Математическая статистика и анализ данных

Москва 2023

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

О.В. Максимова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 
И АНАЛИЗ ДАННЫХ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4442

УДК 519.22
 
М17

Р е ц е н з е н т
д-р техн. наук, проф., советник генерального директора 
ФГБУ «Институт стандартизации», 
профессор МГИМО МИД России И.З. Аронов

Максимова, Ольга Владимировна.
М17  
Математическая статистика и анализ данных : 
учеб. пособие / О.В. Максимова. – Москва : Издательский 
Дом НИТУ МИСИС, 2023. – 172 с.

Пособие представляет теоретический курс с охватом базовых 
тем математической статистики, необходимых для изучения 
дальнейших дисциплин по специальности. В нем рассматриваются 
современные методы сбора, систематизации и обработки 
результатов наблюдений со справочной информацией использования 
программного модуля Excel. Материал сопровождается 
практическими примерами и задачами, а также историческими 
сведениями и списком источников. Пособие адаптировано для 
сжатого изложения. 
Предназначено для студентов специальностей 28.03.01 «Нанотехнологии 
и микросистемная техника», 28.03.03 «Наномате-
риалы», 03.03.02 «Физика», 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника», 
22.03.01 «Автоматизация технологических процессов 
и производств (в машиностроении)» Института новых материалов 
и нанотехнологий.

УДК 519.22

 Максимова О.В., 2023
 НИТУ МИСИС, 2023

Содержание

Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

РАЗДЕЛ 1.Случайные события 
и их вероятность  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Предмет теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Вероятность случайных событий, их свойства . . . . . . . . . . . 14
1.4. Независимые и зависимые случайные события, 
условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

РАЗДЕЛ 2. Случайные величины и их числовые 
характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Понятие случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Системы случайных величин. Независимые случайные 
величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . . 34

РАЗДЕЛ 3. Законы распределения случайных величин . . . . . . . . 40
3.1. Законы распределения ДСВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2. Законы распределения НСВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

РАЗДЕЛ 4. Предельные теоремы теории вероятностей  . . . . . . . . 56
4.1. Законы распределения НСВ (продолжение) . . . . . . . . . . . . . 56
4.2. Предельные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3. Законы распределения НСВ, часто применяемые 
в математической статистике  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

РАЗДЕЛ 5. Выборочный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1. Задачи и терминология математической статистики . . . . . . 70
5.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности, 
их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3. Понятие доверительного интервала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

РАЗДЕЛ 6. Доверительные интервалы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1. Доверительный интервал (продолжение раздела 5) . . . . . . . 82
6.2. Доверительный интервал для математического ожидания . . . 83
6.3. Доверительный интервал для дисперсии. . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4. Доверительный интервал для вероятности успеха в серии 
независимых испытаний  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

РАЗДЕЛ 7. Проверка параметрических гипотез 
для одной выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.1. Вводные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3. Проверка параметрических гипотез. 
 Случай одной выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

РАЗДЕЛ 8. Проверка параметрических гипотез для двух 
выборок. Критерий согласия Пирсона 2 (хи-квадрат) . . . . . . . . 111
8.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2. Параметрические гипотезы для двух выборок . . . . . . . . . . 112
8.3. Критерий согласия Пирсона 2 (хи-квадрат) . . . . . . . . . . . . 121

РАЗДЕЛ 9. Основы корреляционно-регрессионного анализа . . . 126
9.1. Что изучает корреляционно-регрессионный анализ  . . . . . 126
9.2. Корреляционный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3. Регрессионный анализ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Библиографический список  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Приложение 1. Формулы, связанные с теоремами сложения 
и умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
П1.1. Формула полной вероятности (ФПВ)  . . . . . . . . . . . . . . . . 144
П1.2. Формула Байеса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
П1.3. Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Приложение 2. Зависимость случайных величин . . . . . . . . . . . . 148
П2.1. Функции от случайных величин. Нормальный закон 
для линейного преобразования случайной величины . . . . . . . . 148
П2.2. Ковариация. Свойства математического ожидания 
и дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Приложение 3. Методы получения точечных оценок. 
Первичный анализ данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
П3.1. Метод моментов и метод максимального 
правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
П3.2. Систематизация и начальная обработка данных . . . . . . . 152

