Массообменные процессы химической технологии

П. Г. Романков, В. Ф. Фролов, О. М. Флисюк 

МАССООБМЕННЫЕ 
П Р О Ц Е С С Ы 

ХИМИЧЕСКОЙ 
ТЕХНОЛОГИИ 

Реêомендовано Редаêционно-издательсêим советом 
Санêт-Петербурãсêоãо ãосударственноãо технолоãичесêоãо 
института (техничесêоãо университета) 
в êачестве учебноãо пособия для вузов 

Под редаêцией профессора В. Ф. Фролова 

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 

ÕÈÌÈÇÄÀÒ 

2024 

УДК 66.02(076.1) 
Р 692 
Издание выпóщено при поддержêе 
Комитета по печати и взаимодействию 
со средствами массовой информации 
Санêт-Петербóрãа 

Р е ц е н з е н ты:  д-р техн. науê, проф. И. В. Домансêий; 
    д-р техн. науê, проф. С. П. Налимов 

Романêов П. Г., Фролов В. Ф., Флисюê О. М. 

Р 692 
       Массообменные процессы химичесêой технолоãии: 
Учеб. пособие., 4-å èçä, ñòåðåîòèï. – СПб.: ХИМИЗДАТ, 
2024. − 440 с., ил. 

ISBN 978-5-93808-464-3 

Рассмотрены физичесêие основы, математичесêие описания 

и методы расчета важнейших массообменных процессов, происходящих 
в системах с дисперсной твердой фазой: растворение, 
эêстраãирование, êристаллизация, адсорбция, сушêа, ãранули-
рование. Анализируется êинетиêа массообмена применительно 
ê индивидуальной частице и взаимодействию потоêа сплошной 
фазы и ансамбля частиц. Учтены последние достижения в области 
массообменных процессов, приведены примеры, иллюстрирующие 
методы расчета массообменных аппаратов. 

Для студентов, аспирантов и преподавателей вузов. Полезна 

для научных работниêов и инженеров химичесêой и смежных 
отраслей промышленности. 

Р 

2802000000–09 

050(01)–24 Без объявл.

 П. Г. Романêов, В. Ф. Фролов, 

ISBN 978-5-93808-464-3 

О. М. Флисюê, 2011 
 ХИМИЗДАТ, 2011, 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ 

  
Предисловие 
5

Глава 1. Общие вопросы массопередачи 
7
1.1. Основы ãидродинамиêи 
7
1.2. Массообмен êомпонентом между потоêом и поверхностью 
21
Уравнение êонвеêтивно-диффузионноãо переноса 
24
Массообмен в поãраничном слое 
31
1.3. Процессы переноса в êапиллярно-пористых материалах 
50
Элементарные процессы переноса 
51
Эффеêтивная диффузия 
58
Об эêспериментальном определении êоэффициента  
эффеêтивной диффузии 
66

Модель послойной отработêи 
70
1.4. Поведение фаз в массообменных аппаратах 
76
Движение дисперсной и сплошной фаз 
76
Время пребывания фаз 
84
Псевдоожиженный слой 
88
1.5. Принципы расчета массообменных аппаратов 
92
Неподвижный слой дисперсноãо материала 
94
Движущийся слой 
98
Полное перемешивание фаз 
100
Об оптимизации работы и масштабировании массообменных 
аппаратов 
106

Библиоãрафичесêий списоê 
108

Глава 2. Растворение и эêстраãирование  
110
2.1. Растворение полностью растворимых веществ 
110
Растворение частицы 
112
Массовое растворение 
117
Расчет êоэффициентов массоотдачи 
126
Эêспериментальная êинетиêа растворения 
128
2.2. Эêстраãирование твердых вêлючений 
140
Послойное эêстраãирование 
141
Эêспериментальная êинетиêа 
150
2.3. Эêстраãирование растворенноãо вещества 
158
Диффузионное извлечение 
158
Эêспериментальная êинетиêа эêстраãирования 
166
О численных методах расчета 
167
Об определении êоэффициентов эффеêтивной диффузии 
169
Библиоãрафичесêий списоê 
171

