Тензорная методология моделирования сложных систем. Практическое применение

Москва 2023

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Университет науки и технологий МИСИС

ИНСТИТУТ КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

Кафедра автоматизированного проектирования и дизайна

А.Е. Петров

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ 
МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ 
СИСТЕМ

Практическое применение

Учебник

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета

№ 4665

УДК 338.26.015:658.5 
 
П30

Р е ц е н з е н т ы : 
д-р техн. наук, профессор кафедры АСУ НИТУ МИСИС В.В. Куприянов; 

канд. техн. наук, доц., доцент кафедры геоинформационных систем 

и технологий, заместитель директора ИСАУ по научной работе  
Государственного университета «Дубна» Е.Ф. Шамаева

Петров, Андрей Евгеньевич.
П30  
Тензорная методология моделирования сложных сис-

тем. Практическое применение : учебник / А.Е. Петров. – 
Москва : Издательский Дом НИТУ МИСИС, 2023. – 323 с.
ISBN 978-5-907560-92-5

Представлены практические применения тензорной методологии 
для создания сетевых моделей сложных систем. Рассмотрена 
методология создания сетевых моделей систем на основе аналогий 
процессов и структуры, замкнутых и разомкнутых путей. Представлены 
сетевые модели технических и экономических систем для 
расчета и анализа процессов при изменении структуры, включая 
декомпозицию и расчет по частям. Рассмотрены примеры сетевых 
моделей технических систем: установки нефтепереработки, сети 
передачи электроэнергии, шахтной вентиляции. Сетевая модель 
межотраслевого баланса производства позволяет представить потоки 
продуктов и денежных средств, обеспечивает расчет по частям. 
Сетевая модель банка реализована в информационно-аналитической 
системе «Банки и финансы». Сетевая модель логистики обеспечивает 
расчет распределения потоков продуктов от производителей 
к потребителям, в том числе при изменении структуры маршрутов.
По разделам даны контрольные задания студентам; в приложениях 
даны примерные темы курсовых работ и вопросы для экзамена.
Предназначен для подготовки магистров по специальностям 

09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», профиль 
«Системы автоматизированного проектирования и информационной 
поддержки изделий», и 27.04.04 «Управление в технических 
системах», профиль «Информационная поддержка процессов жизненного 
цикла систем управления», аспирантов, научных работников, 
специалистов САПР и управления в сложных системах.

УДК 338.26.015:658.5
 Петров А.Е., 2023
ISBN 978-5-907560-92-5
 НИТУ МИСИС, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ................................................................6

Глава 1. Создание сетевых моделей систем ......................8
1.1. Аналогии систем и сетей ......................................8
1.2. Связь физических величин и структуры ............... 15
1.3. Аналогии процессов в системе и сети ................... 21
1.4. Технология создания сетевых моделей ................. 25
Выводы по главе 1 ................................................... 30
Контрольные вопросы .............................................. 31

Глава 2. Сетевые модели технических систем ................ 33
2.1. Сетевые модели установок нефтепереработки ........ 33
2.1.1. Процессы и структура установок 
нефтепереработки ................................................. 33
2.1.2. Анализ простой сетевой модели ..................... 37
2.1.3. Простая сеть для одной фракции 
с открытыми путями ............................................. 39
2.1.4. Простая сеть для одной фракции 
с контурами и заземлениями .................................. 43
2.1.5. Сетевая модель атмосферной колонны ............ 48
2.2. Применение сетевой модели установки 
ректификации ......................................................... 59
2.2.1. Применение сетевой модели  
ректификационной колонны .................................. 59
2.2.2. Контурная подсеть сетевой модели 
для потоков массы ................................................ 65
2.2.3. Узловая подсеть сетевой модели 
для потоков тепловой энергии ................................ 71
2.2.4. Расчет сетевой модели при изменении 
воздействий ......................................................... 76
2.2.5. Расчет сетевой модели при изменении  
структуры установки ............................................ 87
2.3. Сетевая модель системы шахтной  
вентиляции ............................................................. 96
2.3.1. Структура системы вентиляции .................... 96

Тензорная методология моделирования сложных систем

2.3.2. Создание сетевой модели системы 
вентиляции шахты ............................................... 97
2.3.3. Применение сетевой модели системы  
вентиляции шахты ............................................. 103
2.4. Сетевая модель системы передачи  
электроэнергии ..................................................... 120
2.4.1. Распределение потоков энергии  
от генераторов разных типов ................................ 120
2.4.2. Простая сеть системы электроснабжения ...... 122
2.4.3. Применение сетевой модели системы 
электроснабжения .............................................. 132
Выводы по главе 2 ................................................. 135
Контрольные вопросы ............................................ 136

