Моделирование физических процессов горного производства

Москва 2023

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Университет науки и технологий МИСИС

ГОРНЫЙ ИНСТИУТ

Кафедра физических процессов горного производства и геоконтроля

А.С. Вознесенский

МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 
ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Учебник

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета

№ 4770

УДК 004.94:622 
 
B64

Р е ц е н з е н т ы : 
д-р физ.-мат. наук, член-корр. РАН, зам. директора ИФЗ РАН  
А.Л. Собисевич; д-р техн. наук, доц., заведующий кафедрой  
автоматизированных систем управления НИТУ МИСИС И.О. Темкин

Вознесенский, Александр Сергеевич.
В64  
Моделирование физических процессов горного производства : 
учебник / А.С. Вознесенский. – Москва : Издательский 
Дом НИТУ МИСИС, 2023. – 291 с.
ISBN 978-5-907560-81-9

Учебник знакомит с численным моделированием объектов 

и процессов горного производства методом конечных элементов 
(МКЭ) с использованием программного пакета COMSOL Multi-
physics. Рассмотрены основы МКЭ, последовательность действий 
при моделировании, порядок выбора параметров моделей, а также 
визуализация результатов, в наилучшей степени отражающая особенности 
изучаемых объектов и процессов. Включены вопросы моделирования 
тепловых, механических, гидромеханических, электрических, 
магнитных и электромагнитных процессов, а также 
пьезокерамических материалов, используемых при акустическом 
контроле горных пород, бетона, металлов, с которыми приходится 
иметь дело в горном производстве. Теоретические сведения проиллюстрированы 
примерами моделей из области физических процессов 
горного производства и геоконтроля.
Предназначен для студентов специальности 21.05.05 «Физические 
процессы горного или нефтегазового производства», а также 
изучающим дисциплину «Моделирование физических процессов 
горного производства». Будет полезен студентам и аспирантам 
других специальностей, а также инженерно-техническому персоналу 
и научным работникам, ведущим работы в областях исследования 
физических процессов горного производства и геоконтроля.

УДК 004.94:622

 Вознесенский А.С., 2023
ISBN 978-5-907560-81-9
 НИТУ МИСИС, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ................................................................8

1. Уравнения, описывающие объекты и процессы  
горного производства при моделировании ...................... 12
1.1. Общий подход при компьютерном моделировании 
строения, свойств и состояния физических объектов 
и процессов ............................................................. 12
1.2. Дифференциальные уравнения, описывающие 
объекты и процессы горного производства ................... 13
1.3. Дифференциальные уравнения в частных 
производных в системе COMSOL Multiphysics .............. 18
1.4. Решение систем дифференциальных уравнений 
в частных производных ............................................ 22
1.4.1. Методы решения ДУЧП. Метод конечных 
элементов ............................................................ 22
1.4.2. Конечные элементы (Finite Elements) и сетки ... 27
1.4.3. Приближения к точному решению внутри 
конечных элементов .............................................. 30
1.4.4. Элементы Лагранжа, Аргириса и Эрмита ........ 32
1.4.5. Элементы Лагранжа в COMSOL Multiphysics ... 34
Контрольные вопросы .............................................. 38

2. Системы координат в COMSOL Multiphysics ................ 40
2.1. Размерность задач и виды систем координат 
в COMSOL Multiphysics ............................................. 40
2.2. Глобальная система координат ............................ 43
2.3. Локальная геометрическая система координат ...... 44
2.4. Системы координат, определяемые  
пользователем ......................................................... 45
2.5. Пример задания цилиндрических координат, 
определяемых пользователем .................................... 52
Контрольные вопросы .............................................. 56

3. Моделирование тепловых процессов в среде COMSOL 
Multiphysics ............................................................... 58

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

3.1. Общая характеристика задач расчета тепловых 
процессов................................................................ 58
3.2. Уравнения теплопереноса за счет  
теплопроводности и за счет конвекции ........................ 59
3.3. Граничные условия при решении тепловых  
задач ...................................................................... 61
3.4. Теплопередача за счет излучения ........................ 62
3.5. Решение задач теплопередачи в системе COMSOL 
Multiphysics ............................................................ 67
3.6. Пример тепловых расчетов в системе COMSOL 
Multiphysics ............................................................ 71
3.6.1. Монофизическая постановка задачи 
(распределение температур и тепловых потоков) ....... 71
3.6.2. Мультифизическая постановка задачи 
(распределение температур, тепловых потоков, 
механических напряжений и деформаций) ............... 81
Контрольные вопросы .............................................. 88