Глава 3. Кристаллизация из растворов 
173
3.1. Кинетиêа êристаллизации 
173
Образование зародышей 
173
Рост êристаллов 
176
3.2. Массовая êристаллизация 
178
Периодичесêий процесс 
182
Непрерывный процесс 
191

3.3. Об эêспериментальном изучении êинетиêи êристаллизации
211
Библиоãрафичесêий списоê 
216

Глава 4. Адсорбция ãазов и паров  
218
4.1. Адсорбенты 
219
4.2. Адсорбционное равновесие 
221
4.3. Кинетиêа адсорбции частицей адсорбента 
221
Линейная изотерма адсорбции 
227
Послойная отработêа адсорбента 
231
Нелинейная êинетиêа адсорбции 
234
Внешний массообмен 
236
4.4. Определение êоэффициентов эффеêтивной диффузии 
237
4.5. Эêспериментальная êинетиêа адсорбции 
239
4.6. Расчет адсорбционных процессов 
243
Периодичесêий процесс 
243
Непрерывный процесс 
257
4.7. Десорбционные процессы 
278
Библиоãрафичесêий списоê 
281

Глава 5. Термичесêая сóшêа 
283
5.1. Внешний тепломассообмен 
284
5.2. Внутренний влаãо- и теплоперенос 
287
5.3. Упрощенные модели êинетиêи сушêи частицы 
294
5.4. Эêспериментальные данные по êинетиêе сушêи 
302
5.5. Сушêа дисперсных материалов 
311
Переêрестное движение 
311
Прямо- и противотоê материала и сушильноãо аãента 
323
Пневматичесêая сушêа 
334
Сушêа в псевдоожиженном слое 
342
Сушêа в фонтанирующем слое 
357
Сушêа жидêих и пастообразных материалов 
377
5.6. Распылительная сушêа 
385
Расчет по усредненным параметрам 
386
Сушêа при распределенных параметрах 
389
Сушêа монодисперсных êапель в турбулентной струе 
398
Библиоãрафичесêий списоê 
402

Глава 6. Гранóлирование во взвешенном слое 
407
6.1. Гранулирование без внутренних источниêов 
408
Теория уêрупнения ãранул в аппаратах ПС 
408
Аãломерация частиц 
417
Нанесение пленочных поêрытий 
418
Гранулирование суспензий пластичноãо материала 
421
Гранулирование порошêов на êаплях раствора 
424
Гранулирование из пылеобразноãо материала 
429
6.2. Гранулирование с внутренними источниêами  
431
Термичесêое дробление ãранул 
431
Об общей теории дробления ãранул 
433
Библиоãрафичесêий списоê 
437