Глава 3. Сетевые модели экономических систем ........... 138
3.1. Сетевая модель системы производства ................ 138
3.1.1. Сетевая модель социально-экономической 
системы ............................................................. 138
3.1.2. Постановка задачи межотраслевого баланса ... 141
3.1.3. Сетевая модель системы производства .......... 146
3.1.4. Простая сетевая модель системы  
производства ...................................................... 156
3.1.5. Расчет сетевой модели производства  
по частям ........................................................... 179
3.1.6. Пример расчета межотраслевого баланса 
по частям ........................................................... 185
3.2. Сетевая модель банка и ее применение ............... 196
3.2.1. Информационная основа сетевой модели ...... 197
3.2.2. Информационные продукты на основе  
сетевой модели банка .......................................... 209
3.2.3. Рейтинг динамической финансовой  
стабильности банка, индекс состояния банковской 
системы ............................................................. 235
3.3. Сетевая модель системы логистики .................... 251
3.3.1. Сетевые основы задач логистики ................. 251
3.3.2. Методы решения задач логистики ............... 253

Оглавление

3.3.3. Создание сетевой модели системы  
логистики .......................................................... 255
3.3.4. Пример расчета сетевой модели 
логистической системы ....................................... 259
Выводы по главе 3 ................................................. 271
Контрольные вопросы ............................................ 273
Тесты к главе 3 ..................................................... 274

Библиографический список ........................................ 277

Приложения ............................................................ 289
Приложение 1. Контрольно-измерительные  
материалы ............................................................ 289
П1.1. Тестовые вопросы и варианты ответов .......... 289
П1.2. Экзаменационные вопросы ......................... 292
П1.3. Перечень тем практических занятий  
и рефератов ........................................................ 294
Приложение 2. Курсовая работа по теме  
«Расчет сетевой модели межотраслевого баланса 
производства методом декомпозиции» ...................... 295
Приложение 3. Работа по теме «Расчет сетевой  
модели ректификационной колонны» ....................... 318

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник подготовлен на кафедре автоматизированного 

проектирования и дизайна (АПД) Института ИТКН НИТУ 
МИСИС и предназначен для того, чтобы дать студентам знания 
и практические навыки применения тензорной методологии 
моделирования для расчета процессов и структуры 
сложных систем в технических и экономических приложениях. 
Тензорный метод позволяет представить сетевые модели 
систем различных предметных областей как проекции 
одной обобщенной системы. Расчет и анализ процессов при 
изменении структуры связей элементов обеспечивает автоматизацию 
проектирования, сопровождение жизненного цикла 
систем, анализ поведения систем при авариях.
Учебник состоит из трех глав. В первой главе рассмотрено 

применение тензорной методологии для создания сетевых моделей 
систем. Установление аналогий исследуемой системы 
и сети обеспечивает анализ размерностей физических величин, 
представляющих воздействия, метрику элементов и отклики. 
Аналогии сложных систем и сети позволяют создавать 
сетевые модели экономических и технических систем; применять 
их для расчета процессов при изменении структуры, 
включая декомпозицию и расчет по частям. Воздействия в открытых 
системах становятся откликами в замкнутых системах, 
и наоборот. В разных предметных областях размерности 
физических величин воздействий и откликов разные, но их 
произведение имеет размерность мощности, потока энергии. 
Это позволяет создавать сетевые модели физических, технических, 
экономических систем. Сетевые модели являются 
«цифровыми двойниками» сложных систем.
Во второй главе представлены сетевые модели технических 

систем. Рассмотрены сетевые модели систем нефтепереработки, 
применяемые для анализа поведения систем при изменении 
конструкций, включая аварийные ситуации. На примере 
ректификационной колонны показано, что тепловые потоки 
можно моделировать с помощью узловой сети, а потоки меха-

Предисловие

нической энергии – с помощью контурной сети. Ортогональность 
замкнутых и разомкнутых путей позволяет рассчитать 
потоки тепловой и механической энергии отдельно и получить 
общий поток энергии. Сетевая модель применяется для расчета 
процессов при изменениях структуры, вызванных авариями 
или выбором разных вариантов проектирования. Сетевая 
модель применяется на стенде обучения операторов систем 
обеспечения безопасности, а также на производстве.
Сетевая модель системы шахтной вентиляции позволяет 