4. Моделирование механических систем и процессов  
в среде COMSOL Multiphysics ........................................ 90
4.1. Общая характеристика возможностей  
моделирования механических объектов и процессов 
в COMSOL Multiphysics ............................................. 90
4.2. Уравнения механики ......................................... 95
4.3. Задание механических свойств подобластей ........ 104
4.4. Граничные условия при решении механических 
задач .................................................................... 106
4.5. Визуализация символов ................................... 112
4.6. Примеры механических расчетов в системе  
COMSOL Multiphysics ............................................. 114
4.6.1. Расчет напряжений вокруг горизонтальной 
выработки ......................................................... 114
4.6.2. Моделирование расслоения кровли  
подземных горных выработок ............................... 118
4.6.3. Моделирование сейсмического действия  
взрыва на карьере ............................................... 122

Оглавление

4.6.4. Моделирование распределения напряжений 
в массиве пород при камерной системе разработки 
горизонтальных залежей ..................................... 128
Контрольные вопросы ............................................ 134

5. Моделирование пьезоматериалов 
и пьезопреобразователей ............................................ 135
5.1. Общие сведения о свойствах пьезокерамики ....... 135
5.2. Электрические свойства керамики .................... 136
5.2.1. Основные понятия теории электричества ...... 136
5.2.2. Электрическое поле и электрическая  
индукция .......................................................... 138
5.3. Механические свойства керамики ..................... 140
5.4. Уравнения пьезоэффекта.................................. 143
5.5. Модели материала ........................................... 145
5.5.1. Материалы с пьезоэффектом и без него ......... 145
5.5.2. Пьезоэлектрическое рассеяние .................... 146
5.5.3. Затухание колебаний и потери в керамике .... 146
5.6. Моделирование пьезопреобразователей в среде 
COMSOL Multiphysics ............................................. 148
Контрольные вопросы ............................................ 152

6. Механика жидкости .............................................. 154
6.1. Расположение разделов механики жидкости 
в COMSOL Multiphysics ........................................... 154
6.2. Области изучения механики жидкости 
и формулировка дифференциальных уравнений  
в частных производных .......................................... 155
6.3. Установки свойств подобластей ......................... 156
6.4. Установка граничных условий .......................... 159
6.5. Численная стабильность решения и техника его 
стабилизации ........................................................ 166
6.6. Переменные раздела механики жидкости ........... 171
6.7. Настройки решателя ....................................... 173
6.8. Пример задачи, решаемой в разделе уравнений 
несжимаемой жидкости Навье – Стокса .................... 175
Контрольные вопросы ............................................ 182

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

7. Моделирование электрических, магнитных 
и электромагнитных процессов ................................... 184
7.1. Общая характеристика задач раздела  
электрических, магнитных и электромагнитных 
процессов.............................................................. 184
7.2. Основные уравнения моделирования  
электрических, магнитных и электромагнитных 
процессов.............................................................. 184
7.3. Свойства материала ......................................... 189
7.4. Граничные условия ......................................... 190
7.5. Подраздел Conductive Media DC ........................ 193
7.5.1. Общие соотношения .................................. 193
7.5.2. Свойства подобластей и граничные условия ... 195
7.5.3. Распределение потенциалов и токов в среде 
при электроразведке с поверхности Земли .............. 201
7.5.4. Распределение токов при электроразведке 
кровли подземных выработок методом ВЭЗ ............ 206
7.6. Подраздел электростатики ............................... 211
7.6.1. Общие соотношения .................................. 211
7.6.2. Свойства материалов и граничные  
условия ............................................................. 213
7.6.3. Цилиндр между двумя медными  
заряженными пластинами ................................... 219
7.7. Подраздел магнитостатики ............................... 222
7.7.1. Общие соотношения .................................. 222
7.7.2. Режимы, константы и граничные условия 
раздела Magnetostatics ........................................ 224
7.7.3. Моделирование магнитного поля Земли ....... 226
7.7.4. Моделирование магнитного поля в области 
рудной залежи ................................................... 234
7.8. Подраздел AC/DC: моделирование поиска 
электропроводных аномалий методом  
электромагнитного зондирования ............................ 239
7.8.1. Общая информация ................................... 239
7.8.2. Модель 1: катушка индуктивности  
над грунтом ....................................................... 241

Оглавление

7.8.3. Модель 2: катушка индуктивности 
над проводящим диском, скрытом в грунте ............ 260
Контрольные вопросы ............................................ 263

