Математика для социологов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»  
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Департамент математики

Л.Р. Борисова, Е.Ф. Олехова

МАТЕМАТИКА  
ДЛЯ СОЦИОЛОГОВ
 

Учебное пособие
для самостоятельной работы
в компьютерной обучающей среде Moodle 
II семестр

Для студентов, обучающихся по направлению:  
39.03.01. «Социология»
(программа подготовки бакалавров)

Одобрено Советом Департамента математики

МОСКВА
2023

ISBN 978-5-00172-381-3

УДК 517(073)
ББК 22.161я73

Б 82

Авторы:
Борисова Л.Р., канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента 
математики Финансового университета при Правительстве РФ  
Олехова Е.Ф., канд. техн. наук, доцент, доцент департамента 
математики Финансового университета при Правительстве РФ

Рецензенты:
Жукова Г.С., профессор департамента анализа данных и машинного 
обучения Финансового университета при Правительстве Российской 
Федерации;
Бойков С.Н., кандидат экономических наук, доцент Московского 
политехнического университета.

Б 82
Борисова Л.Р.
Математика для социологов: Учебное пособие для само- 
стоятельной работы в компьютерной обучающей среде Moodle.  
II семестр / Л.Р. Борисова, Е.Ф. Олехова. — М.: Прометей, 2023. —  
199 с.

ISBN 978-5-00172-381-3

Цель пособия —  обеспечить студентам бакалавриата оптимальную 
организацию самостоятельной работы при изучении дисциплины 
«Математика», подготовке к контрольной работе и экзамену во II 
семестре. В пособии представлено содержание дисциплины, изучаемое 
во втором семестре, структура билета аудиторной контрольной 
работы, являющейся основным элементом в текущем контроле 
знаний и в подготовке к экзамену. Пособие содержит необходимый 
теоретический материал по изучаемым разделам математики, 
типичные примеры с решениями для самостоятельной работы 
в компьютерной обучающей среде Moodle.
Учебное пособие предназначено для бакалавриата направления 
подготовки 39.03.01 «Социология».

©  Коллектив авторов, 2023
© Издательство «Прометей», 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение .............................................................................................................. 4 

1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных ...... 7

Предел и непрерывность функции нескольких переменных ............................ 10 

Производная по направлению ............................................................................ 13 

Локальный экстремум ....................................................................................... 16 

Условный экстремум ......................................................................................... 20 

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области ............. 26 

Основы метода наименьших квадратов .......................................................... 35 

2. Интегральное исчисление ........................................................................... 40

Первообразная и неопределенный интеграл ..................................................... 40 

Метод замены переменной ................................................................................ 43 

Интегрирование рациональных функций .......................................................... 47 

Интегрирование по частям............................................................................... 51 

Определенный интеграл .................................................................................... 71 

Несобственные интегралы ............................................................................... 76 

Вычисление площадей плоских фигур................................................................ 79 

Экономические приложения определенного интеграла ................................... 82 

3. Обыкновенные дифференциальные уравнения .................................... 100

Основные понятия и определения ................................................................... 100 

Применение дифференциальных уравнений в экономической динамике ...... 104 

4. Теория рядов ............................................................................................... 125

Числовые ряды ................................................................................................. 125 

Степенные ряды .............................................................................................. 152 

5. Основы линейного программирования .................................................. 163

Постановка задачи линейного программирования ........................................ 165 

Геометрическая интерпретация задачи ЛП ................................................. 167 

Двойственные задачи ЛП ................................................................................ 178 

6. Аудиторная контрольная работа и экзамен ........................................... 184

Демонстрационные варианты АКР ................................................................ 184 

Экзамен ............................................................................................................. 195 

Литература ...................................................................................................... 197 

ВВЕДЕНИЕ 

В связи с переходом изучения дисциплины «Математика» к смешанному 

типу (сочетание традиционных и новых цифровых технологий) были разработаны 

тестовые задания для самостоятельной работы во втором семестре, а также для 

проведения текущего и промежуточного контроля в виде аудиторной 

контрольной работы и экзамена. Для разработки тестовых заданий использована 

виртуальная обучающая среда Moodle.  

В данном пособии представлены необходимый теоретический материал и 

тестовые задания для самостоятельной работы по дисциплине «Математика» во 

втором семестре для студентов, обучающихся по направлению 39.03.01. 

«Социология» (программа подготовки бакалавра). Предлагаемые методические 

материалы содержат задачи, разработанные на платформе Moodle, по разделам: 

функции нескольких переменных, интегральное исчисление, обыкновенные 

дифференциальные уравнения первого порядка, числовые и степенные ряды, 

основы линейного программирования.  

