Тензорная методология моделирования сложных систем. Теоретические основы

Москва 2023

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Университет науки и технологий МИСИС

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

Кафедра автоматизированного проектирования и дизайна

А.Е. Петров

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ 
МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ 
СИСТЕМ

Теоретические основы

Учебник

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета

№ 4664

УДК 338.26.015:658.5 
 
П30

Р е ц е н з е н т ы : 
д-р техн. наук, профессор кафедры АСУ НИТУ МИСИС В.В. Куприянов;  
канд. техн. наук, доц., доцент кафедры геоинформационных систем  
и технологий, заместитель директора ИСАУ по научной работе  
Государственного университета «Дубна» Е.Ф. Шамаева

Петров, Андрей Евгеньевич.
П30  
Тензорная методология моделирования сложных систем. 
Теоретические основы : учебник / А.Е. Петров. – Москва : 
Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2023. – 206 с.
ISBN 978-5-907560-27-7

Изложены теоретические основы тензорной методологии моделирования 
сложных систем и практического применения сетевых моделей. 
Тензорный анализ сетей основан на инварианте двойственности 
(сохранении потока энергии) при изменении структуры соединения 
ветвей двойственных сетей. Изменение структуры представлено как 
преобразование координат в пространствах замкнутых и разомкнутых 
путей. Величины процессов в сети при изменении структуры 
преобразуются по тензорным законам. Это дает метод расчета сетей 
и электрических цепей при изменении структуры, включая декомпозицию 
и расчет по частям. Ортогональность матриц преобразования 
замкнутых и разомкнутых путей позволяет представить в сетевой 
модели два вида потоков энергии в исследуемой системе. Аналогии 
обеспечивают создание сетевых моделей процессов и структуры технических 
и экономических систем. Исследование поведения системы 
при изменении процессов и структуры производится на модели, а результаты 
применяются в реальных системах. По главам даны вопросы 
для самоподготовки, контрольные задания студентам; в приложении 
даны темы курсовых работ и вопросы для экзамена.
Предназначен для подготовки магистров по специальностям 

09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», профиль «Системы 
автоматизированного проектирования и информационной 
поддержки изделий», и 27.04.04 «Управление в технических системах», 
профиль «Информационная поддержка процессов жизненного 
цикла систем управления»; аспирантов, научных работников, 
специалистов САПР и управления в сложных системах.

УДК 338.26.015:658.5

 Петров А.Е., 2023
ISBN 978-5-907560-27-7
 НИТУ МИСИС, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .................................................................. 5

ГЛАВА 1.  
Тензорный метод в теории систем ...................................... 7

1.1. Определения ........................................................ 7

1.2. Процессы и структура сложных систем .................. 11

1.3. Двойственность................................................... 15

1.4. Тензоры в геометрии............................................ 18

1.5. Тензоры в пространстве структуры ........................ 25

1.6. Области применения тензорного метода ................. 27

Выводы по главе 1 ..................................................... 32

Контрольные вопросы ................................................ 32

Тесты ....................................................................... 33

ГЛАВА 2.  
Тензорный анализ сетей ................................................. 35

2.1. Элементы сети .................................................... 35

2.2. Структура и метрика ветвей ................................. 36

2.3. Изменение структуры сети ................................... 41

2.4. Двойственные сети .............................................. 50

2.5. Инварианты двойственных сетей ........................... 58

2.6. Примеры инварианта двойственности  
при изменении структуры ........................................... 67

Выводы по главе 2 ..................................................... 83

Контрольные вопросы ................................................ 83

Тесты ....................................................................... 84

ГЛАВА 3.  
Расчет сетей тензорным методом ..................................... 87

3.1. Расчет контурных и узловых сетей ........................ 87

3.2. Постоянство рассеиваемой мощности  
в двойственных цепях ................................................ 95

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

3.3. Примеры расчета контурных и узловых сетей ........100

3.4. Расчет сетей при изменении структуры .................116

3.5. Пример расчета матриц решения при изменении 
структуры ................................................................128

