Одноканальный принцип инвариантности в динамике измерительных систем

À. Ì. Àçèçîâ 

ÎÄÍÎÊÀÍÀËÜÍÛÉ 

Ï Ð È Í Ö È Ï 

ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÎÑÒÈ 

â ÄÈÍÀÌÈÊÅ 

ÈÇÌÅÐÈÒÅËÜÍÛÕ 

Ñ È Ñ Ò Å Ì 

 

 

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 

ÕÈÌÈÇÄÀÒ 

2024 .

ББК 518 
А 355 

 
 
 
 
 

 
 
 
Азизов А. М. 

А 355 
       Одноанальный принцип инвариантности в динамие 
 систем. – СПб
измерительных .                                 : ХИМИЗДАТ, 2024. −
192 с., изд. 2, сетерот. 
ISBN 978-5-93808-422-3  

Рассматривается физичеси одноанальный принцип ин-

вариантности, основанный на постанове и решении расширенной 
задачи динамичесих измерений. В этой постанове задачи 
неизвестными считаются асинал, подлежащий измерению, 
таи параметры, харатеризующие динамичесие 
свойства линейной измерительной системы. 

Уазанный принцип инвариантности позволяет решать ряд 

сложных задач динамичесих измерений, в том числе важнейшую 
задачу ислючения влияния параметричесих явлений на 
точность измерения. 

Основная приладная направленность содержания моно-

рафии – это область измерения неэлетричесих параметров 
технолоичесих процессов. Но приведенные методы и результаты 
моут быть использованы при решении общей задачи определения 
по реации объета входноо воздействия для линейных 
нестационарных динамичесих объетов произвольной 
природы. 

Для научных и инженерно-техничесих работниов. 

А 1602110000–014

050(01)–24 
Без объявл. 

 А. М. Азизов, 2015

 ISBN 978-5-93808-422-3 
 ХИМИЗДАТ, 2015, 2024.

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 
 
Введение
4

Глава 1. Математичесие модели типовых подсистем, 
являющихся источниами параметричесих явлений

5

1.1. Подсистемы с сосредоточенными параметрами
5

1.2. Подсистемы с распределенными параметрами
9

1.3. Источнии параметричесих явлений
14

1.4. Проявление и аналитичесий учет параметричесих эффетов
20

Глава 2. Инвариантность в динамие измерительных систем 
29

2.1. О постанове задачи динамичесих измерений
29

2.2. Физичеси одноанальный принцип инвариантности
37

2.3. Алоритмы инвариантности для линейных измерительных 

систем с сосредоточенными параметрами 

45

2.4. Алоритм инвариантности для одноо ласса нелинейных 

измерительных систем  

50

Глава 3. Модельная реализация одноанальноо принципа  
инвариантности 
55

3.1. Методы построения основных СЛАУ для восстановления 

измеряемых синалов 

56

3.2. Прямые и освенные ритерии точности восстановления

синалов 

62

3.3. Моделирование процессов восстановления измеряемых 

синалов

66

3.3.1. Первая схема реализации алоритма инвариантности
66

3.3.2. Вторая схема реализации алоритма инвариантности
82

3.4. Моделирование процессов восстановления типовых 

детерминированных синалов 

88

Глава 4. Специальные вопросы, связанные с применением  
принципа инвариантности 
107

4.1. Об устойчивости алоритмов инвариантности
107

4.2. Алоритм инвариантности для линейной измерительной 

системы с сосредоточенными параметрами произвольной  
струтуры 

118

4.3. Одноанальный принцип инвариантности для измерительных

систем с распределенными параметрами

131

Глава 5. Параметричесие явления в статистичесой динамие 
измерительных систем 
149

5.1. Элементы теории маровсих случайных процессов
149

5.2. Статистичесий метод уравнений моментов
156

5.3. Параметричесие эффеты в динамие измерительных систем
162

5.4. Принцип инвариантности в статистичесой динамие

измерительных систем 

173

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
190

Литература
191
 .

