Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез»

Москва 2023

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Университет науки и технологий МИСИС

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМИ 
ПРЕДПРИЯТИЯМИ ИМ. В.А. РОМЕНЦА

Кафедра промышленного менеджмента

И.М. Рожков 
И.А. Ларионова 
Н.А. Исаева

ЭКОНОМЕТРИКА

Продвинутый курс 
для начинающих исследователей. 
Раздел «Случайные величины 
и законы их распределения. 
Проверка статистических гипотез»

Курс лекций

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета

№ 4604

УДК 330.43 
 
Р63

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. А.И. Широков

Рожков, Игорь Михайлович.
ЭР63  
Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих 

исследователей. Раздел «Случайные величины и законы 
их распределения. Проверка статистических гипотез» : 
курс лекций / И.М. Рожков, И.А. Ларионова, Н.А. Исаева. – 
Москва : Издательский Дом НИТУ МИСИС, 2023. – 
125 с.
ISBN 978-5-907560-68-0

Изложенные в учебном пособии эконометрические методы 

обеспечивают преемственность статистических дисциплин и основываются 
на методах математической статистики. Представлены 
примеры применения рассмотренных эконометрических 
методов при моделировании экономических показателей.
Курс лекций предназначен для студентов, обучающихся в магистратуре 
по направлениям 38.04.01 «Экономика», 38.04.02 
«Менеджмент» и 09.04.03 «Прикладная информатика».

УДК 330.43

 Рожков И.М., 

Ларионова И.А., 
Исаева Н.А., 2023
ISBN 978-5-907560-68-0
 НИТУ МИСИС, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ................................................................5

ГЛАВА 1. Случайные величины и законы  
их распределения. Проверка статистических гипотез 
как инструментарий нахождения оценок параметров 
законов распределений ..................................................7
1.1. Функция распределения ......................................7
1.2. Непрерывные распределения .............................. 14
1.3. Дискретные распределения ................................ 39
1.4. Аппроксимация выборочных распределений ........ 50
1.5. Мощность критерия при проверке статистических 
гипотез. Наилучший выбор критической области ......... 54
1.6. Проверка статистических гипотез с применением 
критериев значимости .............................................. 59

ГЛАВА 2. Практика статистической проверки гипотез ... 80
2.1. Доверительный интервал средней  
(большая выборка) ................................................... 80
2.2. Доверительный интервал средней  
(малая выборка)....................................................... 82
2.3. Доверительный интервал для выборочной доли ..... 84
2.4. Доверительный интервал для дисперсии .............. 84
2.5. Сравнение двух дисперсий нормально 
распределенных генеральных совокупностей ............... 87
2.6. Сравнение нескольких дисперсий нормальных 
генеральных совокупностей по выборкам различного 
объема. Критерий Бартлетта ..................................... 89
2.7. Сравнение нескольких дисперсий нормальных 
генеральных совокупностей по выборкам одинакового 
объема. Критерий Кочрена ........................................ 92
2.8. Сравнение выборочной средней со средней 
генеральной совокупности ........................................ 94
2.9. Сравнение выборочной доли с долей генеральной 
совокупности .......................................................... 95

2.10. Сравнение двух средних больших выборок .......... 96
2.11. Сравнение двух средних значений  
малых выборок ........................................................ 97
2.12. Проверка гипотезы о нормальном  
распределении генеральной совокупности  
по критерию c2 ...................................................... 100
2.13. Графический метод оценки соответствия 
распределения экспериментальных данных 
предполагаемому закону и нахождение параметров  
этого распределения ............................................... 105
2.14. Формирование дифференциальных  
распределений плотности вероятности  
экономических показателей с помощью  
имитационных экспериментов ................................. 115

Послесловие ............................................................. 121

Библиографический список ........................................ 123

ПРЕДИСЛОВИЕ

В отечественной литературе известно достаточное количество 
фундаментальных книг по прикладной математической 
статистике, и в частности по эконометрике, являющейся 
ее разделом. Тем не менее мы решили написать еще 
одну книгу по эконометрике, что вызвано следующими причинами.

