Теория вероятностей. Часть 2: Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей

Москва 2023

М И НИ С Т ЕРС Т ВО НА УК И И ВЫ С ШЕГО  О БРА З О ВА НИ Я РФ

УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

Е.В. Шишкова

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Часть 2. Случайные величины и предельные 
теоремы теории вероятностей

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4750

УДК  519.2
Ш65

Р е ц е н з е н т
канд. физ.-мат. наук, доц. В.П. Григорьев

Шишкова, Елена Владимировна.

Ш65  Теория вероятностей. Часть 2: Случайные величины 
и предельные теоремы теории вероятностей : учеб. пособие / 
Е.В. Шишкова. – Москва : Издательский Дом 
НИТУ «МИСиС», 2023. – 108 с.
ISBN 978-5-907560-46-8

В данном учебном пособии кратко изложен теоретический материал 
по второй части курса «Теория вероятностей», разобраны 
решения большого количества типовых задач, приведены упражнения 
для самостоятельного решения с ответами, типовые варианты 
контрольной работы, предназначенные для проверки усвоения 
пройденного материала, дана таблица значений функции Лапласа.
Соответствует программе курса «Теория вероятностей». 
Предназначено для студентов всех специальностей НИТУ 
МИСИС.

УДК 519.2


Е.В. Шишкова, 2023
ISBN 978-5-907560-46-8

НИТУ МИСИС, 2023

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Случайные величины и их распределения . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Понятие случайной величины. 
Функция распределения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Дискретная случайная величина  . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Многомерная случайная величина 
(случайный вектор)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1. Понятие многомерной случайной величины 
(случайного вектора). Многомерная функция 
распределения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2. Дискретная многомерная 
случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3. Непрерывная многомерная 
случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4. Условные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.5. Независимость случайных величин . . . . . . . . . . . 27
1.2.6. Функция случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Упражнения для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . 29

2. Числовые характеристики случайных величин  . . . . . . . . 34
2.1. Математическое ожидание случайной величины . . . . 34
2.2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение 
случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3. Мода и медиана случайной величины. Квантиль 
распределения порядка р . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Моменты высших порядков случайной величины . . . .40
2.5. Ковариация и коэффициент корреляции  . . . . . . . . . . 43
2.6. Условное математическое ожидание, функция 
регрессии и корреляционное отношение  . . . . . . . . . . . . . . 46
Упражнения для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . 57

3. Важнейшие примеры законов распределения 
дискретных случайных величин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1. Биномиальное распределение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Распределение Пуассона  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3. Геометрическое распределение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Упражнения для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . 68

4. Важнейшие примеры законов распределения 
непрерывных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1. Равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2. Показательное (экспоненциальное) распределение  . . .72
4.3. Нормальное распределение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4. Функции нормально распределенных случайных 
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1. Распределение 2 (хи-квадрат)  . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.2. Распределение Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.3. Распределение Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Упражнения для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . 82

5. Важнейшие примеры законов распределения 
двумерных  случайных величин  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1. Равномерное двумерное распределение . . . . . . . . . . . . 85
5.2. Нормальное двумерное распределение  . . . . . . . . . . . . 85
Упражнения для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . 88

6. Предельные теоремы теории вероятностей  . . . . . . . . . . . . 89

Варианты контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Заключение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Ответы к вариантам контрольной работы  . . . . . . . . . . . . . . . 97

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы . . . . . . 99

Библиографический список  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Приложение. Значения 

функции Лапласа 

2

2
0
0

1
( )
2

x
t
x
e
dt



 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

ПРЕДИСЛОВИЕ

Образовательные стандарты бакалавров всех специальностей 
содержат курс теории вероятностей и математической 
статистики, поэтому данное пособие можно использовать студентам 
всех специальностей НИТУ МИСИС. 
Данное пособие является непосредственным продолжением 
пособия «Теория вероятностей. Вероятностное пространство. 
Условная вероятность. Независимость событий»1. При 
изложении материала данного пособия предполагается, что 
читатель знаком с основными понятиями [10].
Учебное пособие содержит краткое изложение теоретического 
материала второй части курса «Теория вероятностей», 
посвященной случайным величинам, их распределениям 
и предельным теоремам теории вероятностей. Для лучшего 
восприятия материала в пособии приведено большое количество 
задач с решениями, а также задачи для самостоятельного 
решения и типовые варианты контрольной работы. Все задачи 
снабжены ответами. 

1 Сабурова Т.Н., Шишкова Е.В. Теория вероятностей. Вероятностное 
пространство. Условная вероятность. Независимость событий: учеб. пособие. 
М.: МИСиС, 2011.