ÂÂÅÄÅÍÈÅ 

При постанове расширенной задачи динамичесих измерений неизвестными 
считаются аизмеряемый синал, таи параметры линейной 
нестационарной измерительной системы заданной струтуры. 
Это по существу означает объединение собственно задачи измерения и 
задачи параметричесой идентифиации измерительной системы. 
Аппросимация в расширенной задаче измеряемоо синала и неизвестных 
параметров измерительной системы мноочленами позволяет 
заменить задачу с неизвестными фунциями задачей с неизвестными 
постоянными величинами. Существование различных методов 
сведения последней задачи решению неоторых эвивалентных систем 
линейных алебраичесих уравнений (СЛАУ) обеспечивает реализацию 
физичеси одноанальноо принципа инвариантности. 
Суть уазанноо принципа инвариантности залючается в том, что 
использование тольо поазаний нестационарной измерительной системы 
и заданной математичесой модели этой системы позволяет находить 
независимо все неизвестные постоянные величины (оэффици-
енты аппросимации), а следовательно, все неизвестные фунции – 
измеряемый синал и переменные во времени параметры измерительной 
системы. 
В данной работе подробно излаается содержание физичеси одно-
анальноо принципа инвариантности применительно линейным
нестационарным измерительным системам заданной струтуры, причем 
рассматриваются аизмерительные системы с сосредоточенными
параметрами, таи измерительные системы с распределенными параметрами. 

Отдельно рассматривается одноанальный принцип инвариантности 
применительно линейным нестационарным измерительным системам 
с сосредоточенными параметрами, имеющими произвольную 
(неизвестную) струтуру. 
Тааодноанальный принцип инвариантности реализуется 
при решении обратной задачи, аовой оазывается расширенная задача 
измерения, то рассматриваются вопросы повышения устойчивости онретных алоритмов инвариантности. 
Завершается изложение рассмотрением применения одноанальноо принципа инвариантности в статистичесой динамие измерительных 
систем. 
Приведены результаты омпьютерноо моделирования процесса 
восстановления измеряемых синалов с использованием одноанальноо принципа инвариантности. В рамах выбранных освенных и 
прямых ритериев оцени точности восстановления измеряемых си-
налов результаты моделирования подтверждают справедливость основноо теоретичесоо вывода: применение одноанальноо принципа 
инвариантности позволяет получать информацию об измеряемых 
синалах, свободную от параметричесих исажений. Уазанный 
фат имеет очень важное значение, тааислючение влияния па-
раметричесих эффетов существенно повышает точность динамиче-
сих измерений. 
 .

Ã Ë À  À  1 

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÒÈÏÎÂÛÕ ÏÎÄÑÈÑÒÅÌ, 
ßÂËßÞÙÈÕÑß ÈÑÒÎ×ÍÈÊÀÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ 
ßÂËÅÍÈÉ 
 
 
Параметричесие явления в области измерений моут наблюдаться ав подсистемах получения первичной измерительной 
информации – в, таназываемых, измерительных преобразователях (
ИП) первичной измерительной информации («датчиах»), 
таи в подсистемах преобразования измерительной информации – 
в техничесих средствах фунциональноо преобразования измерительной 
информации (усилители, блои запаздывания, орре-
тирующие звенья, интерирующие и дифференцирующие цепи, 
автоомпенсаторы и т. д.). 
Основная направленность данной работы – это область измерения 
неэлетричесих величин, де, аизвестно, параметриче-
сие эффеты проявляются весьма сильно, причем в подсистемах 
получения первичной измерительной информации уазанные эф-
феты несоизмеримо существеннее, чем в подсистемах преобразования 
измерительной информации. В связи с этим, ниже приводятся 
примеры математичесих моделей лишь типовых подсистем 
получения первичной измерительной информации в области 
измерения неэлетричесих величин. 

