомендуется вернуться к соответствующим местам гл. 2, которая 
более доступна и наглядна.
В главе 5 представлена одна из важнейших идей всей теории,
которую можно выразить так: гиперболичность влечет структурную 
устойчивость. Зерном этой идеи является теорема Смейла об
Ω-устойчивости. Мы также приводим некоторые эквивалентные
описания Ньюхауса и Франке–Селгрейда.
В главе 6 представлена теория квазигиперболичности и линейной 
трансверсальности. Она помогает взглянуть на гиперболичность 
под другим углом. Мы также включили в эту главу 
раздел, в котором бегло освещаются гипотезы, связанные
с устойчивостью.
В книге встречается довольно сложный материал, особенно
теорема об устойчивом многообразии (теорема 4.16) и теорема
о структурной устойчивости (теорема 4.21) для гиперболических 
множеств. Эти две большие теоремы вызывают обычно
трудности при изучении предмета и в его преподавании. Здесь
в общем случае произвольного гиперболического множества мы
выбрали стратегию доказательств, которая прослеживает аналогии (
копии) соответствующих доказательств для гиперболической 
неподвижной точки. Хорошим примером такой стратегии
является доказательство леммы 4.5, которое почти полностью
дублирует доказательство леммы 2.9. Читатели могут потратить
несколько минут, чтобы просто формально сравнить эти доказательства. 
Используя данную стратегию, мы смогли дать довольно
простые доказательства этих теорем. Автор считает: в отличие
от искусства или литературы, в математике не нужно избегать
повторений и аналогий; более того, часто таким образом различные 
явления раскрывают единую природу, хотя имеют непохожую 
оболочку. Без сомнения, теория гиперболических множеств
сложна для усвоения, но мы надеемся, что предложенный нами
путь поможет читателю преодолеть препятствия и добраться до
самой сути теории динамических систем.
Для чтения этой книги достаточно, по существу, знания
традиционного курса анализа, линейной алгебры и основ топологии. 
Кроме того, полезно знание некоторых основных понятий
теории дифференцируемых многообразий, например таких, как
касательные расслоения и касательные отображения, подмно-

Предисловие

гообразия, риманова метрика, экспоненциальное отображение.
Мы приводим определения менее известных, но необходимых
понятий. Для облегчения понимания в книге имеются многочисленные 
рисунки.
В конце книги приводится список литературы по динамическим 
системам. Особо я хочу отметить две большие монографии — 
Катка и Хасселблата (Katok, Hasselblatt, 1995) и Робинсона (
Robinson, 1995), в которых представлен панорамный обзор
современного состояния теории динамических систем. Многие
книги из этого списка я часто использовал в своей работе.
Особенно я благодарен книге Занга (Zhang, 1986), которой пользовался 
как учебником, когда читал курс в Пекинском университете.

Эта книга небольшая, и поэтому, возможно, я сослался не на
всех авторов, результаты которых имеют отношение к изложенному. 
Отмечу, что очень полезной для меня при написании книги
была монография Робинсона (Robinson, 1995).
Я несколько раз в семестровом курсе в Пекинском университете 
рассказывал основную часть материала из первых пяти
глав книги. Я также читал подобный курс в Тайваньском университете (
весна 2003 г.) и в Университете Providence Тайваня
(осень 2004 г.). Часть материала я рассказывал в виде краткого
курса в Университете Нанкай (1989), в Университете Сунь Ятсен
(1990), в Университете Фучжоу (1995), в Университете Наньц-
зин (1998), в Национальном центре теоретических наук, Тайвань (
1999), в Научно-техническом университете Китая (2001),
в Цзилиньском университете (2007), в Университете Чао Тунг
Тайваня (2011), в Университете Чуннам в Корее (2014). Я хотел
бы воспользоваться возможностью поблагодарить слушателей
всех этих курсов. В частности, я хочу выразить благодарность
Шаобо Ган за многолетнее сотрудничество и многочисленные
обсуждения, а также за тщательную проверку рукописи всей
книги. Я благодарю Сяо Вэнь и Давэй Ян за отличные рисунки
и за большое число упражнений, а Сяо Вэнь — за обсуждение 
той части теоремы об устойчивом многообразии, которая
касается гладкости Ck. И в заключение я благодарю Вэньсян
Сан и участников нашего семинара за плодотворные беседы
и обсуждения на протяжении многих лет.