анализировать потоки воздуха при создании или закрытии ходов, 
включая возможные аварии. Также рассмотрена сетевая 
модель системы передачи электроэнергии для расчета и анализа 
совместной работы различных генераторов, источников энергии 
и потребителей в условиях различных режимов работы.
В третьей главе рассмотрены сетевые модели экономических 
систем. Представлена сетевая модель межотраслевого баланса, 
которая обеспечивает декомпозицию и расчет баланса 
по частям, что существенно снижает время вычислений. Напряжения 
могут рассматриваться как пропорции добавленных 
стоимостей в двойственной модели баланса. Основанная 
на сетевой модели банка информационно-аналитическая система «
Банки и финансы» представляет показатели потоков 
денежных средств банков с 1995 г., рейтинг динамической финансовой 
стабильности, индекс состояния банковской системы 
России. ИАС «Банки и финансы» применяется в учебном 
процессе. Рассмотрена сетевая модель системы логистики, которая 
обеспечивает расчет распределения потоков продуктов 
от поставщиков к потребителям без итераций и может применяться 
для расчета по частям в условиях изменений маршрутов 
и роста объемов информации.
По главам даны выводы, контрольные вопросы для самоподготовки. 
Приложен фонд оценочных средств, темы практических 
занятий, вопросы для промежуточной аттестации. 
Даны примеры и задания для курсовых работ по расчету сетевой 
модели межотраслевого баланса методом декомпозиции 
и сетевых моделей систем нефтепереработки.

ГЛАВА 1.  
Создание сетевых моделей систем

Удивительно, как мало существует первичных 

типов элементов, образующих… технические 
структуры… разнообразие структур отличается 
только способом соединений…

Г. Крон

Единство природы обнаруживается в «поразительной 
аналогичности» дифференциальных 
уравнений, относящихся к разным областям явлений.


Л.Э. Больцман

Рассмотрим создание сетевых моделей сложных систем 

с помощью тензорной методологии. Основой моделирования 
являются аналогии между процессами, структурой, элементами 
исследуемой системы и сети. Независимость замкнутых 
и разомкнутых путей, их ортогональность и двойственность 
позволяют в одной сети моделировать потоки двух процессов, 
имеющих внешние и внутренние воздействия.

1.1. Аналогии систем и сетей

Создание моделей процессов и структуры сложных систем 

обеспечивают аналогии, которые существуют между разными 
предметными областями. Аналогия переводится с греческого 
языка как соответствие, соразмерность, а с латыни (modus) 
как образец, копия. Это подобие, сходство предметов, явлений, 
процессов, величин, а также познание путем сравнения.
Аналогии показывают, что в разнообразии предметных 

областей есть много сходного, и это позволяет исследовать их 
одним методом. Разные системы рассматриваются как проекции 
обобщенной системы (тензора) в частные «системы 
координат», представленные сетевыми моделями. «Удивительно, 
как мало существует первичных типов элементов, об-

Глава 1. Создание сетевых моделей систем 

разующих строительные блоки всего разнообразия технических 
структур. …Огромное разнообразие структур отличается 
только способом соединений… а многообразие теорий только 
типом допускаемой гипотетической системы отсчета», писал 
г. Крон в книге «Тензоры для цепей» (Tensors for circuits, 
1942 г.) [84]. «Единство природы обнаруживается в «поразительной 
аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся 
к разным областям явлений», отмечал В.И. Ленин 
в работе «Материализм и эмпириокритицизм». Он цитировал 
речь Л.Э. Больцмана на Мюнхенском съезде естествоиспытателей 
в 1899 г., который говорил, что одними уравнениями 
можно представить задачи гидродинамики и выражать теорию 
потенциала.
Практика показала, что уравнения поведения, процессов 

в элементах технических, экономических систем, включая 
системы управления, независимо от их конструкции, а также 
от физической природы воздействий, часто оказываются 
однотипными.
Через элементы физических, технических, экономических, 

биологических систем проходят потоки материи, энергии, информации. 
Связи элементов составляют структуру системы. 
Установление аналогий между разными предметными областями 
обеспечивает анализ размерностей физических величин. 
Для сопоставления необходима измеримость величин. Аналогии 
позволяют сопоставить процессы и структуру сложных систем 
и двойственных сетей и на этой основе создавать сетевые 
модели.
Структура соединения элементов системы не является 

материей. Ее значение нельзя измерить приборами, как для 
физических величин. Понятия структуры (симплексы, комплексы, 
замкнутые и разомкнутые пути) не связаны с физическими 
величинами. Однако структура является качеством 
живых и неживых систем, на всех уровнях от микромира 
до космических масштабов. Вещество состоит из молекул, 
молекулы состоят из атомов, атом состоит из ядра и электронов 
на орбиталях, расстояния которых от ядра заданы струк-

