Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1

Москва

2024

Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова

Математика 

и анализ данных с поддержкой 

MS Excel и языка R

Практикум 

Часть 1

Учебное пособие

Под редакцией Седых И.Ю. 

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение 

высшего образования  

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Финансовый университет)

УДК 517(073)
ББК 22.161я73
          Б82

Б82
Борисова Л.Р.
Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel 
и языка R. Практикум. Часть 1: Учебное пособие / 
Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова; под ред. 
И.Ю. Седых — М.: Прометей, 2024. — 374 с.
ISBN  978-5-00172-595-4
Данное учебное пособие представляет собой первую часть практикумов, 
разработанных для обеспечения учебного процесса по дисциплинам «
Математика и анализ данных» и «Цифровая математика на языке 
R и Excel» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 
«Гостиничное дело», «Государственное и муниципальное управление», 
«Политология»,  «Социология», «Туризм», «Управление персоналом» 
по программе подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными 
образовательными стандартами высшего образования 
последнего поколения.
В пособии излагаются общие характеристики MS Excel и языка R 

с дальнейшим применением их по мере изучения основных положений 
линейной алгебры и математического анализа. Каждый параграф начинается 
с кратного изложения теоретических сведений. Затем — большое количество 
решенных примеров разного уровня сложности. Для основных 
типов задач приводится реализация решения в MS Excel и R. В каждом 
разделе находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены 
типовые варианты контрольной и демонстрационные варианты зачетной 
работы.
Пособие предназначено для студентов, стремящихся освоить современные 
инструментальные средства. Оно может быть рекомендовано для 
программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнес-
школ, колледжей, для программ повышения квалификации и всем желающим 
приобрести основы математических знаний.
ISBN  978-5-00172-595-4 
©  Борисова Л.Р., Седых И.Ю., 

Хрипунова М.Б., 2024

© Издательство «Прометей», 2024

Рецензенты: 
Губернаторов А.М., доктор экон. наук, доцент, профессор кафедры 
«Бизнес-информатика и экономика» ФГБОУ ВО Владимирский государственный 
университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых;
Жукова Г.С., доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор департамента 
анализа данных и машинного обучения Финансового университета 
при Правительстве Российской Федерации.

Авторы: 
Борисова Людмила Робертовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент 
департамента математики Финансового университета при Правительстве 
Российской Федерации;
Седых Ирина Юрьевна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента 
математики Финансового университета при Правительстве Российской 
Федерации;
Хрипунова Марина Борисовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент 
департамента математики Финансового университета при Правительстве 
Российской Федерации.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Введение в MS EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Введение в язык программирования R  . . . . . . . . . . . . . . . 14

Раздел I 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Глава 1. Векторы, матрицы, определители
1.1. Матрицы и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2. Определитель квадратной матрицы  . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4. Векторные пространства и n-мерные векторы . . . . . . 36
1.5. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 56

Глава 2. Системы линейных алгебраических 
уравнений
2.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2. Методы решений систем линейных уравнений  . . . . . 63
2.3. Однородные системы линейных уравнений . . . . . . . . 66
2.4. Типовые задачи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5. Задачи для самостоятельного решения  . . . . . . . . . . . 88

Глава 3. Линейные преобразования (операторы)
3.1. Определение линейного оператора и его матрица  . . . 92
3.2. Собственные векторы и собственные числа  . . . . . . . . 94
3.3. Типовые задачи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 98

Глава 4. Задачи оптимизации. 
Линейное программирование
4.1. Выпуклые множества в  n-мерном пространстве . . . 100
4.2. Основная задача линейного программирования  . . . 104

4.3. Графический метод решения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4. Транспортная задача  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5. Типовые задачи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6. Задачи для самостоятельного решения  . . . . . . . . . . 136

Линейная алгебра в R

Операции с векторами в R (RStudio)  . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Операции с матрицами в R (RStudio)  . . . . . . . . . . . . . . . 147
Определители квадратных матриц.  
Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.  
След. Ранг  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Матричные уравнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Системы линейных алгебраических уравнений  . . . . . . . 167
Решение задач линейного программирования в R  . . . . . 169

Раздел II 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Глава 5. Функции одной переменной
5.1. Понятие функции. Основные свойства функций . . . 178
5.2. Основные элементарные функции и их графики . . . 180
5.3  Классификация функций.  