1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ 
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Случайная величина

1.1.1. Понятие случайной величины. 
Функция распределения

Пусть задано вероятностное пространство (,  , P(A)), где 
 – пространство элементарных событий,   – поле событий, 
Р(А) – заданная на поле событий вероятность. 
Функция (), заданная на элементарных исходах   , такая, 
что для любого числа х множество элементарных исходов, 
на которых {() < x} – событие, называется случайной величиной.
Случайные величины обозначают одной буквой, как правило, 
греческого алфавита. Например: , , .

Пример. В урне 2 белых и 3 черных шара. Последовательно 
вынимаются два шара. Пусть  – число вынутых белых шаров. 
Тогда элементарные события 1 = {чб}, 2 = {бч}, 3 = {чч}, 
4 = {бб}.
 – функция от элементарного события:
(1) = 1, (2) = 1, (3) = 0, (4) = 2.
Функция (i) – случайная величина, определенная 
на множестве элементарных событий  = {1, 2, 3, 4}.
Функцией распределения вероятностей, или просто функцией 
распределения случайной величины , называется функция 

F(x) = Р{ < x},

здесь Р{ < x} – вероятность события, о котором шла речь 
в определении случайной величины, то есть { < x} – событие, 
состоящее из элементарных исходов, на которых значения  
меньше х. 

Данному выше определению случайной величины теперь 
можно придать более наглядный смысл: случайная величина – 
это переменная величина, значения которой зависят 
от случайных событий и для которой определена функция распределения 
вероятностей.

Теория вероятностей отличается от математического анализа 
тем, что в ней изучаются свойства функций (случайных 
величин), о которых нет полной информации. Известна лишь 
функция распределения случайной величины. Тем не менее, 
мы увидим, что этой информации достаточно, чтобы решать 
важные прикладные задачи.
Заметим, что функция распределения – это обычная функция, 
определенная на всей числовой оси. Ее свойства вытекают 
непосредственно из соответствующих свойств вероятности.
Свойства функции распределения F(х) случайной величины :

1) 0  F(x)  1;
2) F(x) не убывает;
3) F(x) непрерывна слева, то есть

0
0
lim 0
( )
(
);
x
x
F x
F x





 

4) lim
( )
0;
x
F x
 


5) lim
( )
1;
x
F x
 


6) P{x1   < x2}= F(x2) – F(x1);
7) P{ = x}= F(x + 0) – F(x).
Отметим, что любая функция, обладающая перечисленными 
выше свойствами, является функцией распределения некоторой 
случайной величины.

1.1.2. Дискретная случайная величина

Случайная величина называется дискретной, если множество 
ее значений конечно или счетно.
Законом распределения дискретной случайной величины  
называется перечень ее возможных значений xi и соответствующих 
им вероятностей pi = Р{ = xi}. Закон распределения дискретной 
случайной величины может быть задан в виде таблицы 
(ряда распределения), первая строка которой содержит возможные 
значения случайной величины xi, а вторая – вероятности pi:


x1
x2
…
p
p1
p2
…

где 
1.
i
i
p 

Поясним эти понятия на примере следующей задачи.

Задача 1.1. В партии из шести изделий 3 изделия типа А и 
3 изделия типа В. Наудачу вынимаются 3 изделия. Случайная 
величина  – количество изделий типа А среди вынутых изделий. 
Нужно найти закон распределения случайной величины , 
функцию распределения F(x) и построить ее график.

□ Рассмотрим возможные значения : 
х0 = 0 (среди вынутых изделий нет изделий типа А); 
х1 = 1 (среди вынутых изделий одно изделие типа А и два 
типа В); 
х2 = 2 (среди вынутых изделий два изделия типа А и одно 
типа В); 
х3 = 3 (среди вынутых изделий все 3 изделия типа А).
Соответствующие этим значениям вероятности:

0
3
3
3
0
0
3
6

1
{
}
{
0}
0,05
20
С C
p
P
x
P
C

 

 



;

1
2
3
3
1
1
3
6

9
{
}
{
1}
0,45
20
С C
p
P
x
P
C

 

 



;

2
1
3
3
2
2
3
6

9
{
}
{
2}
0,45
20
С C
p
P
x
P
C

 

 



;

3
0
3
3
3
3
3
6

1
{
}
{
3}
0,05
20
CС
p
P
x
P
C

 

 



.

Запишем закон распределения  в виде таблицы:


0
1
2
3

p
0,05
0,45
0,45
0,05

Заметим, что 0,05 + 0,45 + 0,45 + 0,05 = 1.
Найдем функцию распределения случайной величины . 
Согласно определению

F(x) = P{ < x}.