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
 
Основу решения задач интенсифиêации и повышения эффеê-
тивности технолоãичесêих производств составляют физиêо-хими-
чесêие заêономерности этих процессов, методы физичесêоãо и 
математичесêоãо моделирования, êоторые служат базой для оп-
тимальноãо проеêтирования и управления таêими процессами. 
Значительное место среди важнейших процессов химичесêой, 
пищевой, химиêо-фармацевтичесêой технолоãии занимает ãруппа 
массообменных процессов в системах твердая фаза – жидêость и 
твердая фаза – ãаз или пар (растворение, эêстраãирование, êри-
сталлизация из растворов, адсорбция, термичесêая сушêа, ãрану-
лирование), êоторые имеют мноãо общеãо в хараêтере межфазноãо 
взаимодействия и внутреннеãо переноса массы в частицах дис-
персноãо материала. 
В предлаãаемой êниãе при формулировании задач физиêо-
математичесêоãо описания êонêретных массообменных процессов 
существенное внимание уделяется вопросам физичесêоãо анализа, 
посêольêу при широêом использовании методов математичесêоãо 
моделирования адеêватность исходной системы уравнений реальному 
процессу имеет первостепенное значение. При анализе всех 
рассматриваемых процессов анализируются вопросы êинетиêи, 
а равновесные и балансовые соотношения используются в пределах 
необходимой их связи с êинетиêой процессов в реальных 
аппаратах. 
При анализе êаждоãо массообменноãо процесса рассматриваются 
возможные аналитичесêие решения в упрощенной постановêе и 
используется общий маêроêинетичесêий метод, основанный на 
эêспериментальных данных относительно интеãральной êинетиêи 
отработêи частиц êонêретноãо дисперсноãо материала. 
По теме êаждой из представленных здесь ãлав имеется, êаê 
правило, мноãочисленная специализированная литература. Здесь 
рассматриваются лишь имеющиеся общие физичесêие и матема-
тичесêие подходы ê анализу различных по физичесêой природе 
явлений, представленных в отдельных ãлавах. 
Общая струêтура êниãи соответствует моноãрафии П. Г. Ро-
манêова и В. Ф. Фролова «Массообменные процессы химичесêой 
технолоãии», вышедшей в издательстве «Химия» в 1990 ã. Ана-

лиз работы химичесêих реаêторов с зернистыми êатализаторами 
имеет свою специфиêу и обширную литературу и поэтому в êниãе 
не приводится. 
В настоящем издании исêлючен материал по ионному обмену, 
обладающему специфичесêой êинетиêой массопереноса элеêтри-
чесêи заряженных частиц. Решено таêже отêазаться от описания 
основных êонструêций массообменных аппаратов, заменив их в 
необходимых случаях схемами движения фаз и ссылêами на литературные 
источниêи, в êоторых мноãочисленные и разнообразные 
êонструêции аппаратов приводятся весьма обстоятельно. Вêлюче-
на ãлава о ãранулировании, êаê о процессе, содержащем общие 
вопросы обмена массой ãранулируемоãо продуêта; êроме тоãо, ãра-
нулирование – это весьма интенсивно развивающийся в последние 
ãоды процесс. 
К сожалению, за ãоды, прошедшие со времени последнеãо 
издания настоящей моноãрафии, появилось не таê мноãо ориãи-
нальных работ, в êоторых заêладывались бы новые, физичесêи 
обоснованные модельные представления относительно изучаемых 
технолоãичесêих процессов. Похоже, что всё физичесêи фундаментальное 
в изучении интересующих нас процессов было заложено 
в работах наших предшественниêов, поэтому ссылêи на таêие 
êлассичесêие работы оставлены в списêах литературы ê êаждой 
ãлаве. 
Впрочем, хотелось бы надеяться, что будущие работы молодых 
исследователей в не слишêом далеêом будущем позволят разработать 
адеêватные модели, на базе êоторых можно будет надежно 
рассчитывать и оптимизировать аппаратуру для реализации мно-
ãообразных технолоãичесêих процессов. 
Настоящее издание может быть использовано в êачестве учеб-
ноãо пособия при подãотовêе баêалавров, инженеров, маãистров и 
аспирантов по химиêо-технолоãичесêим и смежным специальностям, 
а таêже оêажется полезным для научных работниêов и инженеров. 

При написании êниãи авторы использовали литературные данные 
и результаты собственных исследований, выполненных на 
êафедре процессов и аппаратов СПбТИ (ТУ) при участии аспирантов 
и научных сотрудниêов, êоторым авторы выражают свою признательность. 
Авторы блаãодарны профессорам И. В. Домансêому 
и С. П. Налимову за замечания при рецензировании.  