3.6. Расчет сетей по частям ........................................138

3.7. Пример расчета сети по частям ............................146

Выводы по главе 3 ....................................................176

Контрольные вопросы ...............................................179

Библиографический список ...........................................181

Приложение 1.  
Контрольно-измерительные материалы ..........................187

Перечень тем практических занятий ...........................187

Вопросы для экзамена по курсу ...................................188

Тесты ......................................................................189

Приложение 2.  
Задания по теме «Построение матриц преобразования  
путей» ........................................................................193

Образец выполнения задания .....................................193
Первый пример матриц преобразования сети 
и двойственной сети ...............................................193
Второй пример матриц преобразования сети 
и двойственной сети ...............................................195

Задания и варианты задач ..........................................198

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник подготовлен на кафедре «Автоматизированного 

проектирования и дизайна» (АПД) института ИТКН НИТУ 
МИСИС. Изложены теоретические основы тензорной методологии 
создания сетевых моделей процессов и структуры технических, 
экономических систем. Сети с инвариантом двойственности 
обеспечивают расчет процессов при изменении 
структуры соединения элементов систем. Это необходимо в условиях 
возрастания сложности систем, изменения связей в системах 
и между системами, скорости изменения технологий.
Тензорный метод позволяет представить системы одного 

класса как проекции обобщенной системы, представленные сетевыми 
моделями. Расчет и анализ процессов при изменении 
структуры связей элементов обеспечивает автоматизацию проектирования, 
сопровождение жизненного цикла сложных систем, 
анализ поведения систем при авариях.
В сетевых моделях технических, экономических систем параметры 
процессов при изменении структуры изменяются по 
линейным (тензорным) законам как преобразование координат. 
Такие преобразования обеспечивает инвариант двойственности: 
сумма метрических тензоров двух двойственных сетей 
остается постоянной при изменении структуры. В электротехнике 
данному инварианту соответствует постоянство суммы 
мощностей двух двойственных электрических цепей при изменении 
структуры (сохранение потока энергии).
Учебник написан на основе монографий автора «Тензорная 

методология в теории систем», 1985 г., «Тензорный метод двойственных 
сетей», 2008 г. Использованы материалы лекций, 
прочитанных в НИТУ МИСИС в 2009–2021 гг. по специальностям «
Информатика и вычислительная техника», «Системы 
автоматизированного проектирования и информационной поддержки 
изделий», «Управление в технических системах», «Информационная 
поддержка процессов жизненного цикла систем 
управления» на русском и английском языках.
Учебник состоит из трех глав. В первой главе представлено 
место тензорной методологии в теории систем. Отличие от 
тензорного метода в геометрии состоит в том, что пространство 

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

представлений структуры систем состоит из двух ортогональных 
подпространств: замкнутых и разомкнутых путей. Матрицы 
преобразования путей при изменении структуры становятся 
прямоугольными и не образуют группу. Однако постоянство 
суммы метрических тензоров двух двойственных сетей позволяет 
рассчитать процессы при изменении структуры систем. 
Представлены применения тензорного метода в физике, технике, 
экономике.
Во второй главе рассмотрен тензорный анализ сетей, который 

является математическим аппаратом моделирования сложных 
систем различных предметных областей. Замкнутые пути представляют 
вращения, а разомкнутые пути – переносы, и могут 
представить любые движения в пространстве и в системах. Пути 
в двойственных сетях дополняют друг друга. Независимость потоков 
в замкнутых и разомкнутых путях позволяет моделировать 
разные виды процессов. Представлены примеры расчета 
сетей с внешним и внутренним воздействием, применяемые для 
моделирования открытых и замкнутых систем.
В третьей главе тензорный метод применяется для расчета 

