Компьютерная геометрия: практикум

Практикум по компьютерной геометрии

2-е издание, исправленное

Иванов А.О.
Ильютко Д.П.
Носовский Г.В.
Тужилин А.А.
Фоменко А.Т.

Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”
2016

2

УДК [004:514](075.8)
ББК 14
К63
Компьютерная геометрия: практикум / Иванов А.О., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Тужилин А.А.,
Фоменко А.Т. - M.: Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”, 2016 (Основы информатики и
математики)
ISBN 978-5-9556-0117-5

Курс представляет собой конспект занятий практикума по компьютерной геометрии, разработанного
и внедренного на механико-математическом факультете МГУ сотрудниками кафедры
дифференциальной геометрии и приложений.
Первая часть книги содержит подробное описание вычислительных, графических, динамических и
анимационных возможностей пакета Mathematica Wolfram Research, Inc. После знакомства с ней
читатель сможет самостоятельно создавать простейшие компьютерные геометрические модели
самых разнообразных объектов и явлений. Во второй части более подробно описаны возможности
использования геометрического компьютерного моделирования в таких важных для приложений
областях как вычислительная геометрия, теория графов, дискретная оптимизация. Также
обсуждаются возможности создания пользовательских пакетов на примере разработанного авторами
учебного пакета, позволяющего легко и наглядно решать многие стандартные задачи по тензорному
исчислению на гладких поверхностях.

(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2010-2016
(c) Иванов А.О., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Тужилин А.А., Фоменко А.Т., 2010-2016

3

Первое знакомство с пакетом Mathematica

Основные операции пакета Mathematica, графические возможности, визуализация
зависимости от параметра.

В пакет 
 встроено подробное описание (
). Чтобы в него попасть,

нажмите 
 или войдите через меню 
.

После запуска программы на экране появляется несколько независимых окон. Вдоль
верхней части экрана расположено меню. Слева - рабочее окно. Можно открыть много
рабочих окон, выполнив в меню команду 
. Как видно из

названия команды, рабочее окно называется 
.

Если в рабочее окно ввести произвольный символ, то этот символ отобразится в окне, а
справа появится вертикальная скобка, ограничивающая текущее рабочее поле. При
дальнейшем вводе новые символы будут также отображаться в рабочем поле. Если
произойдет переход на следующую строку, правая скобка расширится. Эта скобка
указывает на независимую область, в которой можно расположить команды языка 

 и одновременно их выполнить. Область, ограниченная скобкой,

называется клеткой (
). Если стать на последней строке клетки и нажать на

стрелочку вниз, или же стать на первой строке клетки и нажать на стрелочку вверх, то
курсор превратится в горизонтальную линию, расположенную рядом с клеткой. Если
опять ввести символ, то появится новая клетка, в которую также можно вводить текст.
Кроме того, переходить от клетки к клетки, а также позиционировать курсор между
клетками можно с помощью мышки.

В клетки можно вводить произвольные выражения (
) и вычислять (
)

их. Для вычисления нужно, находясь внутри клетки, выполнить команду 

 (здесь и всюду ниже знак + обозначает одновременное нажатие

клавиш). Поместите курсор внутрь следующей клетки, в которой написано 
, и

выполните 

После выполнения команды 
 слева от выражения появится 
,

нумерующее последовательно выполняющиеся команды. Кроме того, возникнет еще
одна клетка с результатом, который будет помечен 
. Заметим, что клетка ввода и

вывода объединены в одну большую клетку. Вы можете манипулировать результатом
многими способами. Один из них - использование символа , которому присвоен
результат последней выполненной команды; последовательности 
 - результат

выполнения предпоследней команды; 
 - предпредпоследней и т.д., а также 
 -

результат выполнения команды с номером .

Основные операции пакета Mathematica

4

Объекты, которыми оперирует 
:

1. числа (
), например, 
 ;

2. символы (
), например, 
 ;

3. строки (
 ), например, 
;

4. выражения (
), например, 
.

Замечание

Имеется несколько способов визуализации одного и того же выражения, например,

В последнем случае 
 обозначает произведение  и , 
 - их сумму,

а 
 в степени .

Три типа визуализации выражений

Cтаньте в клетку, вид которой хотите изменить, и выполните соответствующую
команду:

:

:

:

Ввод с клавиатуры в StandardForm

Выражения в 
 можно получать сразу. Для этого следует использовать или

5

 + клавиша, 
 -команда- 
, или вспомогательные панели 
.

Например, 
 - дробь , 
 - радикал 
, 
 - верхний индекс,

как у 
, 
 - нижний индекс, как у 
.

Далее, 
 - число , 
 - число , 
 - мнимая единица 

, 
 - интеграл , 
 - сумма 
, 
 - альфа , 

 - гамма …

Все выражения являются композицией атомарных объектов-выражений (чисел,
символов и строк) и выражений вида f[x,y,…]

Выражение

в действительности имеет вид

Основная работа пакета Mathematica - вычисление (Evaluation) выражений

Чтобы вычислить выражение, поместите курсор внутрь содержащей его клетки и

выполните команду 
:

Арифметические операции 
; знак  можно не писать (вместо него -

пробел, который 
 в некоторых случаях автоматически заменяет

соответствующим значком):

Mathematica различает строчные (маленькие) и прописные (заглавные, большие) буквы

6

Встроенные функции и символы всегда начинаются с прописной буквы, поэтому
пользовательские символы и выражения рекомендуется начинать со строчных букв.

Примеры встроенных символов:

Чтобы вывести соответствующее десятичное представление для выражения 
,

нужно выполнить команду 
 или 
, где  - число цифр в десятичном

представлении, например:

Присвоение значений командой Set или “=” (создание правила замены символа на
присвоенное значение) и снятие присвоений командой Unset или “=.”

7

Встроенным символам значения переприсвоить нельзя:

Выражения f[a,b,…]

Встроенные:

Создание выражений:

Значок 
 называется 
. Он отличается от значка 
, который называется 
,

8

тем, как осуществляется вычисление присвоенного выражения. 
 вычисляет правую

часть 
 формулы 
 еще до присвоения и результат присваивает левой части 

; 
 присваивает левой части 
 невычисленную правую часть 
, и при

каждом вычислении левой части присвоенная правая часть вычисляется заново с
использованием текущих значений связанных с 
 объектов.

Для примера используем функцию 
, которая выдает случайное вещественное

число в пределах между 0 и 1. В первом примере перед присвоением вычисляется
некоторое случайное число и результат присваивается переменной , поэтому при
каждом появлении  заменяется на одно и то же присвоенное число. Во втором
примере  присваивается неотработанная функция 
, и при каждом появлении

 эта функция вычисляется каждый раз заново, чем и объясняются разные результаты

вычисления .

Еще один пример:

9

Чтобы очистить сделанное присвоение вида f[x_] = rhs или f[x_] := rhs, выполните
команду Clear[f]

Для одновременной очистки нескольких присвоений, сделанных для 
, можно

использовать 
:

10