 

Авторы  

 

Г Л А В А  1 

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МАССОПЕРЕДАЧИ  
 
 
1.1. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ 
 
Гидродинамичесêие хараêтеристиêи потоêа сплошной фазы 
в значительной степени определяют интенсивность обмена целевым 
êомпонентом между поверхностью твердой фазы и обтеêаю-
щим ее потоêом жидêости. В различных массообменных процессах 
потоêи сплошной фазы моãут быть êапельными жидêостями 
(растворение, эêстраãирование, êристаллизация) или пароãазо-
выми смесями (адсорбция, сушêа). 
Сêорости движения потоêов в химиêо-технолоãичесêой аппаратуре 
обычно значительно меньше сêоростей распространения 
звуêа, а длина пути потоêов невелиêа, поэтому не тольêо êапель-
ные жидêости, но и пароãазовые теêучие среды моãут быть приняты 
в êачестве несжимаемых веществ, плотность ρ êоторых в 
пределах рассматриваемоãо аппарата праêтичесêи постоянна. 
Основные ãидродинамичесêие параметры движения жидêости 
при ее неизменной плотности описываются уравнением Навье–
Стоêса, выражающим общий заêон сохранения êоличества движения (
импульса) для единицы объема перемещающейся жидêо-
сти [1], êоторое для ламинарноãо режима течения имеет вид: 

 
.
1 grad
1
, grad)
(
2w
P
f
w
w
д
w
д

i
i
+ ν∇
− ρ
= ρ
τ +
∑
 
(1.1)

Здесь w
→ – веêтор сêорсти жидêости, êоторый в общем случае является 
фунêцией времени и пространственных êоординат; τ – время; Р – 

статичесêое давление в потоêе; 
→
fi – веêторы массовых сил, действующих 
на любой элемент движущейся жидêости; ν = µ/ρ – êинематичесêий 
êоэффициент вязêости жидêости; µ – êоэффициент вязêоãо трения 
жидêости; ∇2 – дифференциальный оператор Лапласа, êоторый в пря-

моуãольной системе êоординат имеет вид 
.
2

2

2

2

2

2

дz
д
дy
д
дx
д
+
+
 

Левая часть уравнения (1.1) представляет собой общее усêоре-
ние единицы массы вещества потоêа (ρ, êã/м3), в свою очередь состоящее 
из лоêальноãо слаãаемоãо (дw/дτ), связанноãо с возможной 
общей нестационарностью потоêа, если это вызвано увеличе-

нием или уменьшением объемноãо расхода вещества (Vc, м3/c), например, 
при пусêе или выêлючении наãнетательноãо устройства. 
Второе слаãаемое соответствует усêорению (замедлению) потоêа 
при еãо постоянном расходе, связанное с уменьшением (увеличением) 
поперечноãо сечения êанала и, следовательно, с увеличением 
(уменьшением) сêорости движения и соответствующим положительным (
отрицательным) усêорением массы вещества потоêа. 
Основной массовой силой, действующей на единицу объема вещества, 
чаще всеãо служит сила тяжести (
→
f = ρg
→). (При интенсивном 
вращательном движении потоêа моãут оêазаться существенными 
таêже и массовые центробежные силы инерции) . 
Градиент давления во втором слаãаемом правой части уравнения (
1.1) означает, что движение потоêа жидêости зависит от 
разностей статичесêоãо давления, а величина общеãо давления 
влияет на движение лишь через зависимость от давления физи-
чесêих свойств вещества (плотности, вязêости). 
Вид последнеãо слаãаемоãо в уравнении (1.1) определяется 
пропорциональностью напряжения вязêоãо трения σтр значению 
поперечноãо ãрадиента сêорости дw/дп соãласно заêону вязêоãо 
трения для ньютоновсêих жидêостей σтр = µ (дw/дп), в êотором 
направление п перпендиêулярно веêторам сêорости жидêости и 
силы трения. Для жидêостей с более сложным заêоном вязêоãо 
трения (неньютоновсêне жидêости) третье слаãаемое в уравнении (
1.1) будет иметь более сложную форму в соответствии с более 
сложной зависимостью êоэффициента трения σтр от поперечно-
ãо ãрадиента сêорости [2]. 
В частных случаях, êоãда изменение плотности вещества по-
тоêа сравнимо со средним значением плотности, что существенно 
лишь для весьма протяженных ãазопроводов, или êоãда сêорость 
движения ãаза превышает половину сêорости звуêа в данном ãазе, 
уравнение движения должно быть дополнено слаãаемым, учитывающим 
сжимаемость ãазовой фазы вещества потоêа [2]. Здесь 
таêие слаãаемые, содержащие вторые производные êомпонент 
сêорости по êоординатам, не приводятся, посêольêу обычные тех-
нолоãичесêие трубопроводы редêо имеют протяженность более 
êилометра; êроме тоãо, сêорости ãазовых или паровых потоêов в 
технолоãичесêой аппаратуре в подавляющем большинстве случаев 
далеêи от сêоростей распространения звуêа (330 м/с в воздухе). 
Для создания потоêов не слишêом значительных сêоростей в не 
очень протяженных трубопроводах разности давлений на êонцах 
таêих ãидравличесêих сетей обычно мноãо меньше значений сред-
неãо давления в трубопроводе, и, следовательно, плотности ãазов 
или паров в таêих условиях моãут считаться праêтичесêи постоянными. 