матриц решения (метрических тензоров) контурных и узловых 
сетей. Рассмотрено применение тензорного метода для расчета 
сетей на примере электрических цепей. Показано постоянство 
мощности в двойственных сетях при любых соединениях ветвей. 
Рассмотрен метод расчета сетей при изменении соединения 
в одной сети, а также при разделении сети на части. Декомпозиция 
обеспечивает расчет по частям сетей и сетевых моделей 
систем с помощью параллельных вычислений, что повышает 
эффективность проектирования и расчетов в условиях роста 
объемов информации. Даны численные примеры расчета сетей 
при изменении структуры, включая расчет по частям замкнутых 
и открытых систем.
По каждой главе даны выводы и вопросы для самоподготовки. 
В приложении приведены контрольные материалы для 
проведения промежуточной аттестации и задания по теме «Построение 
матриц преобразования путей и расчет сетей». Практическое 
применение тензорной методологии для моделирования, 
расчета и анализа процессов и структуры сложных технических 
и экономических систем рассмотрены в другом учебнике.

ГЛАВА 1.  
Тензорный метод в теории систем

Сведение множества к единому – 

в этом первооснова красоты.

Пифагор

Суть тензорного метода в теории систем состоит в исследовании 
процессов и структуры разных предметных областей – физики, 
техники, экономики, биологии на единой основе аналогий 
сетевых моделей, обладающих инвариантом двойственности 
структуры. Рассмотрим свойства тензорного метода для создания 
сетевых моделей процессов и структуры систем.

1.1. Определения

Система (др.-греч. Σύστημα – целое, составленное из частей; 

соединение) – множество связанных элементов (частей чего-
либо), которое образует единство.
Понятие системы подчеркивает упорядоченность, целостность, 
наличие закономерностей построения, функционирования 
и развития.
Понятие сложной системы предполагает большое число элементов, 
многообразие связей между ними. Существуют различные 
определения сложной системы.
Сложная система – система, состоящая из подсистем, взаимодействие 
которых дает системе новые свойства, которые 
отсутствуют у отдельных подсистем.
Сложная система – система, которая состоит из элементов 

разных типов и обладает разнородными связями между ними. 
Система только из элементов и структуры связей между ними 
статична. Система становится динамичной, возбужденной, когда 
в ней протекают процессы, например протекают потоки в элементах 
как отклики на приложенные воздействия. При изменении 
соединения элементов, изменении структуры, происходят 
изменения процессов (потоков энергии, информации). Расчеты 
изменения процессов при изменении структуры необходимы 
при проектировании, управлении, прогнозировании поведения 
систем.

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Структура представляет собой нематериальное и дискретное 
понятие. В определениях говорится в основном о связях 
частей, элементов системы. Это не сами элементы, а отношения 
между границами элементов. Дискретность состоит в том, 
что либо есть соединение границ, либо нет соединения границ. 
В соединении и разъединении элементов состоит изменение, 
преобразование структуры системы.
Большая советская энциклопедия дает несколько определений 
понятия «структура».
Структура (лат. structura – строение, расположение), определенная 
взаимосвязь, взаиморасположение составных частей; 
строение, устройство чего-либо.
Структура – совокупность устойчивых связей объекта, 

обеспечивающих его целостность, т.е. сохранение основных 
свойств при различных внешних и внутренних изменениях.
Структуру как решетку, алгебраическое понятие, ввел 

Г. Биркгоф (Теория структур: Пер. с англ. М., 1952). Структурой 
называется непустое множество S, для элементов которого 
определены две операции – объединение и пересечение. 
Важным частным случаем структур Биркгофа являются булевы 
алгебры, с единицей и нулем, обладающие дополнениями 
к каждому элементу, применяемые в математической логике 
и теории вероятностей. В дальнейшем это направление стали 
называть «теория решеток».
Структура – строение металла (сплава). Ее можно наблюдать 
при небольших увеличениях, чтобы установить присутствие 
и распределение по объему изделия раковин, пор, неметаллических 
включений и тому подобных дефектов металлов.
В более широком, нестрогом смысле, понятие структуры 

употреблялось в научном и философском обиходе, а начиная со 
Средних веков, выступало в качестве одного из способов определения 
понятия формы (форма как организация содержания).
Методология (греч. μεθοδολογία) – учение о методах, способах 

и стратегиях исследования предмета (Википедия). Методология – 
система принципов и способов организации и построения 
теоретической и практической деятельности, а также учение 
об этой системе. Учение о научном методе или о методах отдельных 
наук.