1.1. ÏÎÄÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÛÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ 

Круприводимых ниже моделей ораничивается областью 
измерения сорости, температуры и давления потоов жидостей 
и азов. В уазанных моделях используются обозначения, принятые 
в соответствующих областях измерения. 

Èçìåðèòåëüíûå ïðåîáðàçîâàòåëè (ÈÏ) ñêîðîñòè ïîòîêà 

Существует мноо типов ИП сорости потоа, причем основанных 
на совершенно различных физичесих принципах действия. 
Остановимся на простейших из них, а именно, на ИП, .

оторые получили название чашечных, или рыльчатых, анемометров. 
Если пренебречь трением в частях механизма, то при 
достаточно больших соростях потоа уравнение, харатеризую-
щее динамичесие свойства анемометра алинейноо звена, 
может быть представлено в виде 

 
,
)
0
(
),
(
)
(
)
(
)
(
0
2
0
w
w
t
c
t
w
t
r
dt
t
dw
I
=
Ω
=
+
 
(1)

де w(t) – сорость вращения ротора, по оторой и судят о сорости по-
тоа; Ω(t) – сорость потоа; I – момент инерции ротора анемометра; с0 – 
постоянная, зависящая от технолоичесих параметров анемометра; 
r(t) – переменный во времени параметр, зависящий от вязоо трения и 
условий измерения, оторый и является источниом параметричесих 
явлений. 

Èçìåðèòåëüíûå ïðåîáðàçîâàòåëè (ÈÏ) òåìïåðàòóðû ïîòîêà 

Ораничимся тольо онтатными методами измерения температуры 
потоов жидостей и азов. В этом случае типичными 
ИП температуры (термоприемниами) служат термопары, термисторы 
и различноо типа термометры сопротивления. 
Начнем с простейшей ситуации. Пусть материал термоприем-
ниа однороден, и в процессе измерения отсутствуют радиенты 
температур внутри термоприемниа. Тода уравнением, описывающим 
динамичесие свойства уазанных видов термоприемни-
ов алинейных звеньев будет уравнение 

 
,
)
0
(
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
u
u
t
V
c
S
t
t
u
V
c
S
t
dt
t
du
k
k
=
θ
γ
⋅
α
=
γ
⋅
α
+
 
(2)

де u(t) – температура термоприемниа; θ(t) – измеряемая температура 
потоа; S, V – площадь поверхности и объем термоприемниа; с, γ – 
удельная теплоемость и плотность материала термоприемниа; αk(t) – 
оэффициент онветивноо теплообмена между термоприемниом и 
средой, в оторой находится термоприемни. 

Переменность во времени оэффициента онветивноо теплообмена 
и является источниом параметричесих явлений. 
Более сложными ИП температуры потоов являются ИП промышленноо типа. В них уазанные выше собственно термопри-
емнии, ирающие роль чувствительных элементов, помещаются 
в защитную оболочу. Если предположить, что материал оболоч-
и таоо ИП однороден по своим физичесим свойствам, и в ней 
таже, авнутри самоо чувствительноо элемента, отсутствуют .

радиенты температур, то уравнение, описывающее динамичесие 
свойства этой руппы термоприемниов, имеет вид 

),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
[
)
(
3
1
3
1
3
2
1
2

2
t
t
t
u
t
dt
t
du
t
dt

t
u
d
k
k
k
θ
⋅
α
⋅
β
⋅
β
=
⋅
α
⋅
β
⋅
β
+
α
⋅
β
+
β
+
β
+
(3)

,
)
0
(
,
)
0
(
1
0
u
u
u
u
=
′
=
 

де 
;
;
;
об

об
3
об

э
0
2
э

э
0
1
c
S
c
S
k
c
S
k
=
β
=
β
=
β
сэ, соб – полные теплоемости термо-

чувствительноо элемента и оболочи соответственно; k0 – оэффициент 
теплопередачи между оболочой и чувствительным элементом; Sэ, Sоб – 
площади поверхности чувствительноо элемента и оболочи соответственно. 
Обозначения u(t), θ(t), αk(t) имеют тот же смысл, что и в уравнении (
2). 