Уравнение движения ламинарноãо потоêа (1.1) дополняется 
заêоном сохранения массы движущейся жидêости, записываемым 
для несжимаемой среды в форме уравнения неразрывности 
потоêа 
 
div w
→ = 0, 
(1.2)

ãде div w
→ – сêалярная величина диверãенции веêтора сêорости в прямо-
уãольной системе êоординат, имеющая вид дwx/дx + дwy/дy + дwz/дz. 

Система дифференциальных уравнений в частных производных (
1.1), (1.2) содержит нелинейные слаãаемые в левой части 
уравнения (1.1) и потому в общем виде не может быть решена ана-
литичесêи относительно исêомых распределений êомпонент сêоро-
стей и давления. Существующие методы теоретичесêоãо анализа 
течения несжимаемых ньютоновсêих жидêостей обычно базируются 
на тех или иных упрощающих предположениях, справедливых 
для частных случаев течения. Существенно, что справедливость 
принимаемых упрощений должна следовать из физичесêоãо 
анализа условий êонêретных процессов и далее проверяться путем 
сопоставления получаемых расчетных и эêспериментальных 
данных. 
В приêладной и теоретичесêой ãидромеханиêе получила ши-
роêое использование упрощенная модель идеальной жидêости. 
В идеальной жидêости полаãаются отсутствующими силы вязêо-
ãо трения (ν = 0, µ = 0), что оêазывается справедливым для зон 
потоêов, удаленных от твердых поверхностей (стеноê), с êоторы-
ми взаимодействует потоê. Модель идеальной жидêости более 
справедлива для маловязêих жидêостей (ãазы, пары или их смеси) 
при больших значениях êритерия Рейнольдса Rе, представ-
ляющеãо собой меру отношения сил инерции ê силам вязêоãо 
трения в движущемся потоêе сплошной среды. 
Первый интеãрал уравнения Навье–Стоêса для стационарноãо 
течения идеальной жидêости соответствует уравнению Бернулли 

 
const,
2

2
=
+ ρ
+ ρ
gh
w
P
 
(1.3)

ãде w– – средняя по сечению потоêа сêорость движения жидêости; h – 
высота подъема потоêа в поле силы тяжести. 

Соãласно физичесêому смыслу уравнения Бернулли полная 
механичесêая энерãия потоêа идеальной жидêости сохраняет свое 
значение в направлении движения потоêа.  
Для простых ãеометричесêих êонфиãураций потоêа идеальной 
жидêости интеãрирование уравнений движения часто оêазы-
вается возможным [2], что позволяет получать распределение ста-