Цель данного пособия – помочь студентам закрепить и отработать 

материал, изученный на лекциях и семинарских занятиях, а также подготовить 

студентов к успешному написанию аудиторной контрольной работы и сдаче 

экзамена по дисциплине «Математика» во втором семестре с применением 

цифровых технологий. Для достижения этой цели задания подобраны таким 

образом, чтобы они охватывали все основные типы задач, встречающихся при 

изучении указанных выше разделов. Рисунки, которые представлены в пособии, 

сделаны в среде Excel, R, Python. 

Приведем содержание разделов дисциплины «Математика» (II семестр) 

согласно рабочей программе для студентов, обучающихся по направлению 

подготовки 39.03.01. «Социология» (программа подготовки бакалавра), в 

соответствии с которыми изложен теоретический и практический материал 

данного пособия. 

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. 

Производные и дифференциалы высших порядков. Частные производные 

функции нескольких переменных. Градиент функции. Производная по 

направлению. Локальные экстремумы функции двух переменных. Условные 

экстремумы. 

Тема 4. Интегральное исчисление. Первообразная и неопределенный 

интеграл. 
Основные 
свойства 
неопределенного 
интеграла. 
Табличные 

интегралы. Определенный интеграл. Его свойства и геометрический смысл. 

Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические, физические и экономические 

приложения определенного интеграла. Методы замены переменной и 

интегрирования по частям в определенном и неопределенном интегралах. 

Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных и 

тригонометрических функций. Понятие о двойных и повторных интегралах. 

Несобственные интегралы. Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Интеграл 

Эйлера-Пуассона.  

Тема 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Понятие об 

обыкновенных дифференциальных уравнениях. Задача Коши. Изоклины. 

Уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и 

линейные. Теорема существования и единственности решения для уравнения 

первого 
порядка 
в 
нормальной 
форме. 
Экономические 
приложения 

обыкновенных дифференциальных уравнений. 

Тема 6. Теория рядов. Определение числового ряда. Сходящиеся и 

расходящиеся числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда. 

Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд. Признаки сходимости 

положительных рядов: признак Даламбера, признак сравнения, предельный 

признак сравнения, интегральный признак, признак Коши. Знакочередующиеся 

ряды. 
Признак 
Лейбница. 
Теорема 
о 
погрешности. 
Определение 

функционального ряда. Область сходимости функционального ряда. Степенной 

ряд. Радиус сходимости степенного ряда. Теорема о радиусе сходимости 

степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. 

Разложение функции в степенной ряд. Ряд Маклорена. Формула Тейлора. 

Приближенные вычисления с помощью рядов.  

Тема 7. Основы линейного программирования. Общая задача линейного 

программирования: целевая функция и система ограничений. Допустимые 

решения. Свойства области допустимых решений. Графический метод решения 

задач линейного программирования. Симплексный метод решения задач 

линейного программирования. Критерий оптимальности. Двойственная задача. 

Основные 
теоремы 
двойственности. 
Транспортная 
задача. 
Построение 

первоначального распределения поставок с учетом наименьших затрат и 

методом «северо-западного угла». Критерий оптимальности распределения 

поставок. 

Теоретический материал для успешного освоения данного спектра 

вопросов представлен в учебниках [1], [2], [4]. Примеры подобных задач с 

разобранными решениями можно найти, например, в [1], [3], [4], а также в 

данном пособии. В качестве дополнительного источника задач по изучаемым 

разделам для отработки полученных умений и навыков можно рекомендовать 

использовать пособия [5]-[13]. 

Все задания, приведенные в пособии, полностью соответствуют рабочей 

программе дисциплины. В учебном пособии также представлена структура 

аудиторной контрольной работы, охватывающая все основные темы математики, 

изучаемой во втором семестре студентами, обучающимися по направлению 

39.03.01. «Социология» (программа подготовки бакалавра)  

При 
подготовке 
пособия 
использованы 
учебники, 
задачники 
и 

методические материалы, указанные в списке литературы. 

Авторы выражают глубокую признательность рецензентам, коллегам и 

другим читателям за критические замечания и предложения, которые 

способствовали улучшению учебного пособия. 

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 

Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (
)
,x y  из 

некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие 

определенное значение переменной z , то переменная z  называется функцией 

двух переменных: 
(
)
,
z
f x y
=
. 

Определение. Если каждому упорядоченному набору независимых друг от 

друга чисел (
)
1,
,
n
x
x
…
 из некоторого множества по какому-либо правилу 

ставится в соответствие определенное значение переменной z, то переменная z

называется функцией нескольких переменных: 
(
)
1,
,
n
z
f x
x
=
…
 ( z=
( )
f x ). 

Замечание. Графиком функции двух переменных является некоторая 

поверхность в трехмерном пространстве. 