ГЛАВА 1. Тензорный метод в теории систем 

Методология (от «метод» и «логия») – учение о структуре, 

логической организации, методах и средствах деятельности 
(Большая советская энциклопедия).
Р. Декарт полагал, что методология есть анализ методов.
Пространство – математическое множество, имеющее 

структуру, определяемую аксиоматикой свойств его элементов. 
Например, точек в геометрии, векторов в линейной алгебре, 
событий в теории вероятностей и т.д. (Википедия). Пространство 
есть совокупность вещей, называемых точками, линиями, 
поверхностями, объемами. В пространстве есть углы, направления, 
расстояния и т.д., – писал А. Фридман, ссылаясь на 
Д. Гильберта [46].
Координаты. Совокупность чисел, определяющих положение 
конкретной точки, называется координатами этой точки. 
Это определяет соответствие между точками пространства 
и числами. Система координат – это способ определять положение 
и перемещение точки или тела с помощью чисел или 
других символов. Соответствие физического пространства геометрическому 
пространству можно осуществить различными, 
порой необычными способами. Введение координат – это способ 
арифметизации пространства, способ численного описания 
физического объекта или системы объектов.
Базис в пространстве – линейно независимая система векторов, 
линейной комбинацией которых можно представить любой 
вектор. Базис является одновременно и минимально полной 
системой, и максимальной линейно независимой системой 
векторов. Все базисы содержат одинаковое количество элементов, 
которое называется размерностью пространства.
Координаты в структуре. В сетях координатами являются 
пути, которые определяют арифметизацию пространства в 
структуре. Путь – это линия, проходящая вдоль ветви, как ось 
координат вдоль измерения. Два типа путей, замкнутые и разомкнутые, 
образуют два независимых, ортогональных подпространства 
в структуре. При изменениях в структуре замкнутые 
и разомкнутые пути переходят друг в друга, поэтому меняются 
размерности их подпространств. Таким образом, в пространстве 
структуры базисы замкнутых и разомкнутых путей содержат 
не одинаковое количество элементов. Пути являются координа-

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

тами пространства структуры при построении сетевых моделей 
систем.
Преобразование координат – совокупность правил, ставящих 
в соответствие каждому набору координат {x1, x2, …, xn} 
на некотором n-мерном многообразии другой набор координат 
{x′1, x′2,…, x′n}, [20]. В структуре сети преобразованием координат 
является выражение одних путей через другие пути.
Тензор (от лат. tensus – напряженный) – объект линейной 

алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного 
пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров 
являются скаляры, векторы, билинейные формы и т.п. 
(Википедия).
Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса 
не зависит. Это наглядно видно на примере вектора (частный 
случай тензора): компоненты вектора меняются при смене 
координатных осей, но сам вектор – направленный отрезок – 
от этого не изменяется.
Сетевые модели. Сложные физические, технические, экономические, 
биологические, информационные системы отличаются 
друг от друга. Если считать каждую систему особенной, 
то для нее надо разрабатывать свои методы исследования 
и расчета. Однако структура и процессы различных сложных 
систем имеют аналогии. Различные системы состоят из элементов, 
обладающих материальными свойствами, связи между 
которыми могут изменяться. Сетевые модели представляют 
взаимосвязанные процессы и структуру разных систем.
Сеть применяется для моделирования сложных систем 

различных предметных областей с помощью аналогий между 
математическими понятиями сети (к ним относятся элементы, 
структура, векторы) и физическими процессами, протекающими 
в элементах реальных систем.
Аналогия (греч. αναλογία – пропорция, соответствие, соразмерность) – 
это подобие, равенство отношений; сходство предметов, 
явлений, процессов, величин и т.п. Аналогии позволяют 
представить изучаемую систему в виде другой системы, 
методы расчета и анализа которой известны. Для моделирования 
применялись аналогии с электрической цепью, процессы 
в которой описывает закон Ома, а структуру – законы Кирхго-

ГЛАВА 1. Тензорный метод в теории систем 

фа. Однако электрическая цепь сама есть физическая система 
со своими свойствами. Тензорный метод представляет процессы 
и структуру различных сложных систем, включая электрические 
цепи, используя аналогии с абстрактными сетевыми 
моделями.