Приложение 4. Статистики и значения функций некоторых 
распределений в Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Приложение 5. Основные законы распределения . . . . . . . . . . . . 158

Приложение 6. Табулированные таблицы распределений . . . . . 159

ОБОЗНАЧЕНИЯ

k
Cn
число сочетаний из n по k

 



!
!
!

k
n
n
C
k
n
k














достоверное событие (пространство элементарных исходов)

A
событие, противоположное событию A

P(A)
вероятность события A



P
|
A B
вероятность события A при условии, 
что произошло событие B

F(x)
функция распределения случайной величины 
(F(x) = P( < x))

f(x)
функция плотности вероятности случайной величины

M
математическое ожидание случайной величины 

D
дисперсия случайной величины 

Mo
мода случайной величины

xp
квантиль уровня p: F(xp) = p

Me
медиана случайной величины 
(квантиль уровня 0,5, т.е. F(x0,5) = 0,5)


среднеквадратическое (стандартное) отклонение

cov(X, Y)
ковариация случайных величин X, Y

rXY
коэффициент корреляции случайных величин X, Y

B(p)
закон распределения Бернулли с параметром p

Bi(n, p)
биномиальный закон распределения с параметрами n, p

G(p)
геометрический закон распределения с параметром p

П()
закон распределения Пуассона с параметром 

Exp()
показательный (экспоненциальный) закон распределения 
с параметром 

R[a, b]
равномерный закон распределения с параметрами a, b

N(m, 2)
нормальный закон распределения с параметрами m, 2 
(закон Гаусса)

t(k)
закон распределения Стьюдента с k степенями свободы

2(k)
закон 2-распределения Пирсона с k степенями свободы

F(k1, k2)
закон распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы

(x)
функция Лапласа

H0, H1
основная и альтернативная (конкурирующая) гипотезы 
соответственно


уровень значимости (вероятность ошибки I рода)


доверительная вероятность (уровень надежности,  = 1 – )


вероятность ошибки II рода

 начало и конец доказательства

(*)
пример

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пора выбрать стратегию «МОЖЕТ БЫТЬ» 
и приступить…
Я.И. Хургин. Да, нет или может быть…

Каждый день мы принимаем решения, анализируя ситуацию 
вокруг нас. Иногда мы даже не замечаем, что приняли 
какое-то решение, основываясь на полученной извне 
информации. И если результат оказался не очень удачным, 
пеняем на плохую информацию или просто невезение. Ввиду 
этого не только в своей повседневной жизни, но и в профессиональной 
деятельности, мы стараемся придавать решениям 
большую надежность, хотя в некоторых ситуациях 
интуиция не срабатывает. Повысить точность принимаемых 
решений можно, применив иногда даже очень простую статистическую 
модель и статистические методы. Как только 
математика вступает в практическую область, она сразу воплощается 
в сборе, описании, моделировании и предсказании 
реальных процессов. Именно в статистике она обретает 
силу, выходя за пределы идеализированных и оторванных 
от жизни формул и расчетов.
Знание основ курса «Математическая статистика и анализ 
данных» (МСиАД) способствует развитию у студентов 
навыков принятия решений на основе статистического мышления. 
Этот курс знакомит студентов с терминологией теории 
вероятностей и математической статистики, важными 
статистическими законами распределения и основами корреляционно-
регрессионного анализа.
Между тем потребность изучения МСиАД также продиктована 
необходимостью систематизации у студентов 
знаний, приобретения умений и формирования компетенций 
в области принятия решений на основе статистического 
мышления, при выборе лучшей альтернативы из нескольких 
возможных, а также при изучении в дальнейшем таких 
дисциплин, как «метрология», «статистическое управление 

