Решение основных задач линейной алгебры на языке R и Excel

Федеральное государственное образовательное бюджетное  
учреждение высшего образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Финансовый университет)

Департамент математики Факультета информационных технологий  
и анализа больших данных

Д.  З. Каган

РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ  
НА ЯЗЫКЕ R и Excel

Учебное пособие

по дисциплинам «Математика»,  
«Математика и анализ данных»

Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент», все профили
 (программа подготовки бакалавров)

Одобрено Советом Департамента математики

Москва 2024

©  Каган Д.  З., 2024
© Издательство «Прометей», 2024

УДК 512.64
ББК  22.143 
К68

Рецензенты:
Клячко А.  А. — доктор физико-математических наук, доцент 
кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ 
им. М.  В. Ломоносова;
Седых 
И.  Ю. 
— 
кандидат 
физико-математических 
наук, 
доцент Департамента математики Финансового университета при 
Правительстве Российской Федерации.

К 68
Каган Д.  З.
Решение основных задач линейной алгебры на языке R 
и Excel: Учебное пособие по дисциплинам «Математика», 
«Математика и анализ данных» / Д.  З. Каган. — М.: 
Прометей, 2024. — 136 с.

ISBN 978-5-00172-564-0

В учебном пособии рассматриваются основные темы курса линейной 
алгебры, связанные с матричной алгеброй: матрицы, определители, 
методы решения систем линейных уравнений. Объясняются способы 
вычисления определителей нахождения обратной матрицы, ранга 
матрицы. Разбираются методы Гаусса, Крамера, обратной матрицы для 
решения систем уравнений.
Для всех разделов приводятся основные теоретические сведения, 
подробные решения типовых задач с помощью языка R и Excel. Также 
на каждую тему приводятся задачи для самостоятельного решения.

ISBN 978-5-00172-564-0

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. МАТРИЦЫ  ...........................................................  4

Виды матриц  .............................................................  7
Линейные операции над матрицами  ............................  9
Умножение матриц  .....................................................13
Решение задач в Excel  ................................................20
Решение задач в R ......................................................24

Глава 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ  ..................................................39

Понятие определителя  ................................................39
Миноры и алгебраические дополнения  .........................43
Основные свойства определителей  ................................46
Вычисление определителей с помощью  
элементарных преобразований  .....................................48
Решение задач в Excel  ................................................51
Решение задач в R  .....................................................54

Глава 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА, РАНГ МАТРИЦЫ  ............61

Понятие единичной матрицы  ......................................61
Обратная матрица  ......................................................62
Ранг матрицы  ............................................................65
Решение задач в Excel  ................................................71
Решение задач в R  .....................................................76

Глава 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ  ..................87

Основные понятия  ......................................................87
Метод Крамера  ...........................................................89
Метод обратной матрицы  ............................................95
Метод Гаусса ..............................................................98
Однородные системы линейных уравнений  ................. 113
Фундаментальная система решений  ........................... 114
Решение задач в Excel  .............................................. 119
Решение задач в R  ................................................... 123

Литература  ....................................................................... 134

Глава 1. МАТРИЦЫ

Матрицы являются одним из наиболее важных и часто 
используемых математических объектов. Многие технические 
или экономические задачи, или расчеты решаются в матричной 
форме.
Под 
матрицей 
подразумевается 
совокупность 
чисел, 
расположенных в виде прямоугольника. При этом, в матрице 
может содержаться произвольное число строк и столбцов.

Определение. Матрицей размера m × n называется прямоугольная 
таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. 
Числа, составляющие матрицу, называются элементами 
матрицы.

Матрицы обозначаются большими латинскими буквами A m × n, 
где m × n —  индекс матрицы, первое число —  количество строк, 
второе —  количество столбцов. Сами элементы матрицы (числа) 
обозначатся строчными буквами также с двойной индексацией: 
aij, где i —  номер строки, j —  номер столбца. Элемент aij 
матрицы A  =  {aij} с индексами i и j стоит на пересечении i  -   ой 
строки и j  -   го столбца. Элементами матрицы могут быть 
действительные или комплексные числа.

В общем случае матрица размера m × n имеет вид

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...

n

n

m
m
mn

a
a
a
a
a
a
А

a
a
a







= 






Также применяется общее обозначение

(
);
1,2,...,
;
1,2,..., .
ij
А
a
i
m j
n
=
=
=

Матрица, как уже было сказано, может состоять из любого 
количества строк и столбцов. Если размер матрицы 7 × 4, то она 

состоит из 7 строк и 4 столбцов, всего в матрице 28 чисел. 
Каждый элемент матрицы имеет свой индекс. Элемент a31 — 
число, стоящее в 3-ей строчке и 1-ом столбце матрицы.