1.2. Процессы и структура сложных систем

Развитие общества и технологий увеличивает влияние структуры 
связей элементов на поведение сложных систем, происходящие 
в них процессы. Изменение связей (конструкций машин, 
технологий, хозяйственных связей) требует совместного анализа 
процессов и структуры. В элементах системы происходят физические 
процессы (например, в виде потоков энергии, информации, 
материальных потоков). Соединения элементов образуют 
структуру, а слияние или разделение границ элементов изменяет 
структуру.
Структура играет важную роль в физических, технических, 
экономических, информационных и биологических системах. 
Структура не только определяет порядок соединения 
элементов, но и влияет на суть процессов, которые происходят 
в системах.
Физические явления порождены связями между элементами 
на разных уровнях размеров пространства. Ядерные взаимодействия 
связывают в ядре протоны, нейтроны и мезоны. Само 
ядро вместе с электронными оболочками составляет структуру 
атома. На уровне атома возникают электромагнитные явления, 
когда нуклоны ядра и электроны составляют единую систему. 
Многообразие химических процессов возникает при соединении 
атомов в молекулы за счет обмена электронами на внешних 
оболочках. Число способных к взаимодействию электронов 
определяет валентность. И так далее, до космических масштабов, 
где основным взаимодействием является не только электромагнетизм, 
но и гравитация. Структура связей элементов на 
каждом уровне образует системы различной сложности.
Для анализа сложных систем применяют методы математического 
моделирования. Существуют методы моделирования 
процессов и методы моделирования структуры системы. 
Уравнения поведения (связывают воздействие, метрику эле-

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ментов, отклики) описывают процессы, но не рассматривают 
структуру. При изменении структуры надо получать новые 
уравнения. Структуру представляют графы, схемы, сети, комплексы 
топологии, но они не описывают процессы.
Одновременно представить в сетевых моделях процессы и 

структуру позволяет тензорный метод двойственных сетей. В 
этом методе величины процессов представлены своими компонентами 
в базисах замкнутых и разомкнутых путей – системах 
координат пространства структуры. Сетевые модели 
представляют процессы и структуру системы. При изменении 
структуры изменение процессов получается как преобразование 
координат. Такие преобразования обеспечивает постоянство 
суммы метрических тензоров двойственных сетей при изменении 
структуры (инвариант двойственности).
Сеть задана множеством элементов. Элементы – это протяженности 
с их границами, которыми они соединяются (или 
разделяются). Каждый элемент определяет одно измерение 
в пространстве структуры. Координатами являются замкнутые 
и разомкнутые пути в сети. Структура соединения элементов – 
это проекции сети в разные системы координат. Множество 
независимых путей определяет базис в пространстве 
структуры. Преобразованиями координат являются или выбор 
в качестве базиса других путей, или изменение структуры 
связей, но с прежними путями, или изменение структуры 
с другим выбором путей. В сети есть инварианты, которые 
не меняются при изменении структуры. Например, сумма базисных 
замкнутых и разомкнутых путей постоянна и равна 
числу ветвей в сети.
В пространстве сети могут находиться, изменяться различные 
объекты, например процессы как потоки одних величин 
под действием других величин. В качестве процессов рассматриваются 
потоки энергии, информации, материи, людей и т.д. 
Изменение величин, измеряющих процессы, потоки, при изменении 
структуры рассчитывают с помощью матриц преобразования 
путей. Состояние системы с новой структурой можно 
рассчитать по состоянию старой структуры как преобразование 
координат. Не надо для новых соединений выводить и рассчитывать 
заново уравнения поведения системы.