Преобразование графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Глава 6. Пределы и непрерывность
6.1. Числовая последовательность и ее предел  . . . . . . . . 188
6.2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 191
6.4.  Основные теоремы о пределах. Признаки 

существования предела  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.5. Первый и второй замечательные пределы  . . . . . . . . 195
6.6.  Непрерывность функции. Точки разрыва.  

Асимптоты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.7. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.8. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 216

Глава 7. Дифференциальное исчисление
7.1 Определение и геометрический смысл  
производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.2.  Правила дифференцирования. Производные 

основных элементарных функций. Производная 
сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.3.  Основные теоремы дифференциального 

исчисления.  Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.4. Интервалы монотонности. Экстремумы функции . . 229
7.5.  Производные высших порядков. Точки перегиба 

функций  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.6  Общая схема исследования функций и построения 

их графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.7. Дифференциал функции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.8.  Экономические приложения пределов  

и производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.9 Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.10. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 258

Глава 8. Интегральное исчисление

8.1.   Первообразная функция.  

Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.2 Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.3.  Определенный интеграл. Геометрический смысл 

определенного интеграла. Формула Ньютона — 
Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

8.7.  Геометрические приложения определенного  

интеграла  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.8. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.9. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.10. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 294

Глава 9. Функции нескольких переменных

9.1.  Основные понятия. Частные производные функции 

нескольких переменных  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

9.2. Градиент функции двух переменных . . . . . . . . . . . . 307
9.3. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . 308
9.4. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9.5. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
9.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 319

Математический анализ в R

Задание математических функций, исследование 
и построение графиков функций в R . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Вычисление производных функции одной переменной 
и экономические приложения производной в R . . . . . . . 337
Использование R при вычислении определенных 
интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Функции нескольких переменных в R . . . . . . . . . . . . . . . 348
Экстремумы функции нескольких переменных . . . . . . . 355

Типовые варианты контрольной работы
Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
Вариант 2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Демонстрационные варианты зачетной работы
Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

Предисловие

Данное учебное пособие «Математика и анализ данных 

с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1» 
представляет собой первую часть практикумов и вторую 
часть учебно-методического комплекса пособий, разработанных 
для учебного и методического обеспечения организации 
и проведения учебного процесса по дисциплине 
«Математика и анализ данных» и «Цифровая математика 
на языке R и Excel» для студентов, обучающимся по направлениям 
подготовки «Гостиничное дело», «Государственное 
и муниципальное управление», «Политология», «Социология», «
Туризм», «Управление персоналом» по программе 
подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными 
образовательными стандартами высшего образования 
последнего поколения. 

Преподавание дисциплины «Математика и анализ дан-

ных» студентам, обучающимся по вышеперечисленным направлениям, 
имеет ряд особенностей. Прежде всего, это широта 
круга охватываемых вопросов в течение ограниченного 
промежутка времени. Ситуация осложняется еще и тем, что 
дисциплина преподается на первом курсе — то есть студентам — 
вчерашним школьникам. 

Все это требует от преподавателя больших усилий по ор-

ганизации и проведению учебного процесса. И надо помнить, 
что цель изучения дисциплины «Математика и анализ 
данных» (как и других дисциплин математического 
цикла) — научить студентов учиться, то есть находить, воспринимать 
и использовать в своей будущей профессиональной 
деятельности необходимую информацию. А источников 
этой информации в современной ситуации достаточно много 
(как традиционных, так и новейших).

В учебном пособии последовательно излагаются общие 

характеристики табличного процессора MS Excel и языка 
программирования R с дальнейшим применением их 

по мере изучения основных положений линейной алгебры 
и математического анализа. Пособие включает в себя главы 
«Введение в MS Excel», «Введение в язык программирования 
R» и два раздела: «Линейная алгебра», «Математический 
анализ». Каждый раздел начинается с кратного изложения 
основных теоретических сведений. Затем — большое 
количество решенных примеров разного уровня сложности. 
Для основных типов задач приводится реализация решения 
в MS Excel и с использованием языка R. В каждом разделе 
находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены 
типовые варианты контрольной и демонстрационные 
варианты зачетной работы.