Пусть x – любое число, не превосходящее 0, то есть x  0. 
Тогда F(x) = 0, так как вероятность того, что  примет значение 
меньше, чем x, равна нулю.
Пусть 0 < x  1, тогда F(х) = P{ < x} = P{ = 0}= p0 = 0,05.
Пусть 1 < x  2, тогда F(х) = P{ < x} = P{ = 0}+ P{ = 1} = 
= p0 + p1 = 0,05 + 0,45 = 0,5.
Пусть 2 < x  3, тогда F(х) = P{ < x} = p0 + p1 + p2= 0,05 + 
+ 0,45 + 0,45 = 0,95.
Пусть x > 3, тогда F(х) = P{ < x} = p0 + p1 + p2 + p3 = 0,05 + 
+ 0,45 + 0,45 + 0,05 = 1.
Таким образом: 

0,
0,

0,05, 0
1,

( )
0,5,
1
2,

0,95, 2
3,

1,
3
.

x

x

F x
x

x

x




















Построим график функции распределения F(х) случайной 
величины  (рис. 1.1). ■

 

F(х) 

 0        1        2       3                  

  1 
   0,95 
 
     0,5 
 
  0,05 

х

Рис. 1.1. График функции распределения F(х) дискретной 
случайной величины 

Наш пример показывает, что функция распределения дискретной 
случайной величины  кусочно-постоянная, и ее график 
имеет вид «лестницы, восходящей от нуля до единицы». 
Точки разрыва (первого рода) функции распределения xi яв-

ляются значениями данной случайной величины , и скачок 
в этих точках равен pi = Р{ = xi}. 
Таким образом, закон распределения дискретной случайной 
величины целиком определяет ее функцию распределения, и 
наоборот, зная функцию распределения дискретной случайной 
величины, можно восстановить ее закон распределения. 

1.1.3. Непрерывная случайная величина

Случайная величина  называется непрерывной, если существует 
такая неотрицательная функция f(x), что функцию 
распределения F(х) случайной величины  можно представить 
в виде интеграла:

( )
( )
.

x
F x
f t dt



 

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей, 
или просто плотностью вероятности.
В простейших случаях плотность вероятности равна 
производной функции распределения. 
Непосредственно из свойств функции распределения вытекают 
свойства плотности.

Свойства плотности вероятности f(x):
1) f(x)  0;

2) 
( )
1
f t dt







;

3) 
( )
( )
f x
F x

 
 в точках непрерывности функции f(x);

4) 

2

1

1
2
{
}
( )
.

x

x
P x
x
f t dt

  
 

Как следует из определения, функция распределения непрерывной 
случайной величины F(x) является непрерывной 
функцией на всей оси (как интеграл с переменным верхним 
пределом). Причем P{ = x} = F(x + 0) – F(x) = 0 для любых 
действительных чисел x, то есть вероятность «попасть в точку» 
для непрерывной случайной величины равна нулю. 

Задача 1.2. Функция распределения 
( )
F x

 непрерывной 
случайной величины  имеет вид

0,
,
6

( )
sin
,
,
6
6
3

1,
.
3

x

F x
a
x
b
x

x





  
 





















 
 


Найти константы a и b, а также плотность распределения 
вероятностей f(x).
□ Функция распределения непрерывной случайной величины 
должна быть непрерывной на всей оси. В нашем случае 
для этого достаточно потребовать выполнения условий непрерывности 
F(x) при x = –/6 и x = /3, что приводит к системе 
уравнений

0
0
0
sin
,
6
6
6
6

0
sin
0
1,
3
3
6
3

F
F
a
b

F
a
b
F











































































то есть 

sin0
0,

sin
1,
2

a
b

a
b








 








откуда a = 1, b = 0 и 

0,
,
6

( )
sin
,
,
6
6
3

1,
.
3

x

F x
x
x

x





  
 




















 
 


По свойству 3 плотности распределения вероятностей

или

cos
,
,
( )
6
6
3
( )

0,
.
6
3

x
x
dF x
f x
dx
x
x




















 



 



■

Задача 1.3. Функция распределения непрерывной случайной 
величины  имеет вид

( )
arctg
,
.
F x
a
x
b
x




  
 

Найти константы a, b и плотность распределения вероятностей 
f(x).
□ Согласно свойствам функции распределения 4 и 5 F(x) 
должна удовлетворять следующим условиям: 

 

 

lim
lim (
arctg
)
0,

lim
lim (
arctg
)
1,

x
x

x
x

F x
a
x
b

F x
a
x
b





















то есть

0,
2

1,
2

a
b

a
b

 


 





откуда a = 1/, b = 1/2 и 

1
1
( )
arctg
,
.
2
F x
x
x



  
 


По свойству 3 плотности распределения вероятностей

2
( )
1
1
( )
,
(
;
).
1

dF x
f x
x
dx
x






  



■

Задача 1.4. Непрерывная случайная величина  распределена 
по закону, который определяется плотностью распределения 
вероятностей f(x), заданной графически (рис. 1.2). 
Найти константу c, f(x), функцию распределения F(x); изобразить 
график функции распределения и вычислить вероятности: 
P{–2   < 0,5}, P{ ≥ –1}, P{|| < 0,5}.