Èçìåðèòåëüíûå ïðåîáðàçîâàòåëè (ÈÏ) äàâëåíèÿ ïîòîêà 

Типичными измерительными преобразователями давления 
потоа аза являются монометры с упруим чувствительным элементом. 
Если пренебречь инерционностью упруоо чувствительноо элемента, то динамичесие свойства этих ИП будут полностью 
определяться свойствами аэродинамичесих передающих 
трасс. В этом случае уравнением, описывающем динамичесие 
свойства ИП, будет 

 
,
)
0
(
),
(
)
(
)
(
)
,
(
0
p
p
t
P
t
p
dt
t
dp
t
p
=
=
+
τ
 
(4)

де 
;
)
(

)
(
128
)
,
(
4
0
0
t
p
d

l
v
t
t
p
⋅
π

⋅
⋅
µ
=
τ
 р(t) – теущее значение давления аза в по-

лости монометра, оторое по сделанному выше предположению без ди-
намичесоо исажения воспроизводится упруим чувствительным элементом, 
т. е. p(t) – это поазания ИП; P(t) – измеряемое давление азово-
о потоа; v0 – объем аза, залюченноо в полости монометра; l0 и d – 
длина и диаметр труби монометра; µ(t) – оэффициент динамичесой 
вязости аза, оторый зависит от времени и является источниом пара-
метричесих явлений. 

Заметим, что модель (4) является по существу нелинейной, 
таапараметр τ(p, t) содержит фунцию p(t). Однао, на пра-
тие при оцене параметра τ(p, t), вместо входящей в ео струтуру 
фунции p(t), используют неоторое значение из предполаае-
моо интервала изменения измеряемоо синала P(t). .

Возможно иное рассмотрение этих ИП давления. Пусть в мо-
нометрах с упруим чувствительным элементом динамичесие 
свойства ИП определяются тольо инерционностью упруоо чувствительноо элемента, а наличием аэродинамичесих трасс можно 
пренебречь. Если считать, что упруий элемент является элементом 
мембранноо типа, то динамичесие свойства ИП алинейноо элемента будут описываться уравнением 

 
,
)
0
(
,
)
0
(
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
2

2
W
W
W
W
t
P
t
W
c
dt
t
dW
t
k
dt

t
W
d
m
=
′
=
=
+
+
(5)

де W(t) – теущее значение проиба мембраны; P(t) – измеряемое давление; 
т, с– – масса и жестость мембраны; k(t) – параметр, харатери-
зующий демпфирование мембраны, оторый и является источниом па-
раметричесих явлений. 

Если бы при анализе динамичесих свойств ИП давления потребовалось 
учесть аинерцию аэродинамичесой трассы, таи инерцию упруоо чувствительноо элемента, то необходимо 
было бы рассматривать уравнение (4) совместно с уравнением (5), 
заменив в последнем фунцию Р(t) фунцией p(t). 
Исходя из онретноо вида (1)–(5) приведенных моделей, в 
ачестве общей модели ИП с сосредоточенными параметрами, 
описываемых обыновенными дифференциальными уравнениями, 
в простейшем случае можно взять уравнение 

 
),
1
(
...,
,
1
,
0
,
)
0
(
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
1

0
−
=
=
=
+∑

−

=
n
i
Y
Y
t
X
dt

t
Y
d
t
a
dt

t
Y
d
i
i
i

i
n

i
i
n

n

(I)

либо уравнение 

),
1
(
...,
,
1
,
0
,
)
0
(
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
0

1

0
−
=
=
=
+∑

−

=
n
i
Y
Y
t
X
t
a
dt

t
Y
d
t
a
dt

t
Y
d
i
i
i

i
n

i
i
n

n
(II)

что определяется онретной областью измерений. В обоих случаях 
Y(t) – выходной синал, т. е. поазания ИП; Х(t) – измеряемый 
синал; ai(t), i = 0, …, (n – 1) – переменные во времени параметры 
ИП. 
В дальнейшем мы раздельно рассмотрим эти модели, таафизичесие свойства описываемых измерительных преобразователей 
оазываются различными, и при ссыле на них называем их 
первой и второй моделью измерительных систем с сосредоточенными 
параметрами. .