Рассмотрим несколько примеров матриц

1. 
3 3

1
2
3
A
4
5
6

10
11 17

×





= 






Эта матрица является квадратной —  в ней число строк 
равно числу столбцов.
3 × 3 —  это размерность матрицы (3 строки; 3 столбца);
Также мы можем найти элементы матрицы (a), так, например,
a11  =  1 (число 1-ой строки 1-го столбца);
a12  =  2 (число 1-ой строки 2-го столбца);
a23  =  6 (число 2-ой строки 3-го столбца).

Совокупность чисел {1; 5; 17} называется главной диагональю 
(она выходит из левого верхнего угла в правый нижний), в нее 
входят элементы a11 a22 и a33.
Совокупность 
чисел 
{3; 
5; 
10} 
называется 
побочной 
диагональю. Она идет из правого верхнего угла в левый 
нижний, содержит элементы a13 a22 и a31.

2. А3×2
  =  
3
1
0
4
1
5









−



Эта матрица имеет размер 3 × 2. В ней 3 строки и 2 столбца.
Элемент a11 равен 3, элементы a12  =  1, a31  =  –1.

3. B  =  

7
1
4
3
1
2
3
5
1

−








−



Размер этой матрицы равен 3 × 3.

Глава 1. МАТРИЦЫ 

Определим некоторые элементы матрицы
b11  =  7, b12  =  –1, b21  =  3, b32  =  5

4. С1×4  =  (
)
3
2
0
1
−

Эта матрица является матрицей-строкой.

5. D3×1  =  

А такая матрица является матрицей-столбцом.

Различные 
технические 
показатели 
можно 
записывать 
в матричной форме.

Пример 
1. 
Предположим 
существуют 
3 
предприятия, 
генерирующие 
энергию. 
Объем 
производимой 
на 
этих 
предприятиях энергии по месяцам представлен в таблице.

Производство энергии по месяцам

Предприятия – производители энергии

Месяцы
1
2
3

1
383
341
204

2
192
275
139

3
177
102
208

4
217
52
96

5
367
357
94

6
114
63
71

7
76
339
399

8
50
65
373

9
241
160
364

10
239
388
364

11
137
104
170

12
97
313
106

3
1
1












Виды матриц 

Данные из этой таблицы удобно записать в компактной 
форме в виде матрицы:

А  =  

383
341
204
192
275
139
177
102
208
217
52
96
367
357
94
114
63
71
76
339
399
50
65
373
241
160
364
239
388
364
137
104
170
97
313
106








































В такой записи каждый элемент aij показывает, сколько 
электроэнергии производит j-ое предприятие в i-ом месяце.
Например, 
в 
январе 
первое 
предприятие 
производит 
383 кВт ⋅ ч, второе —  341 кВт ⋅ ч, третье —  204 кВт ⋅ ч.

Виды матриц

Среди бесконечного числа матриц можно выделить некоторые 
классы, часто используемые в примерах и имеющие важный 
смысл в математике.

Определение. Квадратной называется матрица А в том 
случае, когда m  =  n (число строк равно числу столбцов):

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...

n

n

n
n
nn

a
a
a
a
a
a
А

a
a
a







= 






,

Глава 1. МАТРИЦЫ 

Для квадратных матриц можно ввести понятия главной 
(а также побочной) диагонали и, соответственно, диагональных 
и единичных матриц.

Определение. 
Упорядоченная 
совокупность 
элементов 
a11, a22,. …, апп называется главной диагональю квадратной 
матрицы. Главная диагональ матрицы начинается с элемента 
в левом верхнем угла и оканчивается правым нижним углом.

Определение. Побочной диагональю называется совокупность 
элементов a1n, a2n–1,. …, an1. Побочная диагональ ведет 
из правого верхнего угла матрицы в левый нижний угол.

Квадратная матрица называется диагональной, если ее 
элементы удовлетворяют условию

0,
;
0,
,

ij
ij
ij

a
i
j
a
a
i
j
≠
=

= 
=
≠


т.  е. все элементы матрицы, не лежащие на главной 
диагонали равны 0.