Определение. Областью определения функции 
(
)
,
z
f x y
=
называется 

множество всех пар (
)
,x y , при которых функция 
(
)
,
z
f x y
=
 существует. 

На рис 1.1 представлена поверхность – график функции двух переменных 

2
2

2
x
y
z
xy e

+
−
= −
⋅
. 

Рис. 1.1. Пример графика функции двух переменных 

На рис. 1.2 представлен график эллиптического параболоида (а) 

2
2.
z
x
y
=
+
 

Рис. 1.2. Эллиптический параболоид (а) 

Общий вид эллиптического параболоида (б) с каноническим уравнением 

2
2

2
2
x
y
z
a
b
=
+
, в горизонтальных сечениях которого – эллипсы, представлен на рис. 

1.3. 

Рис.1.3. Эллиптический параболоид (б) 

Гиперболический параболоид (а) 
2
2
z
x
y
=
−
 (седло) представлен на рис. 

1.4, а гиперболический параболоид (б) z
xy
=
 – на рис. 1.5. 

 
Рис.1.4. Гиперболический параболоид (а) 

 
Рис. 1.5. Гиперболический параболоид (б) 

 

Определение. Линии уровня функции нескольких переменных – это линии, 

в каждой точке которых функция принимает постоянное значение. 

Определение. Линиями уровня функции двух переменных 
(
)
,
f x y  

называются линии на плоскости Oxy, которые задаются уравнениями 

(
)
,
,
f x y
C
=
 где С – любое число.  

На рис. 1.6 представлены линии уровня эллиптического параболоида (а) 

2
2
z
x
y
=
+
. Это концентрические окружности с центром в начале координат 

2
2,
.
C
C
c
y
o s
x
n t
−
=
+
 

 
Рис. 1.6. Линии уровня эллиптического параболоида (а) 

 

На рис. 1.1–1.5 вместе с поверхностями также изображены линии уровня 

соответствующих функций. 

 

Предел и непрерывность функции нескольких переменных 

Определение. Число А называется пределом функции 
(
)
,
f x y
 при 

стремлении точки 
(
)
,
M x y  к точке
(
)
0
0
0
,
M
x y
, если для каждого числа 
0
ε >
 

найдется такое число
0
r >
, что для любой точки 
(
)
,
M x y , для которых верно 

условие 
0
MM
r
<
, также верно и условие 
(
)
|
,
|
f x y
A
ε
−
<
.   

Определение. 
Функция 
двух 
переменных 
(
)
,
z
f x y
=
 называется 

непрерывной в точке 
(
)
0
0
0
,
M
x y
, если определена в этой точке и в её окрестности 

и существует предел, равный значению функции в этой точке:  

(
)
(
)

0
0

0
0
lim
,
,
.
x
x
y
y
f x y
f x y
→
→
=
 

Определение. Функция двух переменных 
(
)
,
z
f x y
=
, называется 

непрерывной в некоторой окрестности точки
(
)
0
0
0
,
M
x y
, если она непрерывна в 

каждой точке этой окрестности. 

Определение. Частной производной функции 
(
)
,
z
f x y
=
по аргументу x 

называется предел отношения частного приращения функции по переменной x

к приращению аргумента x :  

(
)
(
)

0
,
,
( , )
lim
x
x
f x
x y
f x y
f
x y
x
∆ →
+ ∆
−
′
=
∆
, 

если он существует и конечен. 

Частной производной функции 
(
)
,
z
f x y
=
 по аргументу y называется 

предел отношения частного приращения по переменной y  к приращению 

аргумента y :  

(
)
(
)

0
,
,
( , )
lim
,
y
y
f x y
y
f x y
f
x y
y
∆ →
+ ∆
−
′
=
∆
 

если он существует и конечен. 

Определение. Функция 
( )
f x  называется дифференцируемой в точке x , 

если в этой точке определены и непрерывны все ее частные производные. 

Замечание. Частные производные вычисляются по обычным правилам 

дифференцирования, при этом все переменные, кроме той, по которой ведется 

дифференцирование, рассматриваются как константы. 

Определение. Критические точки функции нескольких переменных – это 

точки, в которых все частные производные функции равны нулю или хотя бы 

одна не существует. 

Пример 1.1. Найдите значение функции 
2
2
3
6
z
x
y
x
xy
y
=
+
−
−
+
 в 

критической точке.  

Решение: 

2
2

2
2
(3
6
)
3
2
,

(3
6
)
6
2 .

х
x

y
y

z
x
y
x
xy
y
х
y

z
x
y
x
xy
y
х
y

′
′

=
+
−
−
+
=
−
−
 ′
′
=
+
−
−
+
=
−
+