8. Моделирование с помощью интерфейса COMSOL – 
MATLAB .................................................................. 265
8.1. Интерфейс COMSOL – MATLAB ........................ 265
8.2. Формирование синтетических структур и текстур 
горных пород при их моделировании в среде COMSOL 
Multiphysics .......................................................... 273
8.2.1. Общая информация ................................... 273
8.2.2. Метод исследования и основной код  
программы ........................................................ 273
8.2.3. Демонстрационный пример структуры, 
формируемой основным кодом .............................. 275
8.3. Влияние включений и коэффициента пористости 
горных пород на их акустические свойства ................ 276
8.4. Построение структуры образца песчаника 
и моделирование его механических испытаний 
при одноосном сжатии ............................................ 282
8.5. Моделирование влияния горизонтальной 
трещиноватости на электрическое сопротивление  
образца известняка ................................................ 284
Контрольные вопросы ............................................ 286

Библиографический список ........................................ 287

Приложение 1. Некоторые графические символы  
нагрузки .................................................................. 289

Приложение 2. Некоторые графические символы 
граничных условий (constraint) .................................. 290

ПРЕДИСЛОВИЕ

Появление персональных компьютеров и программного 

обеспечения, построенного на методе конечных элементов 
(МКЭ), сделало доступным для широкого круга специалистов 
инженерного уровня решение задач моделирования сложных 
систем во многих областях науки и техники, что ранее было 
доступно только математикам высокого уровня подготовки. 
МКЭ позволил также расширить круг задач, решаемых 
методами аналитического моделирования, базирующимися 
на точных решениях систем дифференциальных и интегральных 
уравнений, которые описывают реальные объекты 
сложной формы со значительными приближениями и допущениями. 
С использованием МКЭ стало возможным исследовать 
объекты сложной формы и строения, что не всегда удавалось 
осуществить аналитическими расчетами.
Все это в полной мере относится к такой области, как физические 
процессы горного производства и геоконтроль. Объектами 
исследования здесь являются горные породы в массиве 
и образцах, угольные шахты, рудники, карьеры, подземные и 
шахтные сооружения, предприятия по добыче и переработке 
полезных ископаемых и использованию подземного пространства. 
К физическим процессам горного производства относятся 
процессы взаимодействия с горными породами инструментов, 
механизмов, агрегатов или реагентов, которые по технологическим 
признакам подразделяются на осушение, оттаивание, 
разрушение взрывом, дробление, измельчение, упрочнение, 
поддержание горных выработок, переработку и обогащение 
полезных ископаемых, контроль свойств, качества, состава, 
строения, состояния и поведения пород при технологических 
процессах. Исследование физических процессов горных пород 
позволяет устанавливать количественные соотношения между 
параметрами технологического процесса и физико-техническими 
свойствами горных пород.
Целью исследований физических процессов горного производства 
является установление значений и закономерно-

Предисловие

стей изменения параметров, необходимых для расчета режимов 
работы и производительности горного оборудования при 
проектировании горных предприятий и планировании их 
работ, при разработке новых методов воздействия на горные 
породы и новой технологии горного производства, а также 
разработку и эксплуатацию систем контроля и мониторинга 
состава, строения, состояния и поведения горных пород в 
различных производственных процессах.
Современные методы исследования физических объектов 

и процессов горного производства включают натурные и лабораторные 
физические эксперименты, измерения и мониторинг 
различных информативных параметров, их компьютерную 
обработку, физическое и численное моделирование.
Как один из рабочих инструментов компьютерное моделирование, 
особенно интенсивно развивающееся в последние десятилетия, 
в этой деятельности занимает особое место, позволяющее 
современному инженеру осуществлять проведение 
виртуальных экспериментов и расчетов, что не было доступно 
ранее. Многообразие физических законов, описывающих 
процессы горного производства, обусловило ориентацию на 
программный пакет COMSOL Multiphysics 3.5a, который изначально 
разрабатывался как система мультифизического 
моделирования, что позволило сделать удобным его применение 
для решения практических задач, описываемых несколькими 
физическими законами. Автор не стремился отследить 
последние версии этого программного продукта, уделив значительное 
внимание физическим, математическим и вычислительным 
принципам, заложенным в него, а также тем задачам, 
с которыми приходится сталкиваться при исследовании 
физических процессов горного производства и в геоконтроле.
Следует заметить, что только само по себе проведение таких 

виртуальных расчетов и компьютерных экспериментов может 
привести к ошибочным выводам, если они базируются лишь на 
умозрительных исходных предпосылках. В настоящее время 
компьютерное моделирование используется в сочетании с физическими 
экспериментами и служит либо для обоснования 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