Поскольку ведущие авторы настоящей работы прошли 

путь от младших научных сотрудников до докторов наук, 
они имеют представление об объеме знаний и навыков по 
эконометрике и прикладной математической статистике, 
необходимых начинающим исследователям, для которых 
написана эта книга. Авторы старались сделать так, чтобы 
язык, которым написана эта книга, был понятен даже ученикам 
старших классов средней школы, которые интересуются 
математикой.
Была поставлена задача заинтересовать молодого специалиста 
рассматриваемым предметом. Для этого мы «приподняли 
краешек занавеса» над проблемами, имеющимися в 
данной области.
Книга ориентирована на студентов, аспирантов, молодых 

научных сотрудников, а также работников металлургической 
отрасли, которая хорошо знакома авторам.
Книга посвящена Юрию Михайловичу Максимову – широко 
известному в 60-х годах прошлого столетия российскому 
ученому-металлургу, специалисту по прикладной математической 
статистике.
Его работы по прикладной математической статистике в 

течение многих лет использовались в качестве учебных пособий 
для аспирантов и молодых научных сотрудников ГНЦ 
РФ ФГУП «ЦНИИчермет им. И.П. Бардина» и других организаций. 
Они использованы и в настоящем курсе лекций. 
Эти работы нужны для понимания принципов математической 
статистики при проведении начинающими исследователями 
эконометрических расчетов.

В книге также приведены рекомендации по практическому 
применению необходимых процедур в средах MS Excel и 
Oracle Crystal Ball для формирования по фактическим данным 
дифференциальных распределений, их аппроксимации 
стандартными функциями и выбору закона распределения, 
наиболее близкого к фактическому, а также при проверке 
статистических гипотез.
О том, чего нет в книге, но совершенно необходимо знать 

начинающему исследователю, написано в ее послесловии.

ГЛАВА 1.  
Случайные величины и законы 

их распределения. Проверка статистических 

гипотез как инструментарий нахождения 

оценок параметров законов распределений

При написании главы 1 использованы источники [1–15]. 

При этом главными из них являются работы [1] и [9]. Перейдем 
к изложению основного материала.
Случайной величиной называется величина X, которая 

принимает то или иное значение в процессе статистических 
испытаний либо наблюдений, причем заранее не известно, 
какое значение.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает 
отдельные изолированные возможные значения хi с 
определенными вероятностями. Число возможных значений 
дискретной величины случайно и может быть конечным или 
бесконечным.
Непрерывной называют случайную величину, которая может 
принимать все значения хi из некоторого конечного или 
бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной 
случайной величины бесконечно.
Примеры дискретных случайных величин:
• число молекул газа в сосуде;
• число вызовов на телефонной станции;
• число бракованных гвоздей и т.д.
Примеры непрерывных случайных величин:
• химический состав стали;
• механические свойства стали и т.д.
Случайная величина считается заданной, если задан закон 
ее распределения.

1.1. Функция распределения

Для построения адекватной математической модели объекта 
необходимо знать законы распределения параметров, харак-

теризующих его функционирование. При этом под законом распределения 
понимают связь между возможными значениями 
случайной величины и соответствующими им вероятностями. 
Эта связь выражается интегральной функцией распределения:

( )
(
)
ин
,
F
x
P X
x
=
≤

показывающей вероятность того, что случайная величина Х 
не превышает некоторого заданного наперед числа х, называемого 
квантилью.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной 

случайной величины X называют функцию f(x) – первую 
производную от функции распределения Fин(x):

( )
ин ( )
.
f x
F
x
′
=

Закон распределения конкретного параметра определяется 
природой контролируемой величины. Обычно функцию 
распределения для описания изменения той или иной 
характеристики системы выбирают на основе имеющихся 
представлений о механизме рассматриваемого явления. Затем 
на основании имеющихся экспериментальных или статистических 
данных делают оценку параметров распределения 
и в заключение осуществляют статистическую проверку 
гипотезы об адекватности выбранной модели распределения 
реальному распределению. Когда нет достаточно надежных 
теоретических оснований для выбора статистической модели 
распределения, аппроксимирующее распределение выбирают 
по данным оценки параметров распределения с последующей 
проверкой адекватности.
Вид функции распределения предпочтительнее выбирать 

на основе представлений о физической природе рассматриваемого 
явления, так как в этом случае исключаются возможные 
большие погрешности при распространении найденных 
закономерностей за пределы изученного интервала варьирования 
случайной величины.

Прежде чем перейти к описанию функций распределения 

непрерывных и дискретных одномерных случайных величин 
и областей применения этих распределений, остановимся на 
тех характеристиках распределений, которые будут нами в 
дальнейшем использоваться.