В основе пособия лежат курсы лекций и материалы пра-

ктических занятий, разработанные авторами по дисциплинам 
математического цикла по соответствующим направлениям 
подготовки в Финансовом университете при Правительстве 
Российской Федерации. 

Пособие предназначено, в первую очередь, для студен-

тов, обучающихся по программам академического бакалав-
риата, изучающих вышеперечисленные разделы математики, 
и стремящихся освоить современные инструментальные 
средства и их применение при решении задач. Также 
оно может быть рекомендовано и для программ прикладного 
бакалавриата, при обучении слушателей бизнес-школ, 
колледжей, также для программ повышения квалификации 
и всем желающим приобрести основы математических 
знаний.

Введение в MS EXCEL

Microsoft Excel — программа для работы с электрон-

ными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для 
Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. 

Она предоставляет возможности экономико-статисти-

ческих расчетов, графические инструменты, поддерживает 
язык макропрограммирования VBA (Visual Basic для приложений). 
Microsoft Excel входит в состав Microsoft Offi ce 
и на сегодняшний день Excel является одной из наиболее 
популярных программ в мире. 

Открыть программу можно, например, щелкнув правой 

кнопкой мышки по полю Рабочего стола, Создать, Лист 
Microsoft Excel.

Лист MS Excel — это рабочая вкладка, на которой нахо-

дится двумерная таблица, состоящая из ячеек.

Любой файл Excel состоит, как минимум из одного ли-

ста. Лист Excel состоит из 16 384 столбцов и 1 048 576 строк 
(в версиях младше 2007 года их меньше), на их пересечениях 
находятся ячейки для ввода формул, чисел, текста, 
дат и т.д. Количество самих листов в Excel не ограниченно 
(зависит от оперативной памяти компьютера). 

У каждой ячейки есть свое имя (адрес), состоящее из на-

звания столбца и номера строки на пересечении которых 
она находится, например, желтая ячейка — A4 .

В ячейки Excel можно вводить формулы, в состав кото-

рых входят встроенные функции. Чтобы ячейка стала активной 
нужно ввести “ = “ знак равно. Рассмотрим следующие 
примеры.

Введем в ячейку А4 “3+4”, в ней так и останется «3+4»

Введем в ячейку А4 “= 3+4”, после выхода из нее, про-

грамма посчитает сумму 3+4 и выдаст в ней результат 7

.

А в командной строке 
.

Под функцией в Excel понимают встроенные подпро-

граммы для организации вычислений в Excel. Количество 
различных функций в различных версиях Excel очень велико (
больше 400), но все они распределены по основным 
категориям: финансовые, дата и время, математические, 
статистические, ссылки и массивы и т. д.

Любая функция имеет свое неповторимое (уникальное) 

имя, один или несколько аргументов. В общем виде функция 
записывается следующим образом: =F (arg1, arg2, …), 
где F – имя функции; arg1, arg2, … - аргументы функции.

Аргумент функции – это значение, с которым оперирует 

данная функция и которое надо задать, чтобы получить результат 
функции. Аргументами функции могут быть числа, 

текст, логические выражения, ссылки на ячейки или диапазон 
ячеек.

Функции можно вызывать разными способами: на-

жимаем клавишу равно « = » непосредственно в ячейке 
и первые буквы названия функции (всплывают подсказки); 
или  нажимаем на кнопку fx на Стандартной панели 
инструментов, появится Мастер функций; или через 
меню Вставка → Функция, также вызовется Мастер функций. 
После вызова Мастера функций необходимо: в поле 
Категории выбрать нужную категорию, в поле Функции выбрать 
нужную функцию.

Если Excel не может правильно оценить формулу или 

функцию рабочего листа, он отобразит значение ошибки — 
например, #ИМЯ?, #ЧИСЛО!, #ЗНАЧ!, #Н/Д, #ПУСТО!, 
#ССЫЛКА! — в ячейке, где находится формула. 

Ошибка #ИМЯ появляется, когда имя, которое исполь-

зуется в формуле, было удалено или не было ранее определено. 
Или допущена ошибка в написании имени функции. 