процессами» и др.  Помимо этого, знания, полученные студентами 
при изучении курса, могут быть использованы ими 
в ходе выполнения дипломной работы, а также при формировании 
и дальнейшем развитии комплекса собственных 
профессиональных и научных интересов в рамках индивидуальной 
образовательной траектории.
Настоящее учебное пособие содержит сжатое изложение 
базовых тем теории вероятностей с продвижением и углублением 
в разделы статистики, сопровождающимися помимо 
практических примеров и справочной информации использованием 
программного модуля Excel для обработки результатов 
наблюдений, исторической справкой и полезными 
ссылками на дополнительные литературные источники.
Учебное пособие косвенно состоит из двух блоков, 
в первом блоке содержится три раздела, во втором – шесть. 
В первом блоке даются базовая терминология и необходимые 
в дальнейшем теоремы теории вероятностей.  Второй 
блок пособия посвящен изложению стандартных приемов 
сбора и систематизации данных, а также подходам к их анализу, 
раскрывающим возможности изучения в дальнейшем 
современных математических методов в этой сфере. К некоторым 
разделам дополнительный материал можно найти 
в приложениях.
Учебное пособие предназначено для студентов второго 
года обучения Института новых материалов и технологий 
(ИНМиН), изучающих дисциплину МСиАД. Кроме того, отдельные 
материалы пособия могут быть востребованы студентами 
других факультетов университета, осваивающих и 
применяющих основы математической статистики.
Автор будет благодарен за критические замечания и выявление 
недочетов, которые можно направлять по следующему 
адресу: ov.maksimova@misis.ru.

РАЗДЕЛ 1
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 
И ИХ ВЕРОЯТНОСТЬ

В мире господствует случай и одновременно 
действуют порядок и закономерность, 
которые формируются из массы 
случайностей согласно законам случайного. 
А. Реньи. Трилогия о математике

1. Случайное событие служит «качественной» оценкой 
эксперимента.
2. Изучение закономерностей в случайных экспериментах 
начинается с построения математической модели этих 
экспериментов.
3. Любая модель начинается с задания вероятностного 
пространства, и выясняется множество всех возможных результатов 
данного эксперимента.
4. Определяется подход к расчету вероятности интересующего 
нас события. Затем рассматриваются те подмножества 
этого множества, которые влекут наступление интересующих 
нас событий.
5. Если событие сложное (представляется суммой/произведением 
некоторых событий Ai), то его вероятность можно 
попытаться вычислить с помощью теорем сложения и умножения. 
Для применения этих теорем важно заранее определить 
и учитывать совместность и зависимость событий Ai.

1.1. Предмет теории вероятностей

Часто в нашей повседневной жизни, произнося слова 
наподобие «Вероятно, завтра я пойду на лекцию 
по теории вероятностей», мы определенно, сознательно 
или бессознательно, приписываем, исходя 
из собственного опыта, некоторую вероятность событию «завтра 
я пойду на лекцию по теории вероятностей». Но эта веро-

ятность должна быть оценена с помощью совокупности сведений, 
благоприятствующих и не благоприятствующих этому 
событию, которые учитываются при подсчете вероятности. 
Ваше решение пойти на данную лекцию может зависеть отчасти 
от погодных условий именно в этот день, от того, успеете 
ли вы покормить вашего кота или вообще успеете ли проснуться 
к началу лекции, от пробок по пути на дороге и многого 
другого. Таким образом, ваше решение по отношению 
к этой конкретной лекции служит результатом взаимодействия 
многих факторов, иногда непредсказуемых. С таким 
типом неопределенных событий мы встречаемся, когда неизвестно, 
какой из законов случайных событий действует в данном 
конкретном случае.