Таацелью измерений является определение входноо 
синала Х(t) по выходному синалу Y(t), то в струтуре модели 
ИС, вообще оворя, может фиурировать неоторая постоянная 
величина, оторая соласует размерности фунций Х(t), Y(t). Но 
для целей анализа точности ИС в динамичесих измерениях уа-
занная величина не ирает ниаой роли, поэтому в дальнейшем 
она не уазывается в моделях ИС. 

1.2. ÏÎÄÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ 

Рассмотрение ИП с распределенными параметрами обусловлено 
необходимостью более точноо физичесоо и математиче-
соо описания этих объетов. Здесь мы ораничимся приведением 
тольо моделей первичных измерительных преобразователей 
температуры и давлений, тааэти модели достаточно полно 
содержат в себе основные проблемы анализа, возниающие при 
исследовании динамичесих свойств ИП с распределенными параметрами. 


Èçìåðèòåëüíûå ïðåîáðàçîâàòåëè òåìïåðàòóðû ïîòîêà 

Наиболее простыми, с точи зрения анализа параметричесих 
явлений, измерительными преобразователями температуры с распределенными 
параметрами являются таназываемые термопри-
емнии стержневоо типа. Динамичесие свойства этих ИП в линейном 
приближении описываются раевой задачей 

 
0
,
0
)],
,
(
)
(
)[
(
)
,
(
)
,
(
2

2
2
0
>
<
<
−
θ
+
=
t
l
x
t
x
u
t
t
m
дx

t
x
u
д
a
дt
t
x
дu
 
(6)

),
(
)
(
,
const
)
0
,
(
,
const
)
,
(
,
0
)
,
0
(
0
ст
t
c
t
m
u
x
u
u
t
l
u
дx
t
дu
k
α
γ
β
=
=
=
=
=
=
(7)

де u(x, t) – температура стержня в точе х в момент времени t; θ(t) – 
измеряемая температура потоа; αk(t) – оэффициент онветивноо теплообмена 
между термоприемниом и средой, в оторой находится термо-
приемни; а0
2, с, γ – оэффициент температуропроводности, удельная теп-
лоемость и плотность материала термоприемниа соответственно; β – 
отношение длины периметра площади поперечноо сечения стержня; 
l – длина стержня; uст – температура стени, в оторой зареплен термо-
приемни. 

В зависимости от онструтивноо исполнения в ачестве выходной 
величины этих термоприемниов используются, апра-.

вило, либо температура начала стержня, т. е. температура в точе 
х = 0, либо средняя на длине l0 температура стержня, определяемая 
по формуле 

 
.
,
)
,
(
1
)
(
0
0
0
ср

0
l
l
dx
t
x
u
l
t
u

l
≤
=
∫
 

Очевидно, что источниом параметричесих явлений для этих 
ИП является оэффициент онветивноо теплообмена αk(t). В дальнейшем 
анализе модель (6)–(7) будем считать первой моделью измерительной 
системы с распределенными параметрами. 
В ачестве следующей руппы термоприемниов, описываемых раевой задачей, будем считать измерительные преобразователи 
температуры, динамичесие свойства оторых в линейном 
приближении описываются раевой задачей 

 
,
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
2

2

2

2

2

2
2
0











+
+
=
дz

t
z
y
x
u
д

дy

t
z
y
x
u
д

дx

t
z
y
x
u
д
a
дt
t
z
y
x
дu
 

 
;
0
,
)
,
,
(
0
>
Ω
∈
t
z
y
x
 
(8)