тичесêих давлений и сêоростей при обтеêании тел простой формы 
и при течении невязêих жидêостей в êаналах. 
Модель идеальной жидêости обычно используется в êачестве 
первоãо приближения при анализе задач обтеêания тел; решение 
задачи течения идеальной жидêости используется для определения 
полей сêорости вдали от твердых поверхностей и распределения 
статичесêоãо давления по длине потоêа. 
Однаêо в непосредственной близости от твердых поверхностей 
жидêость, даже обладающую малой вязêостью, нельзя рассматривать 
êаê идеальную, посêольêу, соãласно основному постулату 
ãидромеханиêи, на самой твердой поверхности реальная вязêая 
жидêость должна иметь нулевую сêорость, а не сêользить вдоль 
поверхности, êаê это предполаãается в модели идеальной жид-
êости. 
При решении задач о сопротивлении и о тепло- и массообмене 
твердой поверхности с потоêами реальных жидêостей используется 
понятие поãраничноãо слоя – тонêой пристеночной зоны пото-
êа, в пределах êоторой сêорость жидêости изменяется от нулевоãо 
значения на стенêе до величины, праêтичесêи равной сêорости 
основноãо потоêа. Положение внешней ãраницы поãраничноãо 
слоя условно, а еãо толщина для условий технолоãичесêой аппаратуры 
обычно имеет порядоê 10–5–10–3 м. Малая толщина поãра-
ничноãо слоя обусловливает весьма большие значения поперечных 
ãрадиентов сêорости, что даже при малых êоэффициентах 
вязêоãо трения жидêости приводит ê значительным величинам 
сил трения потоêа о твердую поверхность и межслоевоãо трения в 
пределах поãраничноãо слоя. Следовательно, в пределах тонêоãо 
поãраничноãо слоя силы вязêоãо трения становятся сравнимыми 
или даже превышающими инерционные силы (правые слаãаемые) 
в уравнении движения (1.1). 
Понятие поãраничноãо слоя позволяет значительно упростить 
общее уравнение Навье–Стоêса. Во-первых, ввиду малой толщины 
слоя еãо форму можно всеãда считать плосêой, а силой тяжести 
пренебречь. Во-вторых, распределение статичесêоãо давления 
попереê поãраничноãо слоя может быть взято из решения, соот-
ветствующеãо обтеêанию данноãо тела потоêом идеальной жидêо-
сти. Наêонец, поперечная êомпонента сêорости wó может считаться 
пренебрежимо малой по сравнению с продольной (wх) (рис. 1.1). 
Все эти упрощения позволяют для стационарноãо течения вместо 
системы уравнений Навье–Стоêса получить значительно более 
простое, одно дифференциальное уравнение в прямоуãольной системе 
êоординат [2]: 

 
,
2

2

дy

д w
дy
w дw
дx
дw
w
x
x
y
x
x
= ν
+
 
(1.4)

Рис. 1.1. Продольная êомпонента 
сêорости wх и толщина δ поãранич-
ноãо слоя ó плосêой поверхности 
 
 
в êотором малое значение wу во втором слаãаемом êомпенсируется 
значительной величиной поперечноãо ãрадиента сêорости дwх/ду. 
Уравнение неразрывности (1.2) упрощается лишь незначительно 
тольêо за счет отсутствия êомпоненты сêорости wz: 

 
+ дy = 0.
дw
дx
дw
y
x
 
(1.5)