11

22

0
...
0
0
...
0
.
...
...
...
...
0
0
...
nn

a
a
А

a







= 






Единичной матрицей называется матрица, у которой все 
элементы главной диагонали равны единице, а все остальные 
элементы равны 0, т.  е. это —  диагональная матрица, у которой 
все элементы главной диагонали равны единице:

1
0
...
0
0
1
...
0 .
...
...
...
...
0
0
...
1

А







= 






Линейные операции над матрицами 

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее 
элементы, расположенные ниже или выше главной диагонали, 
равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется 
нулевой матрицей.

Линейные операции над матрицами

Рассматриваются 
два 
вида 
линейных 
операций 
над 
матрицами: 
сложение 
(и 
вычитание) 
матриц; 
умножение 
матриц на число.

1. Сумма матриц

Складывать можно только матрицы с одинаковым 
размером. Для этого нужно каждый элемент одной матрицы 
сложить с соответствующим элементом другой, тогда 
получим матрицу-сумму той же размерности, что и слагаемые.
Суммой матриц A и B одинакового размера называется 
матрица C того же размера, каждый элемент которой равен 
сумме соответствующих элементов матриц A и B.

,ij
ij
ij
C
A
B
c
a
b
=
+
=
+

,
ij
A
a
=
  
;
ij
B
b
=
  i  =  1, 2, …, m,  j  =  1, 2, …, n.

Пример 1. Пусть даны матрицы A и B:

3 2

4
3

1
5 ,

7
15
A
×





= 






    

3 2

3
2

10
5 .
1
7
B ×





= 



−



Тогда суммой матриц A и B будет матрица С, равная

4
3
3
2
7
5
1 10
5
5
11
10 .
7 1
15
7
6
22
С
A
B
+
+








=
+
=
+
+
=








−
+





Глава 1. МАТРИЦЫ 

Аналогично 
можно 
производить 
и 
вычитание 
матриц 
одинакового размера.

(
)

4
3
3
2
1
1
1 10
5
5
9
0 .
7
1
15 7
8
8
С
A
B
−
−








=
−
=
−
−
= −








− −
−





2. Умножение матрицы на действительное число

Произведением 
матрицы 
A 
на 
действительное 
число 
с называется матрица, каждый элемент которой получен 
умножением соответствующего элемента матрицы A на число c.

Пример 2. Пусть даны матрица A и число c, нужно найти 
матрицу C  =  c  *  A

3 2

4
3

1
5 ,

7
15
A
×





= 






  c  =  3.

3 4
3 3
12
9
3
3 1
3 5
3
15 .
3 7
3 15
21
45
C
A

×
×








=
×
=
×
×
=








×
×





Для матриц одинакового размера можно также считать 
любые их линейные комбинации —  матрицы вида α  ×  A  +  β  *  B.

Пример 3. Пусть матрицы A и B, такие же, как в примере 1. 
Найдем матрицу 
4
2
C
A
B
=
+
:

(
)

4 4
2 3
4 3
2 2
4 1
2 10
4 5
2 5
4 7
2
1
4 15
2 7
С
×
+
×
×
+
×




=
× +
×
×
+
×




×
+
× −
×
+
×



22
16
24
30
26
74





= 






.

Произвольно найдем несколько элементов матрицы: c31  =  26; 
c12  =  16.

Линейные операции над матрицами 

Свойства операций суммы матриц  
и произведения на число

Пусть A, B и C —  матрицы, имеющие одинаковый размер, 
а α и β —  произвольные действительные числа. Тогда:
1) A  +  B  =  B  +  A,
2) (A  +  B)  +  С  =  A  +  (B  +  С),
3) α  ∙  (A  +  B)  =  αA  +  αB,
4) (α  +  β )  ∙  A  =  αA  +  βA,
5) (αβ )  ∙  A  =  (αA)  ∙  β,
6) A  +  О  =  A, где О —  нулевая матрица,
7) О  ∙  A  =  О.

Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк 
матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка. Таким 
образом 1-а строка матрицы переписывается как 1-ый столбец, 
2-ая строка —  как 2-ой столбец. Если исходная матрица имеет 
размер m × n, то после транспонирования она будет иметь 
размер n × m. Транспонированная матрица обозначается AT.
Пусть дана исходная матрица А:

Пример 4. Пусть даны матрицы A и B:

5
3
1
2
4
3
5
1
12
7 ,
.
2
3
1
2
1
7

A
B







−




=
−
=






−







Тогда соответствующие им транспонированные матрицы 
имеют вид

(
)

3
5
3
1
1
1
,
5
3
2
7 .
2
12
2
4
7
1

Т
Т
A
B





−


=
=
−


−


−