Тензорная методология моделирования сложных систем

турой пространства. Ядро состоит из нуклонов и мезонов, 
все они состоят из кварков. Все из чего-то состоит, а где же 
масса? Бозон Хиггса считается на сегодня носителем массы, 
но он тоже может состоять из чего-нибудь более мелкого. 
Вместе с тем есть потоки энергии в структуре. Согласно 
уравнению Эйнштейна энергия выражается через массу, умноженную 
на квадрат скорости света.
Материя элементов и структура связей между ними существуют, 
даже если нет процессов в системе. Это невозбужденное 
состояние системы. Если на систему оказано 
воздействие, то в ней возникают и протекают процессы, характеризуемые 
воздействиями и откликами (это реакция 
материи и структуры элементов на воздействие). Например, 
в системе возникают и протекают потоки энергии. Это возбужденное 
состояние системы. Системы делятся на неживые 
(физические и технические), которые рассеивают потоки 
энергии, и живые, которые не только рассеивают, но и накапливают 
энергию (экономические, биологические). Способность 
накапливать свободную энергию обеспечивает развитие 
живых систем.
Сеть используется как математическая модель элементов, 

структуры связей, возможных изменений связей системы. 
Элементами сети могут быть одномерные объекты (отрезки, 
ветви) или многомерные объекты (плоскости, объемы). Будем 
рассматривать сети из одномерных ветвей. Инварианты сети, 
включая инвариант двойственности, обеспечивают преобразование 
величин процессов при изменении структуры, подобно 
преобразованию компонент при изменении систем координат.
Аналогии невозбужденного состояния системы и сети. 

Невозбужденное состояние системы характеризуют геометрическая 
размерность, структура, физическая размерность.
Геометрическая размерность определяет форму элементов 
сети (точки, линии, поверхности, объемы, многомерные 
элементы).
Структура определяет связи между элементами. Соединения 
и разъединения границ элементов изменяют струк-

Глава 1. Создание сетевых моделей систем 

туру, при этом некоторые замкнутые пути размыкаются, 
а разомкнутые пути замыкаются. При соединении элементов 
сети число границ (в сети это точки начала и окончания 
ветвей) уменьшается, а при разъединении число границ увеличивается. 
Это приводит к изменению размерности подпространств 
замкнутых и разомкнутых путей.
Внутреннюю часть элемента окружают границы. Внутренняя 
часть недоступна наблюдению, ее состояние описывает 
реакция элемента на воздействия. Воздействие и отклик измеряются 
на границах элемента. Таким образом, понятие границы 
связано как с преобразованием структуры, так и с измерением 
потоков. При моделировании не всегда ясно, какая 
часть соединяемых элементов становится общей (граница), 
а какая часть принадлежит только каждому элементу.
Например, при исследованиях в сплошных средах принято 
проводить деление на слои, элементы и определять 
взаимодействие через условные границы между ними. Непрерывность 
достигается при переходе к бесконечно малым, 
при стремлении к нулю толщины слоя.
Физическая размерность характеризует свойства материи 
элементов (такие как масса, сопротивление, вязкость 
и т.д.), которые определяют виды процессов в системе.
Аналогии возбужденного состояния системы и сети. 

Возбужденное состояние системы характеризуют воздействия, 
отклики, метрика (свойства материи), физическая 
размерность которых определяет суть процессов в системе.
В зависимости от воздействий система может вести себя 

как открытая или замкнутая. Существуют внешние и внутренние 
воздействия на систему.
Если воздействия поступают извне, через границы элементов, 
то система ведет себя как открытая и взаимодействует 
с внешней средой. Базисом являются разомкнутые 
пути, поскольку потоки входят через одни узлы, а выходят 
через другие узлы.
Если воздействия возникают внутри системы, то система 
ведет себя как замкнутая, не взаимодействуя с внешней 

Тензорная методология моделирования сложных систем

средой. Базисом потоков являются замкнутые пути. Каждая 
система может вести себя как открытая в подпространстве 
разомкнутых путей и как замкнутая в подпространстве замкнутых 
путей.
Физическая размерность определяет качество физических 
величин. Размерность выражает связь физической величины 
с выбранными основными величинами. Понятие 
«размерность» как физико-математическая категория встречается 
в 1716 г. в «Форономии» (наука о движении) Якоба 
Германа (академик Петербургской академии наук в 1725–
1730 гг.) для установления связи телесных (геометрических) 
и безтелесных величин. В физику понятие размерности ввел 
Жан-Батист Жозеф Фурье в 1822 г. для выделения границ 
однородных групп (качеств). В 1855 г. Джеймс Клерк Максвелл [
37] ввел квадратные скобки, обозначив качественное 
различие величин, определяемое их размерностью. Количественно 
величина определяется отношением измеренного 
значения к единице измерения (Исаак Ньютон, 1711 г.).
Существуют разные системы размерности, в которых все 