1.1.1. Характеристики распределений

Рассмотрим характеристики положения центра распределения 
на оси значений изучаемой случайной переменной. 
Математическое ожидание, или среднее значение случайной 
величины

(
)
x.
M X = n

В случае непрерывной случайной величины

(
)
( )
,
M X
xf x dx

∞

−∞
= ∫

где f(х) – плотность распределения величины х.

Если же х – дискретная случайная величина, то

(
)
(
),
i
i
i
M X
x p x
=∑

где р(xi) – вероятность появления i-го значения величины х.

Медиана – значение случайной величины, соответствующее 
середине упорядоченного по величине ряда значений 
переменной. В случае непрерывной случайной величины медианой 
является такая точка z, при которой

( )
0,5,

z
f x dx

−∞
=
∫

а в случае дискретной переменной

(
)
0,5.

i

i
x
z
p x

≤
=
∑

Если общее число n значений дискретной случайной величины 
нечетно, то медиана равна значению случайной величины 

с индексом 
1.
2
n
i
+
=
 При четном n медиана равна 

1
2
2

1
.
2
n
n
x
x
+



+







Мода – значение случайной величины, отвечающее максимальной 
плотности вероятности f(х) в случае непрерывной 
случайной величины, или значение случайной величины, 
имеющей максимальную вероятность в том случае, когда случайная 
величина дискретна.
Кроме характеристик положения центра пользуются еще 

рядом других характеристик, описывающих рассеяние, симметрию 
и островершинность распределения. Эти характеристики 
можно представить с помощью моментов распределения.

На практике чаще всего применяют моменты двух видов: 

начальные и центральные. Начальным моментом s-го порядка 
дискретной случайной величины X называют сумму вида

(
),
s
s
i
i
i
x p x
n =∑

а в случае непрерывной случайной величины

( )
.
s
s
x f x dx

∞

−∞
n = ∫

Таким образом, начальный момент s-го порядка есть математическое 
ожидание s-й степени случайной величины X:

(
).
s
x
n = M X

Очевидно, что начальный момент первого порядка случайной 
величины X равен математическому ожиданию nx.
Центральным моментом s-го порядка случайной величины 

X называют математическое ожидание s-й степени отклонения 
случайной величины X от ее математического ожидания nx:

(
) .
s
s
x
m = M X
− n

Для дискретной случайной величины s-й центральный момент 
равен

(
)
(
),
s
s
i
x
i
i
x
p x
m =
− n
∑

а для непрерывной – интегралу:

(
)
( )
.
s
s
i
x
x
f x dx

∞

−∞
m =
− n
∫

Центральный момент второго порядка m2, именуемый дисперсией, 
служит в качестве меры рассеяния:

(
)
(
)
2
2
2
–
.
x
D X
= s = m = M X
n

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. 
Корень квадратный из дисперсии называют средним 
квадратическим отклонением, или стандартом:

(
).
x
D X
s =

Стандарт имеет размерность случайной величины.
В качестве относительной характеристики рассеяния используют 
коэффициент вариации, представляющий собой отношение 
среднего квадратического отклонения к математическому 
ожиданию случайной величины:

.
x

x

s
g = n

Центральный момент третьего порядка m3 используется 

для числового измерения асимметрии распределения. Если 
распределение симметричное, то m3 = 0. Когда правое плечо 
распределения длиннее левого, то величина m3 положительная, 
если же левое плечо длиннее правого, то величина m3 
отрицательная. Чтобы иметь дело с безразмерной характеристикой, 
величину m3 делят на s3
x. Полученный показатель называют 
коэффициентом асимметрии (skewness):

3
3 2
2
.
Sk
= m
m

В качестве характеристики островершинности служит коэффициент 
эксцесса (excess):

4
2
2
3.
Ex
= m
−
m

1.1.2. Нахождение оценок параметров распределения

В тех случаях, когда параметры распределения случайной 

переменной X неизвестны, их оценивают на основе экспериментальных 
или статистических данных. Поскольку значения 
оценок зависят от вошедших в выборку значений случайной 
величины, они являются также случайными величинами.
Оценки по возможности должны обладать следующими 

свойствами: состоятельностью, несмещенностью и эффективностью.

Оценку 

∧a называют состоятельной, если при неограниченном 
увеличении числа наблюдений n она стремится по 
вероятности к значению а. Если она при этом не дает систематической 
ошибки, т.е. если выполняется условие M(
∧a) = a, 

то такую оценку называют несмещенной. Несмещенную оцен-