методик проведения экспериментов, либо для интерпретации 
их результатов. Модели, создаваемые в ходе подготовки и проведения 
компьютерных экспериментов, обязательно должны 
пройти верификацию и валидацию. Первая операция предполагает 
выполнение моделью предъявляемых к ней требований, 
т.е. ее работоспособность, а вторая – соответствие результатов 
ее работы тем реальным физическим процессам, которые она 
моделирует.
Учебник состоит из восьми разделов.
В первом разделе рассмотрены дифференциальные уравнения 
в частных производных, описывающие объекты и 
процессы горного производства, а также методы их решения 
в системе COMSOL Multiphysics. Обсуждаются базовые идеи, 
закладываемые в МКЭ, а также различные виды элементов 
и сетки, на которые разбивается объект моделирования. 
Во втором разделе представлены виды координат, доступных 
в системе моделирования. Третий раздел посвящен моделированию 
тепловых процессов, рассмотрено моделирование 
различных видов теплопередачи. В четвертом разделе рассматривается 
моделирование механических систем и процессов. 
С учетом широкого распространения неразрушающего 
акустического контроля в пятом разделе рассматривается 
моделирование пьезопреобразователей. Шестой раздел посвящен 
механике жидкостей и описанию их течения с помощью 
уравнений Навье – Стокса. Седьмой раздел знакомит 
читателя с моделированием электрических, магнитных и 
электромагнитных процессов, являющихся основой многих 
методов геофизики и неразрушающего контроля. В восьмом 
разделе изложены некоторые принципы, а также показаны 
возможности и преимущества скрипт-моделирования, 
для которого используется связка COMSOL-Matlab. В приложениях 
приведены обозначения графических символов нагрузки 
и граничных условий.
Особое внимание при чтении изложенного материала следует 
уделить примерам решения задач. В то же время теоретические 
сведения, приведенные в данном учебнике, должны 

Предисловие

дополняться лабораторно-практическими занятиями, изложенными 
в соответствующем лабораторном практикуме.
При изучении данного учебника предполагается владение 
студентами материалами следующих областей знаний: 
горная геофизика, физико-технический контроль и мониторинг 
объектов и процессов горного производства, физика 
горных пород, гидромеханика, геомеханика, компьютерные 
методы в инженерных расчетах и научных исследованиях, 
волновые процессы, измерения в физическом эксперименте, 
специальные главы физики и математики и др.
Учебник будет полезен также студентам, обучающимся 

по специальности 21.05.04 «Горное дело», а также научным 
работникам и инженерно-техническому персоналу, областью 
действия которых является массив горных пород, физические 
процессы горного производства и геоконтроль.
Автор выражает благодарность д-ру техн. наук В.А. Трофимову, 
д-ру техн. наук С.В. Мазеину, канд. физ.-мат. наук 
П.Е. Сизину за ценные замечания, учтенные при подготовке 
учебника, а также А.О. Тютчевой за помощь при подготовке 
рукописи к изданию.

1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ 
ОБЪЕКТЫ И ПРОЦЕССЫ ГОРНОГО 

ПРОИЗВОДСТВА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ

1.1. Общий подход при компьютерном 

моделировании строения, свойств и состояния 

физических объектов и процессов

Физические объекты и процессы в них обычно описываются 
дифференциальными уравнениями различного порядка 
с начальными и граничными условиями. При решении на 
основе условий, заданных на границах (краях) модели, получают 
распределение искомых величин внутри нее, которые 
также могут меняться во времени. В зависимости от вида искомой 
величины – скалярной или векторной, ее распределение 
называется соответственно скалярным или векторным 
полем. Область математики, рассматривающая такие задачи, 
называется «теория поля».
В задачах теории поля приходится решать уравнения в 

частных производных и из большого числа решений выбирать 
такие, которые удовлетворяют заданным граничным условиям, 
т.е. условиям на краях модели. Такие задачи называются 
краевыми. К ним относятся, в частности, задачи определения 
внутреннего строения, свойств и состояния массива горных пород. 
В этом случае доступ возможен либо к его свободным границам 
на поверхности Земли или в выработках, либо при бурении 
к ограниченным точкам пространства внутри него. Задача 
ставится таким образом, чтобы по измеренным на поверхности 
массива пород деформациям, температуре, электросопротивлению 
или другим физическим величинам получить информацию 
о том, что находится или происходит внутри него.
В теории поля решаются линейные и нелинейные задачи. 

В линейных задачах параметры среды, в которой протекает 
процесс, не зависят от искомых величин. Задачи относятся к 
нелинейным, когда между параметрами модели и результатами 
решений существует нелинейная зависимость.