известные физические величины выражаются через основные 
величины. Например, в системе СИ используют семь основных 
величин (длина, время, масса, сила электрического тока, 
термодинамическая температура, количество вещества, сила 
света). В системе СГС (сантиметр, грамм, секунда) – три величины: 
длина, масса и время. Существует LT-система Барти-
ни – Кузнецова [31, 32], в которой все физические величины 
выражаются через две величины: пространство (длина) и время. 
Эта система удобна для анализа аналогий между величинами, 
которые относятся к разным предметным областям, 
с помощью сравнения их физических размерностей. Мир есть 
пространство и время, в котором движутся тела с массой. Таким 
образом, чтобы создать систему из двух величин, надо 
выразить массу через пространство и время.
Возможность выразить массу через длину и время показал 

Дж. Максвелл в 1867 г. [37], а затем Кельвин, Эддингтон и др. 
Разработали систему физических величин Б. Браун в 1941 г. 

Глава 1. Создание сетевых моделей систем 

и независимо от него в 1966 г. Р.Л. Бартини [32]. Система 
представлена известной таблицей LT, (L – length, длина; T – 
time, время) в клетках которой расположены физические 
величины в соответствии с их размерностью, выраженной в 
единицах длины и времени. Фрагмент LT-таблицы, опубликованной 
в [32], показан на рис. 1.1.

Время T–1,  с–1 

L3 T–6
L4 T–6
Изменение 
мощности 

Скорость 
передачи 
мощности

T–5
L1 T–5
Изменение 
давления 
 L2 T–5 

Поверхнос

тная 
мощность 

L3 T–5

Скорость 
изменения 
силы L4 T–5 

Мощность

L5 T–5 

Скорость 
передачи 
энергии 

T–4
Изменение 
плотности 
тока L1 T–4 

Давление

L2 T–4 

Поверхнос

тное 
натяжение 

L3 T–4

Сила
L4 T–4 

Момент 

силы. 
Энергия 

L5 T–4

Скорость 
передачи 
действия 

T–3
Гидравличе

ское 
сопротивле
ние 
L–1 T–3 

Изменение 
углового 
ускорения 
T–3 

Скорость 

массы. 
Плотность 
тока 
L1 T–3 

Напряженн

ость 
электромаг
нитного 
поля. 
Вязкость 

L2 T–3

Ток.

Массовый 
расход 
L3 T–3 

Скорость 
смещения 
заряда. 
Импульс 
L4 T–3 

Момент 
импульса. 
Действие 
L5 T–3 

Момент 
действия 

T–2
Изменение 
объемной 
плотности 

Массовая 
плотность. 
Угловое 
ускорение 
T–2 

Линейное 
ускорение 
L1 T–2 

Напряжени

е. 
Химически
й 
потенциал 

L2 T–2

Масса.

Количество 
магнетизма
. Заряд 
L3 T–2 

Магнитный 

момент 
L4 T–2 

Момент 
инерции 
L5 T–2 

T–1
L–1 T–1
Частота

T–1 

Скорость.
Электричес
кое 
сопротивле
ние 
L1 T–1

Скорость
изменения  
площади 
L2 T–1 

Скорость 
изменения 
объема 
L3 T–1 

Скорость 
смещения 
объема 
L4 T–1 

L5 T–1

T0
Изменение 
проводимо
сти 

Безразмерн

ые 
константы 

Длина.
Емкость. 
Самоиндукция 


L

Площадь 

L2 

Объем

L3 

4-Объем 

L4 

5-Объем 

L5 

T1
Изменение 
магнитной 
проницаем
ости 

Электричес

кая 
проводимо
сть 
L–1 T1

Период 
Длитель-

ность 
расстояния 

L2 T1

T2
Магнитная 
проницаем

ость

L–1 T2
Поверхнос
ть времени 

L1 T2

T3
Текучесть

L–2 T3 

L–1 T3
Объем 
времени 

Гидравличе

ская 
проводимо
сть 
L1 T3

L–2
L–1
L0
L1
L2
L3
L4
L5
L6

Длина L, м 

Рис. 1.1. LT-таблица размерностей физических величин 

Бартини – Кузнецова

Выражение физических величин через длину и время 

предполагает тождество гравитационной и инертной массы. 
«В принципе ниоткуда не следует, что масса, создающая поле