 
[
]
,
const
)
0
,
,
,
(
,
0
)
(
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
0 =
=
=
θ
−
+
u
z
y
x
u
t
t
z
y
x
u
t
H
дn
t
z
y
x
дu
s
s

(9)

де 
;
)
(
)
(
λ
α
=
t
t
H
k
 u(x, y, z, t) – температура термометричесоо тела в про-

странственной точе (x, y, z) в момент времени t; θ(t) – измеряемая температура 
потоа; λ и а2
0 – оэффициенты теплопроводности и температуро-

проводности материала термоприемниа соответственно; 
дn
t
z
y
x
дu
)
,
,
,
(
– 

производная температуры по направлению нормали п изотермичесой 
поверхности. 

Модель (8)–(9) описывает ИП температуры произвольной ео-
метричесой формы, но изотовленные из однородных по физиче-
сим свойствам материалов. Техничесое исполнение ИП температуры 
обычно ораничивается телами аноничесих форм: нео-
раниченной пластины (длина и ширина пластины во мноо раз 
больше ее толщины), шара и неораниченноо цилиндра (длина 
цилиндра во мноо раз больше ео диаметра). При этом общая модель (
8)–(9) для уазанных тел аноничесих форм соответствующим 
образом преобразуется. Для ИП, имеющих форму нео-
раниченной пластины, модель (8)–(9) принимает вид .

,
0
,
0
,
)
,
(
)
,
(
2

2
2
0
>
<
<
=
t
R
x
дx

t
x
u
д
a
дt
t
x
дu
 
(10)

 
[
]
,
)
0
,
(
,
0
)
,
0
(
,
0
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
0
u
x
u
дx
t
дu
t
t
R
u
t
H
дx
t
R
дu
=
=
=
θ
−
+
 
(11)

де R – половина толщины пластины; x – теущее расстояние от произвольной 
точи пластины до плосости симметрии пластины, оторая проходит 
через точу x = 0 параллельно плосости поверхности пластины. 

Для ИП, имеющих форму шара, модель (8)–(9) принимает вид: 

 
,
0
,
0
,
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
2

2
2
0
>
<
<











+
=
t
R
r
дr
t
r
дu
r
дr

t
r
u
д
a
дt
t
r
дu
 
(12)

 
[
]
,
)
0
,
(
,
0
)
,
0
(
,
0
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
0
u
r
u
дr
t
дu
t
t
R
u
t
H
дr
t
R
дu
=
=
=
θ
−
+
 
(13)

де R – радиус шара; r – теущее расстояние от произвольной точи шара 
до ео центра. 

Для ИП, имеющих форму неораниченноо цилиндра, модель 
(8)–(9) принимает вид: 

 
,
0
,
0
,
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
2

2
2
0
>
<
<











+
=
t
R
r
дr
t
r
дu
r
дr

t
r
u
д
a
дt
t
r
дu
 
(14)

 
[
]
,
)
0
,
(
,
0
)
,
0
(
,
0
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
0
u
r
u
дr
t
дu
t
t
R
u
t
H
дr
t
R
дu
=
=
=
θ
−
+
 
(15)

де R – радиус цилиндра; r – теущее расстояние от произвольной точи 
цилиндра до оси симметрии цилиндра, проходящей через точу r = 0. 

Поазания термоприемниов, описываемых приведенными 
раевыми задачами, соответствуют их среднеобъемным температурам 
uv(t): 

для термоприемниов, имеющих форму неораниченной пластины, – 

 
∫
=


R

v
dx
t
x
u
R
t
u

0
;
)
,
(
1
)
(
 

для термоприемниов, имеющих форму шара, – 

 
∫
=

R

v
dr
t
r
u
r
R
t
u

0

2
3
;
)
,
(
3
)
(
 .