1. Уравнения, описывающие объекты и процессы горного производства при моделировании

Моделирование осуществляется с использованием дифференциальных 
уравнений в частных производных (ДУЧП, англ. 
partial differential equations, PDE). PDE – это уравнение, содержащее 
неизвестную функцию двух или более переменных и ее 
частные производные. Дифференциальные уравнения могут 
описывать объекты и процессы в скалярных и векторных полях. 
Системы нелинейных уравнений или нелинейные скалярные 
уравнения более сложны для решения, чем системы линейных 
уравнений или линейные уравнения скалярных величин.

1.2. Дифференциальные уравнения, 
описывающие объекты и процессы 

горного производства

Для описания положения точек в пространстве используются 
несколько видов координат, наиболее распространенными 
из которых являются декартовы координаты. В одно-
мерной постановке задачи (1D) положение точек задается 
координатой х, в двухмерной (2D) – координатами x, y, в трех-
мерной (3D) – x, y, z. Кроме того, используются осесимметричные (
axial symmetry) постановки задач, в которых координата 
положения точки обозначается r в случае 1D Axial symmetry 
и r, z в случае 2D Axial symmetry. В случае осесимметричной 
постановки подразумевается также переменная phi, обозначающая 
угол поворота относительно оси симметрии.
Если это не оговорено отдельно, перемещения точки по оси 

x обозначаются буквой u, по оси y – буквой v, по оси z – буквой 
w. Для вектора используется обозначение u

→.
Дифференциальные уравнения в частных производных 

могут быть представлены в стандартной записи и с использованием 
векторного дифференциального оператора, что позволяет 
сократить количество символов, используемых при обозначениях. 
Напомним некоторые из них.
1. Обозначение частных производных первого и второго 

порядка (первой и второй производных) скалярной переменной 
u по x:

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

2

2
, 
.
u
u
x
x
∂
∂
∂
∂

2. Оператор набла, или оператор Гамильтона, – это векторный 
дифференциальный оператор, обозначаемый символом 
набла ∇:

.
i
j
k
x
y
z
∂
∂
∂
∇ =
+
+
∂
∂
∂





Применяя этот оператор к скалярной величине u, получим

grad .
u
u
u
u
u
u
u
i
j
k
u
x
y
z
x
y
z


∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇
=
+
+
=
=


∂
∂
∂
∂
∂
∂







Этот же оператор, примененный к векторной величине u

→ 

в виде скалярного произведения, приводит к соотношению

div .
u
v
w
u
u
x
y
z
∂
∂
∂
∇⋅
=
+
+
=
∂
∂
∂



Дивергенция характеризует точку, в случаях div u

→ > 0 и 

div u

→ < 0 точка является источником или стоком соответственно.

Аналогично векторное произведение оператора ∇ на u

→ дает 

ротор вектора:

rot
,

x
y
z

i
j
k

u
u
x
y
z
u
u
u





∂
∂
∂


∇×
=
= 

∂
∂
∂














где ux, uy, uz – компоненты вектора u

→ по координатам x, y, z.

1. Уравнения, описывающие объекты и процессы горного производства при моделировании

3. С помощью оператора набла можно записать различные 
виды дифференцирования, в частности

(
)

2
2
2

2
2
2 .
u
u
u
u
u
u
u
i
j
k
x
y
z
x
y
z



∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇⋅ ∇
= ∇⋅
+
+
=
+
+


∂
∂
∂
∂
∂
∂







4. Оператор Лапласа (лапласиан) – дифференциальный 

оператор, действующий в пространстве скалярных функций, 
обозначается символом D. Скалярной функции F он ставит в 
соответствие также скалярную функцию

(
)

2
2
2

2
2
2
.
F
F
F
x
y
z



∂
∂
∂
D
= ∇⋅ ∇
=
+
+




∂
∂
∂



Оператор Лапласа часто обозначается следующим образом: ∇
2, т.е. в виде скалярного произведения оператора наб-
ла на самого себя.
5. В записях используются также обозначения: W – область 
в одно-, двух- или трехмерном пространстве; ∂W – границы (
ребра) области W; ∂2W – точки в области W.

Пример 1.1. Уравнение конвекции – диффузии:
• внутри области W – дифференциальное уравнение:

0;
ut
u
c u
′ +b⋅∇ −∇⋅ ∇
=

• граничные условия на ∂W:

(
)
( )
,
;
u x t
g x
=

• начальные условия при t = 0:

(
)
( )
,0
0 .
u x
= b