В формуле используется текст, не заключенный в двойные 
кавычки. Excel выдает ошибку, так как воспринимает такой 
текст как имя.

Ошибка #ЧИСЛО! в Excel выводится, если в формуле со-

держится некорректное число. Используете отрицательное 
число, когда требуется положительное значение. Формула 
возвращает число, которое слишком велико или слишком 
мало, чтобы его можно было представить в Excel.

Ошибка #ЗНАЧ! Данная ошибка Excel возникает в том 

случае, когда в формуле введён аргумент недопустимого 
значения. Формула содержит пробелы, символы или текст, 
но в ней должно быть число. В аргументе функции введен 
диапазон, а функция предполагается ввод одного значения. 
При использовании формулы массива нажимается клавиша 
Enter и Excel выводит ошибку, так как воспринимает ее как 
обычную формулу.

В случае если формула содержит ссылку на ячейку, ко-

торая не существует или удалена, то Excel выдает ошибку 
#ССЫЛКА.

Ошибка #ДЕЛ/0!. Данная ошибка Excel возникает при 

делении на ноль, то есть когда в качестве делителя используется 
ссылка на ячейку, которая содержит нулевое значение, 
или ссылка на пустую ячейку.

Ошибка #Н/Д в Excel означает, что в формуле исполь-

зуется недоступное значение. Ошибки в работе с массивами: 
использование не соответствующих размеров диапазонов. 
Например, аргументы массива имеют меньший размер, чем 
результирующий массив. В функции не заданы один или 
несколько обязательных аргументов.

Ошибка #ПУСТО! в Excel возникает, когда, в формуле 

используются непересекающиеся диапазоны.

Ошибка #### возникает если ширины столбца недо-

статочно, чтобы отобразить содержимое ячейки. Ячейка содержит 
формулу, которая возвращает отрицательное значение 
при расчете даты или времени. Дата и время в Excel 
должны быть положительными значениями.

Информация об ошибках является подсказкой и позво-

ляет корректировать программу для ее правильной работы. 

Итак, с помощью Excel можно анализировать большие 

массивы данных. В Excel можно использовать математические, 
статистические, финансовые и другие специализированные 
функции, связывать разные таблицы между собой, 
выбирать произвольные форматы представления данных, 
создавать иерархические структуры. 

Excel включает в себя инструменты позволяющие визу-

ализировать результаты обработки данных с помощью всевозможных 
графических представлений. 

Excel — программа с встроенными всплывающими под-

сказками, позволяющими студенту идти к решению задачи 
и учиться пользоваться возможностями программы единовременно.


В настоящем издании будем применять Excel для реше-

ния практически всех типов представленных задач.

Введение  
в язык программирования R

Для работы с данным (и последующими учебно-методи-

ческими материалами по R) необходимо иметь установленные 
на компьютере два пакета: интерпретатор языка программирования 
R и оболочку RStudio. Процедура официального 
бесплатного скачивания и установки этих пакетов 
описана в инструкции [5].

Необходимо установить эти два пакета на своем лич-

ном компьютере (ноутбуке, планшете и т. п.), так как вместе 
с десятками тысяч других специалистов по всему миру 
считаем это вычислительное средство одним из первых в линейке 
лидеров на данный момент времени.

R (R Core Team 2021) — это язык для статистического 

анализа и визуализации данных. Он возник как ответвление 
языка S/Splus, разработанного еще в 1970-х годах в Bell 
Laboratories. 

RStudio (RStudio Team 2019) — это свободно распро-

страняемая среда для разработки (integrated development 
environment) на языке R.

RStudio была основана в 2009 году американским про-

граммистом и интернет-предпринимателем Джозефом Ал-
лером. Среду RStudio можно устанавливать на компьютеры 
с разными операционными системами (Windows, OS X, 
Linux).

RStudio — удобный вариант среды для разработки 

на R. Писать программы стало гораздо удобнее благодаря 
появлению среды RStudio. Вторая причина роста популярности 
R — это появление графического пакета ggplot2, 
написанного Хедли Викхемом  в 2016 году. Этот пакет во 
много раз облегчил построение сложных и красивых графиков.