Другое дело, когда мы подбрасываем обычную 
игральную кость. Результат ее падения случаен и 
не может быть определен заранее. Но с равной уверенностью 
можно ожидать появления одного 
из шести очков. Иметь дело с такими событиями, вообще говоря, 
несложно. Результат такого эксперимента диктуется 
законом случайных событий, проявляющемся в этом частном 
случае. 
В первом примере мы встречаемся с событиями, которые 
нельзя повторить многократно в одних и тех же 
условиях, в отличие от второго. Во втором примере мы 
имеем возможность в одинаковых условиях не только многократно, 
а сколько угодно раз производить наблюдения. 
Но и их результат заранее (до совершения эксперимента) 
точно определить нельзя. Однако вполне правдоподобно, 
что с увеличением числа наблюдений частота наступления 
этого события будет мало и несистематически меняться. 
Установлено, что случайные события в массе своей подчиняются 
некоторым общим неслучайным закономерностям, 
главная из которых – свойство статистической устойчивости: 
если некоторое событие A может произойти в результате 
эксперимента, то доля экспериментов, в которых 
данное событие произошло, с ростом общего числа экспе-

риментов приближается к некоторому числу P(A). Это, 
в свою очередь, означает, что частоты наблюдений изучаемого 
события, рассчитанные по всем наблюдениям и по некоторому 
отобранному подмножеству, близки. Число P(A) 
служит числовой характеристикой «степени уверенности»1
собы тию A произойти. 
Такая закономерность наблюдается не только при бросании 
монеты: вероятность любого случайного события можно 
трактовать как долю случаев, когда это событие происходит 
при многократном повторении опыта. 
Итог: не все явления можно воспроизвести в одинаковых 
условиях любое число раз. Теория вероятностей 
изучает закономерности случайных массовых 
явлений, которые возможно реализовать в одинаковых 
условиях эксперимента.  
Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая 
математические модели случайных массовых явлений (
экспериментов).
Теория вероятностей зародилась в 1654 г. в переписке 
французских математиков Блеза Паскаля и Пьера Ферма 
по поводу азартных игр (в частности, по поводу известной задачи 
де Мере). В этой переписке сформировались первые понятия 
теории вероятностей и вероятностные вычисления.

1.2. Случайные события

В теории вероятностей рассматриваются три класса случайных 
явлений: случайные события; случайные величины; 
функции случайных величин.
Со случайным экспериментом можно связать различные 
случайные события, которые могут осуществляться или нет 
в этом эксперименте.

1 «А разве можно измерить степень уверенности числом? Конечно, отвечу 
я; лица, играющие в азартные игры, основывают свою уверенность 
именно на этом» (Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. 376 с.).

Определение 1. Событие, которое при заданном комплексе 
факторов может либо произойти, либо не произойти, называется 
случайным событием.
Случайное событие, по сути, представляет некое описание 
результата эксперимента.
Обозначение: A, B, C, … .
(*1) Эксперимент: трое студентов садятся в лифт на первом 
этаже корпуса университета. 
A = {лифт перегружен};
B = {все трое студентов выйдут из лифта на одном этаже}.
Классификация
1. Если при каждом воспроизведении опыта событие неизбежно 
происходит, то его называют достоверным (обозначение ).

2. Если при воспроизведении опыта событие произойти 
не может, то его называют невозможным (обозначение ).
(*2) Эксперимент: наблюдение за водой при температуре 
20 С и атмосферном давлении 760 мм рт. ст. 
Достоверное событие:  = {вода в жидком состоянии},
невозможное событие:  = {вода в твердом состоянии}.
3. Элементарным событием называется исход одного 
опыта (обозначение ). Любое событие можно представить 
как совокупность элементарных. В (*1) событие B можно 
рассматривать как совокупность трех элементарных:
i = {студенты выйдут на i-м этаже}, i = 1, 2, 3.

Определение 2. Совокупность всех элементарных исходов 
образует пространство элементарных исходов, которое, 
в свою очередь, есть достоверное событие .
Операции над событиями
1. Произведением событий A и B называется событие С, 
которое происходит тогда, когда происходит и A, и B, обозначается 
C = A · B.
2. Суммой событий A и B называется событие С, которое 
происходит при наступлении хотя бы одного из событий A 
или B, обозначается C = A + B.