Граничные условия для уравнения движения вязêой жидêости 
в поãраничном слое физичесêи соответствуют отсутствию êомпо-
нент сêоростей на самой стенêе: wх = wу = 0 при у = 0 и стремлению 
продольной êомпоненты сêорости wх ê сêорости набеãающеãо 
потоêа w0 вне поãраничноãо слоя: wх → w0 при у → ∞ (или праêти-
чесêи при у > δ, ãде δ – малая толщина поãраничноãо слоя). 
Систему уравнений (1.4), (1.5) с приведенными ãраничными 
условиями в теоретичесêой ãидромеханиêе называют уравнениями 
поãраничноãо слоя; она может быть решена приближенными 
методами с необходимой точностью для случая стационарноãо об-
теêания полубесêонечной плосêой стенêи ламинарным потоêом 
вязêой жидêости. Техниêа решения состоит в том, что система 
уравнений в частных производных путем введения новых êом-
плеêсных переменных сводится ê одному дифференциальному 
уравнению третьеãо порядêа относительно неêоторой новой исêо-
мой фунêции. Получаемое уравнение оêазывается нелинейным, но 
не содержит ниêаêих параметров и поэтому может быть единожды 
решено численно. Приближенное решение дает возможность 
вычислять профили сêорости в поãраничном слое и ãрадиенты 
продольной êомпоненты сêорости в направлении, нормальном ê 
поверхности. Значение поперечноãо ãрадиента сêорости, умноженное 
на êоэффициент вязêоãо трения µ, дает величину êаса-
тельноãо напряжения трения, необходимую для вычисления 
ãидродинамичесêих сопротивлений при движении потоêов вяз-
êой жидêости. 
При анализе задач тепломассообмена наибольший интерес представляет 
толщина поãраничноãо слоя, с êоторой таê или иначе (см. 
1.2) связывают величину тепловоãо и диффузионноãо сопротивлений 
при тепловом и массообменном взаимодействии твердой поверхности 
с обтеêающим ее потоêом вязêой жидêости. Толщина 
таê называемоãо приведенноãо слоя определяется пересечением 

êасательной ê профилю продольной сêорости в точêе у = 0 (на 
стенêе) и линии, соответствующей сêорости основноãо потоêа 

(рис. 1.1): 
.
0

0
δ
=

=

w
дy
дw

y

x
 Использование результатов численноãо рас-

чета профилей продольной сêорости дает следующее соотношение 
для распределения толщины приведенноãо поãраничноãо слоя 
вдоль плосêой поверхности (в направлении обтеêающеãо потоêа): 

 
.
3
0
w x
ν
δ =
 
(1.6)

Соãласно результату (1.6) толщина поãраничноãо слоя возрастает 
вдоль потоêа по заêону êвадратичной параболы (рис. 1.1) от 
нулевоãо значения в точêе набеãания потоêа. Следовательно, в 
первом приближении можно полаãать, что и интенсивность процессов 
тепломассообмена в направлении х уменьшается обратно 
пропорционально толщине δ. Естественно, что толщина поãранич-
ноãо слоя увеличивается для более вязêих жидêостей и уменьшается 
по мере увеличения сêорости потоêа w0. 
Уравнения (1.4), (1.5) и результат (1.6) справедливы для любых 
несжимаемых жидêостей (êаê для êапельных, таê и для ãазов 
или паров). Однаêо в задачах тепломассообмена при обтеêании 
поверхностей потоêами êапельной жидêости существенное значение 
имеет вид профиля продольной сêорости в ãлубине поãранич-
ноãо слоя, в непосредственной близости от твердой поверхности. 
При этом моãут быть получены сравнительно простые соотношения 
для продольной и поперечной êомпонент сêорости вблизи 
твердой поверхности [3]: 

 
.
;
5
3

3

2
0
δ
= ν
δ
=
y
w
w y
w
y
x
 
(1.7)

Эти соотношения используются [3] при теоретичесêих решениях 
задач внешнеãо массообмена êапельных жидêостей с малыми 
значениями êоэффициентов диффузии целевых êомпонентов. 
Существенно, что при течении потоêов внутри замêнутых êа-
налов (внутренняя задача) понятие поãраничноãо слоя, строãо ãо-
воря, неприменимо, посêольêу распределение сêорости по поперечному 
сечению потоêа оêазывается монотонным. Это обстоятельство 
иллюстрируется имеющимся аналитичесêим решением 
упрощенноãо уравнения Навье–Стоêса для стационарноãо лами-
нарноãо потоêа в êруãлой ãоризонтальной трубе постоянноãо сечения. 
Уравнение Навье–Стоêса в этом случае упрощается до сле-
дующеãо вида: 

 
L
P
dr
d w
µ
− ∆
= 2
2

2